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Redex se r´eduisant `a lui-mˆeme

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Academic year: 2022

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Redex se r´ eduisant ` a lui-mˆ eme

En lambda calcul pur le redex (δ)δest le seul qui se r´eduit `a lui-mˆeme.

En effet, prenonsaet bdes termes v´erifiant

(λx.a)b→a[x:=b] = (λx.a)b

notons nale nombre deλ dansa, nble nombre de λdansb, etkle nombre de x dansa. Alors le nombre deλdans le terme est :

1 +na+nb=na+k∗nb

Donc (k−1)nb= 1 soit comme ce sont des entiers naturelsk= 2 etnb= 1.

Soitf b le nombre d’apparition d’une variable libre quelconque ou d’une constante dans b, soitf a le nombre d’apparition de ce mˆeme ´el´ement (diff´erent de x donc) dansa. Alors le nombre d’apparition de cet ´el´ement dans le terme est :

f a+f b=f a+k∗f b Doncf b= 0.

Soitpale nombre d’applications dansa(nombre de (..)..dansa), soitpble nombre d’applications dansb. Alors le nombre d’applications dans le terme est

1 +pa+pb=pa+k∗pb Donc pb=1.

Ainsibn’a pas de variables libres, pas de constante, contient unλet une application.

Le terme best alors n´ecessairementλx.(x)x

Supposons que asoit diff´erent de (x)x, et soit ba le nombre d’apparition de (x)x comme sous-terme de a. Alors le nombre d’apparition de (x)x dans le terme est (puisque a6= (x)x) :

ba+ 1 =ba+ 2

Donc 1 = 2 ce qui est absurde. Ainsia= (x)xet le terme est (δ)δ

Nous aurions pu aussi compter les redex, en utilisant le nombre d’apparition de x appliqu´e ((x).. sous-terme) dans a. Alors comme k= 2, cela nous conduit au fait quexapparaˆıt une fois appliqu´e, et une fois non appliqu´e.

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