1 Esp´erance et variance d’une fonction lin´eaire d’une variable al´eatoire (10 points)

ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Exercice 1

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

c 2008, Steve Ambler Hiver 2008

1 Esp´erance et variance d’une fonction lin´eaire d’une variable al´eatoire (10 points)

Exercice 2.5, page 58.

2 Covariance entre deux variables al´eatoires (10 points)

La covariance entre deux variables al´eatoiresXetY est par d´efinition ´egale `a:

Cov(X, Y)≡E[(X−µ_X)(Y −µ_Y)],

avecE(X)≡µ_X etE(Y)≡µ_Y. `A partir de cette d´efinition, montrez explicitement que:

Cov(a+b×X, c+d×Y) =b×d×Cov(X, Y),

o`ua,b,cetdsont des constantes quelconques. Pour simplifier, vous pouvez supposez que les variables al´eatoiresX etY sont des variables al´eatoires

1

discr`etes qui prennentmetnvaleurs distinctes possibles. Autrement dit, E[(X−µ_X)(Y −µ_Y)]≡

Xm

i=1

Xn

j=1

(Xi−µ_X)(Yj−µ_Y)P r(X =X_i, Y =Y_j)

tel que l’on trouve `a la page 34 du manuel.

3 Echantillonnage al´eatoire (30 points) ´

A l’aide du logiciel de votre choix (probablement STATA), engendrez un`

´echantillon d’observations en tirantnfois d’une distribution uniforme avec une borne inf´erieure de 2 et une borne sup´erieure de 6.

R´ep´etez cette exp´erience pour des valeurs dende 4, 10, 100, 1000 et 10 000.

Pour chaque valeur den:

1. calculez la moyenne ´echantillonnale;

2. calculez la variance ´echantillonnale;

3. g´en´erez un histogramme de votre ´echantillon, o`u l’amplitude de chaque classe (largeur de chaque barre) est de 0,25.

Interpr´etez vos r´esultats.

4 Convergence (20 points)

Soit la variable al´eatoireY qui est i.i.d. avec E(Y) = µ_Y et avec une variance finie:

var(Y) =σ_Y².

Soit l’estimateur de la moyenne bas´e surnr´ealisations de la variable al´eatoire donn´e par:

Ye = 1

2Y₁+ 1 2

1 (n−1)

Xn

i=2

Yi.

1. Montrez que l’estimateurY^e est non biais´e. Ceci est relativement facile, voire tr`es facile.

2

2. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de l’´echantillon donn´e parn.

3. Qu’est-ce qui arrive `a la variance de l’estimateur lorsquendevient tr`es grand?

4. Est-ce que l’estimateurY^e est un estimateur convergent (convergence en probabilit´e) deµ_Y? Ne donnez pas de preuve formelle mais expliquez intuitivement votre r´eponse.

5 Tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (30 points)

Exercice 3.16, page 102.

cr´e´e le 30/01/2008

3