Mod`ele math´ematique du microcr´edit : prˆet individuel et prˆet group´e

Mod`ele math´ematique du microcr´edit : prˆet individuel et prˆet group´e

Osman KHODR, Francine DIENER Laboratoire de math´ematiques J.A.D, Nice

Colloque ”Jeunes Probabilistes et Statiticiens”

Mont-Dore, 3-7 Mai 2010

Descriptions de l’activit´e de microcr´edit

I L’activit´e de microcr´edit.

I En 1976, la Cr´eation de la Grameen Bank en Bangladesh par Pr. Yunus.

I Les nations unies ont d´ecr´et´e 2005 comme l’ann´ee internationale du microcr´edit.

I Octobre 2006, la mise en place de ce syst`eme a ´et´e r´ecompens´e par le prix Nobel de la paix attribu´e conjointement au Pr. Yunus et `a la Grameen Bank.

R´ef´erences

I Tedeschi, Gwendolyn Alexander. 2006. Here today, gone tomorrow : Can dynamic incentives make microfinance more flexible ? Journal of Development Economics, 80(1), pp.

84-105.

I Joseph E. Stiglitz. Peer monitoring and credit markets. World Bank Economic Review, 4(3) : 351-366, September 1990.

I Ghatak, Maitreesh (1999) Group lending, local information and peer selection. Journal of development economics, 60 (1).

pp. 27-50. ISSN 0304-3878.

Mod`ele du prˆet individuel

I Avoir un prˆet pour investir dans un projet.

I Redevenir b´en´eficiaire en cas de r´eussite et de remboursement.

I Etre exclu d’emprunt pour au moins T p´eriodes en cas d’´echec.

E

E

E E

1−α

E

α 1−γ

γ

B

Mod`ele

Matrice de transition :

M =













α 1−α 0 0 · · · 0 0 0 0 1 0 · · · 0 0 0 0 0 1 · · · 0 0 ... ... . .. ... 0 0 0 0 · · · 1 0 0 0 0 0 · · · 0 1 γ 0 0 0 · · · 0 1−γ













Distribution stationnaire

Proposition

Quelque soit la distribution initiale, la dynamique Markovienne tend vers une distribution stationnaire :

γ

β(1,1−α,· · · ,1−α,1−α γ ), avec

β =γ+ (1−α)(1 +γ(T−1))

Calcul du profit futur esp´er´e

Le profit d’une ´etape est d´efini par : f₁(X_t−1,X_t) =

(

w −(1 +r) si (X_t−1,X_t) = (B,B)

0 sinon

Le profit futur esp´er´e `a partir d’un instants est : V_s¹(X_s) =E¡

Σ^∞_t=s+1δ^t−s−1f₁(X_t−1,X_t)| F_s¢

Calcul du profit futur esp´er´e

Th´eor`eme

Pour s>0, le profit futur total esp´er´e V_s¹ `a partir de l’instant s, pour X_s =x, est donn´e par :

V_s¹(x) =





V₀¹ si x =B

γδⁱ

1−δ(1−γ)V₀¹ si x =E_i, i = 1,· · ·,T avec

V₀¹ = α(w −(1 +r)) 1−αδ− _{1−δ(1−γ)}^1−α γδ^T+1

Calcul d’un contrat optimal (r , T )

On cherche un contrat optimal (r,T) qui maximise le profit sous les contraintes :

I Contrainte de participation :

w ≥1 +r

I Contrainte de recouvrement de prˆet :

α(1 +r)≥1 +z

I Contrainte d’empˆechement de la strat´egie de d´efaut : w−(1 +r) +δV_s¹(B)≥w +δV_s¹(E_T)

Contrat optimal

I Taux d’int´erˆet optimal

r^∗ = 1 +z α −1

I La dur´ee d’exclusion dans le cas w ∈(1 +r^∗

αδ , 1 +r^∗ αδ(1−γ)) T^∗= 1

ln(δ)ln

µ[1−δ(1−γ)][αδw−(1 +r^∗)]

γ[αw −(1 +r^∗)]

¶

−1

Prˆet group´e : comment ¸ca marche ?

Groupe de deux personnes (X,Y).

I Les deux personnes r´eussissent et seront b´en´eficiaires.

I Les deux personnes ´echouent et seront exclues au moins deT₂ p´eriodes.

I Une gagne et l’autre perd, alors le gagnant reste b´en´eficiaire s’il rembourse la totalit´e de son prˆet ainsi qu’une somme q repr´esentant la responsabilit´e jointe, tandis que le perdant sera exclu pour au moinsT₁ p´eriodes.

Repr´esentation en chaine de Markov

L’etat d’un participant

E E E

E

T₂ T−1₂ 1

B

1

B

α(1−α)

α(1−α)

α(1−α)

α(1−α) (1−α)

(1−α) α

α

1−γ

γ

2 2

2

2

1 1

1

... ...

Distribution stationnaire

Proposition

La dynamique de Markov tend vers une distribution stationnaire : γ

β⁰( 1 +α 1 + 2α, α

1 + 2α,(1−α)²,· · ·,(1−α)²,(1−α)² γ ), avec

β⁰=γ+ (1−α)²(1 +γ(T₂−2))

Proposition

A l’equilibre, la proportion de b´en´eficiaires est plus importante dans le cas group´e que dans le cas individuel.

Profit total esp´er´e d’un participant `a un groupe

Th´eor`eme

Le profit futur total esp´er´e V_s², `a l’instant s, d’un participant `a un prˆet group´e est donn´e par :

V_s²(x) =





V₀² pour x ∈ {B₁,B₂} δⁱγ

1−δ(1−γ)V₀² pour x =E_i, i = 1,· · · ,T2 o`u

V₀² = α[w−(1 +r)−(1−α)q]

1−αδ−_{1−δ(1−γ)}^1−α γ[αδ^T1+1+ (1−α)δ^T2+1]

Calcul d’un contrat optimal (r , q, T

, T

)

On cherche un contrat optimal (r,q,T₁,T₂) qui maximise le profit sous les contraintes :

I Contrainte de participation :

w ≥1 +r+ (1−α)q

I Contrainte de recouvrement du coˆut de prˆet :

α(1 +r) +α(1−α)q ≥1 +z

I Contraintes d’empˆechement des strat´egies de d´efaut : w−(1 +r) +δV_s²(B)≥w +δV_s²(E_T1) w −(1 +r+q) +δV_s²(B)≥w+δV_s²(E_T)

Application

α(1 +r) +α(1−α)q = 1 +z, et T₁(q) =T₂(1−_1+r^q )

Application

Fig.:Les contraintes comme fonctions deq

Conclusion

I Le cas individuel n’est autre que le cas group´e pourq = 0.

I A l’equilibre, la proportion de b´en´eficiaires dans le cas group´e est plus grande que dans le cas individuel.

I L’IMF peut pratiquer un taux d’int´erˆet plus bas dans le cas group´e que dans le cas individuel.

I Le profit esp´er´e est plus important pour un individu participant au prˆet group´e.