Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, PTSI, 2017-2018 Programme de colle semaines 28 et 29 - du 28/05 au 08/06 1
Programme de colle semaines 28 et 29 - du 28/05 au 08/06
Questions de cours
• S´eries g´eom´etriques : ´enonc´e des sommes partielles, condition n´ecessaire et suffisante de convergence, somme et reste en cas de convergence.
• Enonc´´ e et d´emonstration du Th´eor`eme (Condition n´ecessaire de convergence).
Si la s´erieP
unconverge, alors la suite (un)n∈N tend vers 0, ieP
unconverge =⇒ lim
n→+∞un= 0.
Donner un contre-exemple de la r´eciproque (sans d´emonstration).
• Enonc´´ e du r´esultat sur les s´eries de Riemann, cas de divergence grossi`ere.
• Enonc´´ e du th´eor`eme de comparaison.
• Enonc´´ e du th´eor`eme sur les ´equivalents.
• Donner un exemple de deux s´eries divergentes dont la somme est convergente.
Chapitre 24. Espaces vectoriels de dimension finie.
Ensemble du chapitre.
Chapitre 25. S´ eries num´ eriques.
Voir aussi le poly.
I. D´efinitions
1) Rappels : suites et sommes g´eom´etriques.
2) Notion de s´erie. S´erie `a termes r´eels ou complexes ; sommes partielles.
3) Convergence ou divergence ; en cas de convergence, somme et restes.
II. Premi`eres propri´et´es
1) Condition n´ecessaire de convergence
Le terme g´en´eral d’une s´erie convergente tend vers 0. Divergence grossi`ere.
2) S´eries g´eom´etriques. Sommes partielles, condition n´ecessaire et suffisante de convergence, somme et reste en cas de convergence.
3) Structure. Espaces vectoriels, lin´earit´e de la somme.
4) Suites et s´eries t´elescopiques III. S´eries `a termes positifs
1) Proposition.
2) Encadrement des sommes partielles par une int´egrale : s´eries P
f(n), avec f monotone.
3) S´eries de Riemann. Exemple d’application - exercice : trouver un ´equivalent du reste Rn d’une s´erie de Riemann convergente.
4) Th´eor`eme (de comparaison).
5) Th´eor`eme (sur ´equivalents).
6) Proposition - m´ethode.Comparaison `a une s´erie de Riemann.
7) Proposition - m´ethode.Comparaison `a une s´erie g´eom´etrique.
NLes crit`eres de D’Alembert et de Cauchy sont hors programme, mais on peut demander d’´etudier les limites de un+1
un ou de [un]n1 en question interm´ediaire, puis comparer `a une s´erie g´eom´etrique pour obtenir convergence ou divergence.
