NOM : Date : 17 - 21 Octobre 2011 .
PRENOM : Groupe : .
Math´ematiques Appliqu´ees `a la Biologie : Feuille-r´eponses du TD 5 Mod`ele logistique
La chenille de l’´epic´ea est un insecte ravageur des sapins baumiers d’Am´erique du nord dont la dynamique peut ˆetre repr´esent´ee par l’´equation diff´erentielle
dy(t)
dt = 0.3y(t)
1− y(t) 9000
(1)
o`uy(t) d´esigne la taille de la population `a l’instantt(on n´eglige ici la pression exerc´ee sur la population de chenilles par son principal pr´edateur).
1. Pouvez-vous dire quelle est la capacit´e biotique de cette population, selon ce mod`ele ?
2. On sait que la solution de cette ´equation diff´erentielle de condition initiale y(0) est de la forme y(t) =y(0)+(9000−y(0))e9000y(0) −0.3t. Pr´ecisez quelle est cette solution (en simplifiant son expression) lorsque la condition initiale vaut 200, puis calculer sa valeur aux tempst= 10 et t= 20.
3. Donner, sans calcul, une valeur approch´ee de cette solution ent= 100 et esquissez son graphe.
4. Si, au lieu de choisir le mod`ele (1), on avait pr´ef´er´e un mod`ele malthusien y0(t) = 0.3y(t), quelle serait, dans ce cas, la solutiony(t) ? Calculer sa valeur aux tempst = 10 ett= 20 et esquisser le graphe de cette solution.
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5. Comparez la valeur atteinte par la population de chenilles pour des temps grands dans le mod`ele (1) et dans le mod`ele malthusien. Qu’en pensez-vous ?
6. Reprendre les questions pr´ecedentes (`a partir de la question 2) lorsqu’on suppose la population initiale ´egale `a 10000 (et non 200).
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