Partie 2 - Le mod`ele de Cori

HEC ESSEC 2021 Voie E

Dans ce probl`eme, on s’int´eresse `a un mod`ele, inspire du mod`ele de Cori, de propagation d’un virus au sein d’une population.

La partie 1 introduit des outils th´eoriques permettant de d´efinir et d’´etudier ce mod`ele.

Les parties 2 et 3 concernent cette ´etude. Si l’on fait abstraction des d´efinitions, des notations et de la question 17, la partie 3 est ind´ependante des parties 1 et 2.

Partie 1 - Lois compos´ees

On consid`ere :

• un espace probabilis´e(Ω,A,P)etJun sous-ensemble non vide deR⁺;

• une variable al´eatoireY sur cet espace `a valeurs dansJ.

• une famille(Xt)_t∈J de variables al´eatoires sur cet espace `a valeurs dansNetind´ependantes deY telles que pour toutt∈J,

X_tsuit la loiµ(t) µ(t)d´esignant une loi de probabilit´e de param`etret.

On d´efinit la variable al´eatoireZ sur cet espace par :

∀ω ∈Ω, siY(ω) =talorsZ(ω) =X_t(ω) et on dit queZsuit la loiµ(Y).

On consid`ere dans cette partie une telle variableZ qui suit la loiµ(Y).

Pour toutk∈N, on d´efinit aussi la fonction f_kdeJdans[0,1]par : f_k(t) =P([Xt=k])

1. Un exemple avec Scilab.On consid`ere le script Scilab suivant : function r=X(t)

r=1

while rand ()>...

r=...

end

endfunction Y=rand() Z=...

disp(Z)

En consid´erant les notations pr´ec´edentes avecJ= ]0,1[et en notantY la variable al´eatoire dontY est une simulation, compl´eter le script pr´ec´edent pour queZsoit une simulation d’une variable al´eatoire qui suit la loi g´eometriqueG(Y).

• Cas o`u Y est discr`ete.On suppose dans les questions 2 et 3 queY est discr`ete.

2. (a) Soity∈Y(Ω). Montrer que, pour toutk∈N,

P([Z=k]∩[Y =y]) = f_k(y)P([Y =y]) et siP([Y =y])6=0,

P_[Y=y]([Z=k]) = f_k(y) (b) En d´eduire que :

P([Z=k]) =E(f_k(Y)) (1)

(c) Un exemple o`u J=N^∗. Soit p∈]0,1[. Si pour toutn∈N^∗,Xnsuit la loi uniforme surJ1,nKet si la loi deY est d´efinie par, pour toutn∈N^∗,

P([Y =n]) =np²(1−p)ⁿ⁻¹ montrer queZ suit la loi g´eom´etrique de param`etrep.

3. On suppose que pour tout t ∈ J, E(Xt) existe. On note g(t) cette esp´erance et on suppose que E(g(Y))existe.

(a) Montrer que :

E(g(Y)) =

∑

y∈Y(n) +∞

∑

k=0

k f_k(y)P([Y =n])

!

(b) En admettant que l’on peut inverser l’ordre des sommes, montrer queE(Z)existe et que :

E(Z) =E(g(Y)) (2)

• On admet que les resultats ´etablis dans les questions 2 et 3, en particulier (1) et(2), sont encore vrais lorsque Y n’est plus discr`ete.

4. Un premier exemple.On suppose queJ= ]0,1[, que la loi deX_t est la loi g´eom´etrique de param`etre t et queY suit la loi uniforme sur]0,1[.

(a) Montrer que pour tout k∈N^∗, P([Z=k]) = 1

k(k+1). La variable al´eatoire Z admet-elle une esp´erance ?

(b) Que vautE(Xt)en fonction det? Si l’on notegcette fonction det, que peut-on dire deE(g(Y))? 5. Un deuxi`eme exemple.On suppose queJ= [0,+∞[, que la loi deXtest la loi de Poisson de param`etre

t et queY suit la loi exponentielle de param`etreλ >0.

Par suite,Zsuit la loiP(Y).

Par convention, la loi de Poisson de param`etre 0 est la loi de la variable al´eatoire nulle.

(a) Montrer que pour toutk∈N, P([Z=k]) =

Z _+∞

0

t^k

k!λe^−(λ+1)tdt= λ (λ+1)^k+1

Z _+∞

0

x^k k!e^−xdx (b) En raisonnant par r´ecurrence surk∈N, justifier que pour toutk∈N,

Z _+∞

0

x^k

k!e^−xdx=1 (c) D´eterminer la loi deZ. Reconnaˆıtre la loi deZ+1.

(d) En d´eduireE(Z). Ce r´esultat est-il coh´erent avec l’egalite(2)?

Partie 2 - Le mod`ele de Cori

On consid`ere une population d’effectif infini dans laquelle un individu donn´e est infect´e le jour 0 par un virus contagieux.

Soitd∈N^∗. On suppose que :

• tout individu infect´e par le virus est imm´ediatement contagieux et sa contagiosit´e ne dure que(d+1) jours, du journo`u il est infect´e jusqu’au jour(n+d) (n∈N);

• une fois infect´es, les individus pr´esentent un mˆeme profil de contagiosit´e donn´e par un(d+1)-uplet (α₀,α₁, . . . ,α_d)qui d´epend g´en´eralement de facteurs biologiques.

Pour toutk∈J0,dK, on dit queα_kest la contagiosit´e de tout individu ayant ´ete infect´ekjours plus tˆot.

Autrement dit, on peut consid´erer que α_k, li´e `a la nature du virus, d´etermine la proportion d’indivi- dus contamin´es par un individu infect´e, parmi tous ceux avec lesquels il est en contact k jours apr`es sa contamination.

Finalement, les r´eelsα0,α1, . . .,α_d sont tels que, pour toutk∈J0,dK,α_k∈]0,1[et on noteα =

d

∑

k=0

α_k, ce qui signifie queα est la contagiosit´e globale d’un individu infect´e sur toute la p´eriode o`u il est infect´e.

On utilise les notations et d´efinitions de la partie 1 avecJ=R⁺.

On suppose que les variables al´eatoires qui interviennent par la suite sont d´efinies sur l’espace(Ω,A,P).

• Pour toutn∈N, on noteR_nla variable al´eatoire qui d´esigne le nombre moyen de contacts r´ealis´es le journpar un individu contagieux ce jour-l`a.

On suppose, pour toutn∈N, l’existence deE(Rn)et on posern=E(Rn).

• Pour toutn∈N, on noteZ_nla variable al´eatoire ´egale au nombre total d’individus qui sont infect´es et donc deviennent contagieux len-i`eme jour. Par exemple,Z₀=1.

• Pour toutn∈N, on note In la variable al´eatoire ´egale `a la contagiosit´e globale de la population le n-i`eme jour, d´efinie par :

I_n=

min(n,d) k=0

∑

α_kZ_n−k (*)

• On suppose enfin que, pour toutn∈N,InetRnsont ind´ependantes et que si l’on poseYn=RnIn, on a :

Z_n+1suit la loiP(Yn)

o`uP d´esigne la loi de Poisson. Ainsi la loi deZ_n+1ne d´epend que des lois deR_net deI_n. 6. Donner une justification de(∗).

7. (a) Soitn∈N. On suppose queE(In)existe. Montrer queE(Yn)existe et en utilisant un r´esultat de la partie 1, montrer queE(Zn+1)existe et vautr_nE(In).

(b) Montrer que pour toutn∈N,zn=E(Zn)existe et v´erifie la relation de r´ecurrence z_n+1=r_n

min(n,d) k=0

∑

αkz_n−k (3)

8. Programmation de znavec Scilab.

On suppose que la suite(rn)_n∈Nv´erifie, pour toutn∈N,r_n= ⁿ⁺²_n+1. On note∆la matrice ligne(α₀. . .α_d).

Ecrire une fonction Scilab d’entˆetefunction r=z(Delta,n) qui calculez_nsiDeltarepr´esente la matrice ligne∆.

9. Soit(Un)_n>0,(Vn)_n>0, deux suites d’´ev´enements tels que lim

n→+∞P(Un) = lim

n→+∞P(Vn) =1.

Montrer que lim

n→+∞P(Un∩V_n) =1.

— On rappelle que l’on dit qu’un ´ev´enementAest presque sˆur lorsqueP(A) =1.

10. On note pour toutn∈N^∗,A_n=

+∞

\

k=n

[Zk=0]etBl’´ev´enement ”la contamination s’´eteint au bout d’un nombre fini de jours”.

(a) Montrer queP(B) = lim

n→+∞P(An).

(b) En distinguant les cas o`uP

n+d

\

k=n

[Z_k=0]

!

est nulle ou pas, ´etablir que, pour tout p>d,

P

n+p

\

k=n

[Z_k=0]

!

=P

n+d

\

k=n

[Z_k=0]

!

puis queP(An) =P _n+d

T

k=n

[Zk=0]

.

(c) En d´eduire queBest presque sˆur si et seulement si lim

n→+∞P([Zn=0]) =1.

(d) Montrer que cela ´equivaut aussi au fait que(Zn)_n∈Nconverge en loi vers 0.

11. (a) Montrer, en utilisant un r´esultat de la partie 1, que pour toutn∈N, P([Zn+1=0]) =E e^−Yn (b) On suppose que lim

n→+∞z_n=0. En d´eduire queBest presque sˆur (on pourra montrer que pour tout xreel,e^−x>1−x).

Partie 3 - Limite du nombre moyen de contaminations journali`eres

Dans cette partie, on conserve les notations de la partie 2 et on s’int´eresse au comportement asympto- tique de la suite(zn)_n∈N, definie par la relation(3)etz0=1, sous trois hypoth`eses diff´erentes concernant la suite(rn)_n∈N.

Pour tout r´eelx, on identifiexet la matrice carr´ee d’ordre 1 dont l’unique coefficient estx.

Pour toutk∈J0,dK, on posea_k= ^α_α^k.

12. On suppose, dans cette question, qu’il existeN∈Netρ ∈]0,1[tels que, pour toutn>N,r_nα⁶ρ. On note(H1)cette hypothese.

(a) Que vaut lim

t→1 d k=0

∑

a_kt^d−k?

En d´eduire qu’il existeθ ∈]0,1[tel queθ^d+1>ρ

d k=0

∑

a_kθ^d−k

!

(on pourra raisonner par l’ab- surde).

• On poseM= max

k∈JN,N+dK

z_k θ^k.

(b) Montrer que pour toutn>N,zn6Mθⁿ. (c) En d´eduire que lim

n→+∞z_n=0.

On montrerait de mˆeme que s’il existe N∈Netρ >1tels que, pour tout n>N, rnα ^>ρ, on a

n→+∞lim z_n= +∞.On note(H2)cette hypoth`ese.

• On suppose, dans les questions 13 `a 16 , que la suite (rn)<sub>n∈</sub>N est constante de valeur <sub>α</sub><sup>1</sup>. On note(H3)cette hypoth`ese.

On pose pour toutn∈N,

U_n=









 z_n z_n−1

... z_n−d











avecz₋₁=. . .=z_−d=0.

13. (a) Montrer quil existe une matriceAcarr´ee d’ordre d+1, de premi`ere ligneL= (a0. . .a_d), telle que pour toutn∈N,U_n+1=AU_n.

(b) En d´eduire que, pour toutn>0,U_n=AⁿU₀puis quez_n+1=LAⁿU₀. 14. Dans cette question,d=2 etL= ¹₆ ²₃ ¹₆

. (a) Montrer que Sp(A) =

1,−¹₂,−¹₃ .

(b) D´eterminer une base(V1,V2,V3)deM_3,1(R), o`uV1est un vecteur colonne propre deApour la valeur propre 1,V₂pour−¹₂,V₃pour−¹₃, ces colonnes ayant leur premier coefficient ´egal a 1.

(c) D´eterminer(s1,s₂,s₃)∈R³, tel queU₀=s₁V₁+s₂V₂+s₃V₃. (d) En d´eduire que la suite(zn)_n∈Nconverge verss₁.

15. On revient au cas g´en´eral.

(a) Montrer queλ ∈Sp(A)si et seulement siλ^d+1=

d k=0

∑

a_d−kλ^ket que les sous-espaces propres de Asont de dimension 1.

(b) Montrer que 1 est valeur propre deAet d´eterminer le vecteur colonne propre associ´eV dont la somme des composantes vautd+1.

(c) ´Etablir que−1∈/Sp(A)et que si|λ|>1, alorsλ ∈/Sp(A).

16. On pose pour toutk∈J0,dK,b_k=

d i=k

∑

a_i. On d´efinit aussi le sous-espace vectorielHdeM_d+1,1(R)

form´e des matricesW =









 w₀ w₁ ... w_d











telles que

d k=0

∑

b_kw_k=0.

(a) Montrer que pour toutW ∈H,AW ∈H.

(b) D´eterminer l’unique r´eelstel queU₀−sV ∈H.

(c) Nous admettons que, pour toutW ∈H,LAⁿW →0 quandn→+∞.

(d) En d´eduire que lim

n→+∞z_n=s.

17. Sous quelle(s) hypoth`ese(s), parmi les trois hypoth`eses(H1),(H2)et(H3)faites dans cette partie, la s´erie

+∞

n=0

∑

z_nest-elle convergente ? Comment interpr´eter ce r´esultat ?