TD sur: Les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

TD sur: Les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

D´eterminer si les int´egrales suivantes sont convergentes, et le cas ´ech´eant calculer leur valeur : 1.

Z 1

0

√dt 1−t 2.

Z 1

0

ln²(t) dt 3.

Z +∞

0

1 4 +t² dt 4.

Z +∞

1

t (1 +t²)² dt

5.

Z a

−a

1

tan²(t)dt aveca = π 2 6.

Z +∞

0

1

t²+ 5t+ 6dt 7.

Z +∞

0

√ 1 t+√

t³ dt (poser u=√ t)

. Exercice 2 :

Soit f la fonction d´efinie sur R⁺ par : f : x 7→ 1 (x²+ 1)(√

x+ 1). On note F la primitive de f s’annulant en 1.

1. Montrer que Z +∞

0

f(t)dt converge.

2. A l’aide du changement de variable u = 1

t, calculer explicitement F(x)−F 1

x

pour tout r´eel xstrictement positif.

3. En d´eduire la valeur de Z +∞

0

f(t)dt.

. Exercice 3 :

D´eterminer la nature des int´egrales suivantes : 1.

Z +∞

1

ln (2 + cos(t))dt . 2.

Z +∞

−∞

exp(−|t|)dt.

3.

Z +∞

−∞

dt 1 +t². 4.

Z +∞

0

exp −√ t

√t dt

. Exercice 4 :

Prouver l’existence et calculer : Z 1

0

ln(1−x) +x x² dx et

Z +∞

0

ln

1 + 1 x²

dx.

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 5 :

On note f la fonction d´efinie pour tout r´eel x strictement positif par f(x) = exp

−1 x

x² . On pose pour tout entier naturel non nul n,I_n =

Z +∞

n

f(x) dx.

1. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que I_n est bien d´efinie sans expliciter I_n.

2. Sans expliciter (I_n)n∈N^?, ´etudier la monotonie de la suite (I_n)n∈N^?et en d´eduire qu’elle converge.

3. Expliciter (I_n)n∈N^? et pr´eciser lim

n→+∞(I_n).

4. Montrer que I_n > 1 n − 1

2n² pour tout entier naturel non nul n. En d´eduire la nature de la s´erie de terme g´en´eral I_n.

- Exercice 6 :

Soit f la fonction d´efinie par :

f :x7→

Z +∞

x

exp(−t) t dt

1. Montrer quef(1) est bien d´efinie et que f(−1) n’est pas d´efinie.

2. Donner l’ensemble de d´efinition de f et exprimer f en fonction de G, une primitive de t 7→

exp(−t)

t surR^?+.

3. Montrer quef est d´erivable et expliciter f⁰.

4. ´Etudier les variations de f et donner ses limites ´eventuelles aux bornes de son ensemble de d´efinition.

5. En utilisant une int´egration par parties, montrer le r´esultat suivant : f(x) ∼

+∞

exp(−x) x 6. Montrer que

Z 1

0

exp(−t)−1

t dtconverge. En d´eduire que Z 1

x

e^−t t dt ∼

0 −ln(x) puis un ´equivalent en 0 de f.

Exercices bonus

M Exercice 7 :

Soit α un r´eel. D´eterminer la nature des int´egrales suivantes : 1.

Z 1

0

ln(t)dt

2.

Z +∞

0.5

x^αdx

3.

Z +∞

0

ln(1 +

t⁻²)dt 4.

Z +∞

1

√x dx x³ + 1

5.

Z 1

−1

√ dt 1−t² 6.

Z 2

0

t−1 ln(t)dt

7.

Z +∞

1

sin(t) exp(−2t)dt

8.

Z 1

0

dx px(1−x)