Analyse math´ematique I

Lisez ces quelques consignes avant de commencer l’examen.

Veuillez commencer par ´ecrire en lettresMAJUSCULESvotre nom et pr´enom sur toutes les feuilles. Les feuilles sans nom ne seront pas corrig´ees.

Veuillez vous assurer que vous comprenez la question qui vous est pos´ee et faites attention

`a ce que le texte que vous ´ecrivez y r´eponde explicitement (par exemple : le correcteur ne doit pas avoir `a conclure lui-mˆeme).

Quand il est n´ecessaire de justifier, votre argumentation doit convaincre le lecteur. En l’ab- sence de justification dans un tel cas, le r´esultat final, mˆeme correct, n’a pas de valeur.

Veillez `a faire une r´edaction soign´ee de vos r´eponses. Celle-ci sera prise en compte. Notez que nous ne lirons pas vos brouillons.

N’employez pas le dos de la feuille d’une autre question pour finir votre r´eponse !

Question 1.

(a) Soit f :R→Ret a∈Dom f . D´efinissez« f est continue en a»et termes deε-δ et en termes de suites.

(b) En utilisant la d´efinition enε-δ donn´ee en (a), prouvez que la fonction f :R→R: x7→√ x est continue en x=1. (La qualit´e de la r´edaction est importante.)

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Question 1 (suite).

(c) Soient g :R→Ret h :R→Rles deux fonctions d´efinies par

g(x) =







1+x si x<0 0 si x=0 1−x si x>0

h(x) =











2+x si x<−1

0 si x=0

2−x si x>1

pas d´efinie si x∈[−1,0[∪]0,1]

Tracez le graphe de g sur la figure 1 (resp. de h sur la figure 2). Dites si g et h sont des fonctions continues (sur leur domaine de d´efinition). Justifiez vos r´eponses `a partir de la d´efinition du point (a) que vous d´esirez.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

FIG. 1 – Graphe de g

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

FIG. 2 – Graphe de h

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Question 2. Soit f :R→Rune fonction continue telle que

f(x) =x²+o(x²) quand x−⁶⁼→0.

Prouvez que (a) f(0) =0 ;

(b) 0 est un minimum local de f (veuillez rappeler la d´efinition de cette propri´et´e) ; (c) ∂f(0)existe et vaut 0.

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Question 3.

(a) Enoncez le th´eor`eme de la moyenne.´

(b) Donnez une interpr´etation g´eom´etrique de ce th´eor`eme en expliquant la relation avec l’´enon- c´e donn´e en (a).

(c) Montrez que toute fonction p´eriodique f :R→Rde classeC¹poss`ede une infinit´e de points critiques. (Pour rappel, on dit que f est p´eriodique si∃τ>0, ∀x∈R, f(x) = f(x+τ).)

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Question 4. Rappelons que pour f :R→Ret A⊆R, on d´efinit f(A):={f(x)∈R: x∈A}= {y∈R:∃x∈A, y= f(x)}.

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-2 -1 0 1 2

(a) Soit f :R→R: x7→x³et A= [0,2].

Sur la figure ci-contre, esquissez le graphe de f , A et f(A).

D´eterminez f(A)par calcul.

Calculez sup f(A)et f(sup A). ´Enoncez les r´esultats ´eventuellement utilis´es.

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Question 4 (suite).

(b) Prouvez que, quels que soient la fonction f :R→R croissante et continue et l’ensemble A⊆Rnon-vide et born´e sup´erieurement, on a sup f(A) = f(sup A).

(c) Donnez un exemple qui montre que la propri´et´e (b) n’est pas n´ecessairement v´erifi´ee si f n’est pas continue.

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Question 5. Calculez le d´eveloppement de Taylor d’ordre 2 en x=π/2, avec reste, de la fonc- tion f :R→Rd´efinie par

f(x) =x e^{sin x}

R´eponse finale :∀x∈R,

| {z }

Quantificateurs ´eventuels

f(x) =

| {z }

D´eveloppement de Taylor | {z }

Reste

D´etaillez ci-dessous vos calculs.

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Question 6. Donnez toutes les solutions r´eelles u :R→R: t7→u(t)de l’´equation

∂_t²u+∂tu−2u=sht RAPPEL : sh x := ¹₂(e^x−e^−x).

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Question 6 (suite). Continuez votre r´eponse sur cette page, si n´ecessaire.

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Question 7. Soit f ∈C¹(R;R). Montrez que

(a) toutes les tangentes au graphe de f (en n’importe quelle abcisse) passent par(0,0) si et seulement si

(b) f est la fonction x7→cx pour un certain c∈R. Veillez `a la qualit´e des justifications fournies.

INDICATION : Pour (a)⇒(b), commencez par ´ecrire l’´equation qui exprime (a).

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Question 7 (suite). Continuez votre r´eponse sur cette page si n´ecessaire.

Question 8. Consid´erons l’´equation diff´erentielle ordinaire suivante :

∂_t²x+x=sin(∂_tx) +e^t (1)

o`u x :R→R. Donnez une ´equation de la forme

∂_tu=F(t,u) (2)

o`u u :R→R<sup>2</sup>est l’inconnue et F :R×R<sup>2</sup>→R<sup>2</sup>est `a d´eterminer, de mani`ere `a ce que les solutions de (1) et de (2) se correspondent. Expliquez en quoi consiste cette correspondance (i.e., quelle est la bijection entre les ensembles de solutions x et u).

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Lisez ces quelques consignes avant de commencer l’examen.

Veuillez commencer par ´ecrire en lettresMAJUSCULESvotre nom, pr´enom et barrer la sec- tion inutile sur toutes les feuilles. Les feuilles sans nom ne seront pas corrig´ees.

Veuillez vous assurer que vous comprenez la question qui vous est pos´ee et faites attention

`a ce que le texte que vous ´ecrivez y r´eponde explicitement (par exemple : le correcteur ne doit pas avoir `a conclure lui-mˆeme).

Quand il est n´ecessaire de justifier, votre argumentation doit convaincre le lecteur. En l’ab- sence de justification dans un tel cas, le r´esultat final, mˆeme correct, n’a pas de valeur.

Veillez `a faire une r´edaction soign´ee de vos r´eponses. Celle-ci sera prise en compte. Notez que nous ne lirons pas vos brouillons.

N’employez pas le dos de la feuille d’une autre question pour finir votre r´eponse !

Question 1.

(a) Soit f :R→Ret a∈Dom f . D´efinissez« f est continue en a»et termes deε-δ et en termes de suites.

(b) En utilisant la d´efinition enε-δ donn´ee en (a), prouvez que la fonction f :R→R: x7→√ x est continue en x=1. (La qualit´e de la r´edaction est importante.)

INDICATION: L’identit´e suivante peut vous aider :(√

x−1)(√

x+1) =x−1.

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Question 1 (suite).

(c) Soient g :R→Ret h :R→Rles deux fonctions d´efinies par

g(x) =







1+x si x<0 0 si x=0 1−x si x>0

h(x) =











2+x si x<−1

0 si x=0

2−x si x>1

pas d´efinie si x∈[−1,0[∪]0,1]

Tracez le graphe de g sur la figure 1 (resp. de h sur la figure 2). Dites si g et h sont des fonctions continues (sur leur domaine de d´efinition). Justifiez vos r´eponses `a partir de la d´efinition du point (a) que vous d´esirez.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

FIG. 1 – Graphe de g

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

FIG. 2 – Graphe de h

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Question 2.

(a) Enoncez le th´eor`eme de la moyenne.´

(b) Donnez une interpr´etation g´eom´etrique de ce th´eor`eme en expliquant la relation avec l’´enon- c´e donn´e en (a).

(c) Montrez que toute fonction p´eriodique f :R→Rde classeC¹poss`ede une infinit´e de points critiques. (Pour rappel, on dit que f est p´eriodique si∃τ>0, ∀x∈R, f(x) = f(x+τ).)

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Question 3. Soit A⊆R² l’ensemble d´efini par A :={(x₁,x₂)∈R² : x₂>|x₁|} et repr´esent´e ci-apr`es. Pour chacune des propri´et´es suivantes, dites si elle est vraie ou fausse. Argumentez votre r´eponse.

(a)Vrai : Faux : ∃x∈R², ∀r>0, B_|·|2(x,r)∩A6=∅et B_|·|2(x,r)∩{A6=∅ (b)Vrai : Faux : ∀x∈R², (∃r>0, B_|·|2(x,r)⊆A)⇒x∈A

(c)Vrai : Faux : ∀x∈A, ∃r>0, B_|·|2(x,r)⊆A

A

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Question 4.

(a) Soit A⊆R^N. D´efinissez«A est ferm´e»en terme de boule.

(b) Utilisez cette d´efinition pour montrer que [0,1]est ferm´e ;

[0,1[n’est pas ferm´e.

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Question 5. Calculez le d´eveloppement de Taylor d’ordre 2 en x=π/2, avec reste, de la fonc- tion f :R→Rd´efinie par

f(x) =x e^{sin x}

R´eponse finale :∀x∈R,

| {z }

Quantificateurs ´eventuels

f(x) =

| {z }

D´eveloppement de Taylor | {z }

Reste

D´etaillez ci-dessous vos calculs.

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Question 6. Donnez toutes les solutions r´eelles u :R→R: t7→u(t)de l’´equation

∂_t²u+∂tu−2u=sht RAPPEL : sh x := ¹₂(e^x−e^−x).

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Question 6 (suite). Continuez votre r´eponse sur cette page, si n´ecessaire.

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Question 7. Rappelons que pour f :R→Ret A⊆R, on d´efinit f(A):={f(x)∈R: x∈A}= {y∈R:∃x∈A, y= f(x)}.

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-2 -1 0 1 2

(a) Soit f :R→R: x7→x³et A= [0,2].

Sur la figure ci-contre, esquissez le graphe de f , A et f(A).

D´eterminez f(A)par calcul.

Calculez sup f(A)et f(sup A). ´Enoncez les r´esultats ´eventuellement utilis´es.

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Question 7 (suite).

(b) Prouvez que, quels que soient la fonction f :R→R croissante et continue et l’ensemble A⊆Rnon-vide et born´e sup´erieurement, on a sup f(A) = f(sup A).

INDICATION: Si A6=∅, alors il existe une suite(a_n)_n∈N⊆A telle que a_n−−−→_n→∞ sup A.

(c) Donnez un exemple qui montre que la propri´et´e (b) n’est pas n´ecessairement v´erifi´ee si f n’est pas continue.

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Question 8. Calculez les int´egrales suivantes : Z 4

3

5

x²−3x+2dx Z ₁

0

p1+x²dx en utilisant le changement de variable x=sh y.

RAPPELS : ch y= ¹₂(e^y+e^−y), sh y= ¹₂(e^y−e^−y)et e^−y=1/e^y.

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