Int´egrales g´en´eralis´ees
Table des mati` eres
1 D´efinitions des int´egrales convergentes 2 2 Propri´et´es des int´egrales convergentes 5 3 Int´egrale g´en´eralis´ee d’une fonction
`
a valeurs positives 7
3.1 Une caract´erisation de l’int´egrabilit´e . . . 7 3.2 Fonctions de r´ef´erence . . . 8 3.3 Comparaison de l’int´egrabilit´e de deux fonctions . . . 9
4 Int´egrales absolument convergentes 10
5 Int´egrales semi-convergentes 11
6 Int´egration des relations de comparaison 12
7 Les espaces Lp(I,K) 14
8 Comparaison entre s´eries et int´egrales 15 9 Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees. 17 9.1 Changement de variable . . . 17 9.2 Int´egration par parties . . . 18
Int´egrales g´en´eralis´ees 1 D´efinitions des int´egrales convergentes Notation.
Kd´esigne le corps R ou C.
I d´esigne un intervalle inclus dans Rde cardinal infini, etf est une application continue par morceaux deI dans K. Dans ce chapitre, on d´efinit R
If, lorsque I est un intervalle quelconque de R. Par exemple, on pourra avoir I = [0,+∞[, I =]0,1] ou I =R.
1 D´ efinitions des int´ egrales convergentes
D´efinition. Lorsque I = [a,+∞[, o`u a ∈ R, on dit que Z +∞
a
f(t)dt est convergente si et seulement si la fonction x7−→
Z x a
f(t)dt a une limite finie en +∞. Dans ce cas, on pose
Z +∞
a
f(t)dt= lim∆
x→+∞
Z x a
f(t)dt.
Autre notation utilis´ee : Z
[a,+∞[
f(t)dt.
Exemple.
Z x 0
e−tdt = [−e−t]x0 = 1−e−x −→
x→+∞ 1, donc Z +∞
0
e−tdt est une int´egrale convergente et
Z +∞
0
e−tdt= 1.
Interpr´etation g´eom´etrique, lorsque f est `a valeurs positives.
G´en´eralisation au cas d’un intervalle semi-ouvert
Lorsque I = [a, b[, o`u a ∈ R et b ∈]a,+∞[∪{+∞}, on dit que Z b
a
f(t)dt est convergente si et seulement si la fonction x7−→
Z x a
f(t)dt a une limite finie lorsque x tend vers b. Dans ce cas, on pose
Z b a
f(t)dt = lim∆
x→b
Z x a
f(t)dt.
Autre notation utilis´ee : Z
[a,b[
f(t)dt.
Lorsque I =]a, b], o`u b ∈ R et a ∈] − ∞, b[∪{−∞}, on dit que Z b
a
f(t)dt est convergente si et seulement si la fonction x7−→
Z b x
f(t)dt a une limite finie lorsque x tend vers a. Dans ce cas, on pose
Z b a
f(t)dt = lim∆
x→a
Z b x
f(t)dt.
Autre notation utilis´ee : Z
]a,b]
f(t)dt.
Int´egrales g´en´eralis´ees 1 D´efinitions des int´egrales convergentes Exemple.
Z x 0
√ 1
1−t2dt = [Arcsin(t)]x0 =Arcsin(x)−→
x→1
π 2, donc
Z 1 0
√ 1
1−t2dt est convergente et
Z 1 0
√ 1
1−t2dt= π 2. Exemple.
Z 1 x
dt
t = [lnt]1x−→
x→0 +∞, donc Z 1
0
dt
t est divergente.
Propri´et´e.
Supposons que I = [a, b[, o`u a∈R etb ∈]a,+∞[∪{+∞}. Soit c∈]a, b[.
AlorsR
[a,b[f converge si et seulement siR
[c,b[f converge, et en cas de convergence, on a Z b
a
f(t)dt= Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt (relation de Chasles).
Notamment, la convergence deR
[a,b[f ne d´epend que du comportement def(t) lorsque t est au voisinage de b.
Supposons que I =]a, b], o`u b∈R et a∈]− ∞, b[∪{−∞}. Soitc∈]a, b[.
Alors R
]a,b]f converge si et seulement si R
]a,c]f converge, et en cas de convergence, on a
Z b a
f(t)dt = Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt (relation de Chasles).
Notamment, la convergence deR
]a,b]f ne d´epend que du comportement def(t) lorsque t est au voisinage de a.
D´emonstration.
Supposons que I = [a, b[, o`ua ∈Ret b∈]a,+∞[∪{+∞}.
D’apr`es la relation de Chasles pour les int´egrales ordinaires, pour tout x ∈]a, b[, Z x
a
f(t)dt = Z c
a
f(t)dt + Z x
c
f(t)dt, donc Z x
a
f(t)dt admet une limite finie lorsque x tend vers b si et seulement si c’est le cas pour
Z x c
f(t)dt, et en cas de convergence, en faisant tendre x vers b, on obtient bien
Z b a
f(t)dt= Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt.
On fait de mˆeme pour le second cas.
Propri´et´e. Soit a, b∈R aveca < b.
Supposons que I = [a, b[, quef est continue sur [a, b[ et quef(t) −→
t→b t∈[a,b[
`∈K. Alors f est continˆument prolongeable sur [a, b]. Dans ce cas, R
[a,b[f(t)dt est convergente et R
[a,b[f(t)dt=R
[a,b]f(t)dt : il s’agit donc d’une int´egrale ordinaire.
Supposons que I =]a, b], quef est continue sur ]a, b] et que f(t) −→
t→a t∈]a,b]
` ∈K. Alors f est continˆument prolongeable sur [a, b]. Dans ce cas, R
]a,b]f(t)dt est convergente et R
]a,b]f(t)dt=R
[a,b]f(t)dt : il s’agit donc d’une int´egrale ordinaire.
D´emonstration.
Le second cas se traitant de la mˆeme fa¸con, supposons queI = [a, b[
Int´egrales g´en´eralis´ees 1 D´efinitions des int´egrales convergentes et que f(t) −→
t→b t∈[a,b[
`∈K. Posons f(b) =l. Ainsi f est continue sur [a, b], donc l’applica- tion x7−→
Z x a
f(t)dt est une primitive de f. Elle est donc de classeC1 sur [a, b], donc en particulier elle est continue en b. Ainsi,
Z x a
f(t)dt −→
x→b x∈[a,b]
Z
[a,b]
f(t)dt.
Exemple.
Z 1 0
tlntdtest une int´egrale ordinaire cartlnt−→
t→0 x>0
0, donc on peut prolon- ger continˆument t7−→tlnt sur [0,1].
Cas d’un intervalle ouvert : On suppose que I =]a, b[, avec −∞ ≤ a < b≤ +∞.
On fixe c∈]a, b[. On dit que Z b
a
f(t)dt est convergente si et seulement si, Z c
a
f(t)dt et Z b
c
f(t)dt sont convergentes (propri´et´e ind´ependante du choix de c) et dans ce cas, on pose
Z b a
f(t)dt = Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt, quantit´e ind´ependante du choix dec.
Cette derni`ere ´egalit´e sera ´egalement appel´ee une relation de Chasles.
D´emonstration.
Soitd∈]a, b[. D’apr`es la propri´et´e pr´ec´edente, Z c
a
f(t)dtet Z b
c
f(t)dtsont convergentes si et seulement si
Z d a
f(t)dt et Z b
d
f(t)dt sont convergentes, et en cas de convergence, Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt = Z d
a
f+ Z c
d
f
+ Z d
c
f+ Z b
d
f
= Z d
a
f(t)dt+ Z b
d
f(t)dt.
Exemple.
Z x 0
dt
1 +t2 = [Atan(t)]x0 = Atan(x) −→
x→+∞
π 2, donc
Z +∞
0
dt
1 +t2 est conver- gente et
Z +∞
0
dt
1 +t2 = π 2. De mˆeme,
Z 0 x
dt
1 +t2 = [Atan(t)]0x = −Atan(x) −→
x→−∞
π
2, donc Z 0
−∞
dt
1 +t2 est conver- gente et
Z 0
−∞
dt
1 +t2 = π 2. Ainsi,
Z +∞
−∞
dt
1 +t2 est convergente et Z +∞
−∞
dt
1 +t2 =π.
Exemple.
Z x
−x
t
1 +t2dt= 0 −→
x→+∞0, car t7−→ t
1 +t2 est impaire, mais Z +∞
−∞
t 1 +t2dt diverge car
Z x 0
t
1 +t2 = [1
2ln(1 +t2)]x0 −→
x→+∞+∞.
Remarque. On suppose que I =]a, b[ avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et que Rb a f est convergente. On suppose ´egalement que f est continue surI et on note F l’une de ses
Int´egrales g´en´eralis´ees 2 Propri´et´es des int´egrales convergentes primitives. Alors
Z β α
f(t)dt −→
α→a β ´etant fix´e
Z β a
f(t)dt −→
β→b
Z b a
f(t)dt.
Ainsi, Z b
a
f(t)dt = lim
β→bF(β)−lim
α→aF(α)= [F∆ (t)]ba .
Remarque. LorsqueI = [a, b] aveca, b∈Reta≤b, on conviendra queRb
a f(t)dtest toujours convergente.
On peut d’ailleurs montrer que Z x
a
f(t)dt−→
x→b
Z b a
f et que Z b
x
f(t)dt−→
x→a
Z b a
f. Ainsi, on dispose de la notion de “convergence de R
If” quel que soit l’intervalle I et quelle que soit la fonction f continue par morceaux sur I. De plus, en cas de conver- gence, on a d´efini la valeur de R
If.
Remarque. Comme pour les int´egrales ordinaires, dans le cadre des int´egrales g´en´eralis´ees, on convient que Ra
b f(t)dt=−Rb
a f(t)dt (en cas de convergence).
2 Propri´ et´ es des int´ egrales convergentes
Lin´earit´e :Soit f et g deux applications continues par morceaux sur I et soitα∈K. SiR
If etR
Ig sont convergentes, alors R
I(αf +g) est convergente et l’on a : Z
I
(αf +g) = α Z
I
f + Z
I
g.
D´emonstration.
C’est connu lorsque I est compact.
Supposons que I est semi-ouvert. Par exemple I = [a, b[ avec −∞< a < b≤+∞ : Pour tout x ∈]a, b[, Rx
a(αf +g) = αRx
a f +Rx
a g, or par hypoth`ese, Rx a f −→
x→b
Rb a f et Rx
a g −→
x→b
Rb
a g donc Rx
a(αf +g)−→
x→b αRb
a f +Rb
ag, ce qu’il fallait d´emontrer.
Supposons maintenant queI =]a, b[ avec −∞ ≤a < b≤+∞. Fixonsc∈]a, b[.
Ce qui pr´ec`ede montre queRc
a(αf+g) etRb
c(αf+g) sont convergentes, doncRb
a(αf+g) est convergente, et
Rb
a(αf +g) =Rc
a(αf+g) +Rb
c(αf +g)
=αRc
a f +Rc
ag+αRb
c f +Rb c g
=α(Rc
a f+Rb
c f) + (Rc
a g+Rb c g)
=αRb
a f+Rb ag.
Traduction alg´ebrique : L’ensemble E des applications continues par morceaux sur I telles que R
If converge est un sous-espace vectoriel de F(I,K) et l’application f 7−→R
If est une forme lin´eaire sur E.
Positivit´e : SiR
If converge et si f est `a valeurs positives, alors R
If ≥0.
Int´egrales g´en´eralis´ees 2 Propri´et´es des int´egrales convergentes D´emonstration.
Lorsque I =]a, b] ou I = [a, b[,R
If est une limite d’int´egrales ordinaires de f, qui sont positives car f est positive, donc R
If ≥0.
Croissance de l’int´egrale g´en´eralis´ee : Si f etg sont deux applications continues par morceaux sur I `a valeurs r´eelles telles que ∀t ∈ I, f(t) ≤ g(t), alors en cas de convergence des int´egrales, R
If ≤R
Ig.
D´emonstration.
g−f est `a valeurs positives, donc 0≤R
I(g−f) =R
Ig−R
If.
Propri´et´e.
Supposons que I = [a, b[ avec −∞< a < b≤+∞.
On suppose que f est continue et que R
If est convergente.
Alorsx7−→Rb
xf(t)dt est de classe C1 et d dx
Z b x
f(t)dt
=−f(x).
Supposons que I =]a, b] avec −∞ ≤a < b <+∞.
On suppose que f est continue et que R
If est convergente.
Alorsx7−→Rx
a f(t)dt est de classe C1 et d dx
Z x a
f(t)dt
=f(x).
D´emonstration.
Supposons queI = [a, b[ avec −∞< a < b≤+∞, le second cas se traitant de la mˆeme fa¸con. Fixons c∈]a, b[. Alors d’apr`es la relation de Chasles,
Rb
x f(t)dt=Rc
x f(t)dt+Rb
c f(t)dt =−Rx
c f(t)dt+Rb
c f(t)dt, or x7−→Rx
c f(t)dt est une primitive def surI, donc elle est de classeC1 et d
dx Z x
c
f(t)dt
=f(x), ce qui permet de conclure.
Exemple. d dx
Z +∞
x
e−tdt
=−e−x. Propri´et´e. On suppose que
— f est `a valeurs positives,
— f est continue,
— R
If est convergente etR
If = 0.
Alorsf est identiquement nulle sur I :∀t ∈I, f(t) = 0.
D´emonstration.
C’est connu lorsque I est compact.
Supposons que I = [a, b[ avec −∞< a < b≤+∞. Soit x∈I. D’apr`es la positivit´e de l’int´egrale g´en´eralis´ee, 0≤Rx
a f ≤Rx a f+Rb
x f =Rb
af = 0, doncRx
a f = 0, maisf/[a,x]
est continue et positive, donc d’apr`es un th´eor`eme portant sur les int´egrales ordinaires, f/[a,x] est identiquement nulle, donc f(x) = 0.
On raisonne de mˆeme lorsque I =]a, b] avec −∞ ≤a < b <+∞.
Supposons enfin que I =]a, b[ avec −∞ ≤a < b≤+∞. Fixons c∈]a, b[. D’apr`es la relation de Chasles et la positivit´e des int´egrales g´en´eralis´ees, on a :
Int´egrales g´en´eralis´ees
3 Int´egrale g´en´eralis´ee d’une fonction
`
a valeurs positives 0 =Rb
a f =Rc a f+Rb
c f,Rc
af ≥0 etRb
c f ≥0, donc 0 =Rc
a f =Rb
c f et les cas pr´ec´edents permettent de conclure.
3 Int´ egrale g´ en´ eralis´ ee d’une fonction
` a valeurs positives
3.1 Une caract´ erisation de l’int´ egrabilit´ e
Notation. Pour tout ce paragraphe, I est un intervalle quelconque et f est une application continue par morceaux de I dans K.
On suppose que, pour tout t ∈I, f(t)≥0.
D´efinition. On dit que f est int´egrable sur I si et seulement siR
If est convergente.
Propri´et´e. On suppose que I = [a, b[ o`u −∞< a < b≤+∞.
Rb
a f est convergente si et seulement si l’applicationx7−→Rx
a f(t)dtest major´ee et dans ce cas,
Z
[a,b[
f(t)dt= sup
x∈[a,b[
Z x a
f(t)dt.
D´emonstration.
x7−→Rx
a f(t)dtest croissante d’apr`es la relation de Chasles et la positivit´e de l’int´egrale, donc il suffit d’appliquer le th´eor`eme de la limite monotone.
Remarque. Lorsque Rb
a f n’est pas convergente, Rx
a f(t)dt −→
x→b x∈[a,b[
+∞.
Propri´et´e. On suppose que I =]a, b] o`u −∞ ≤a < b <+∞.
Rb
a f est convergente si et seulement si l’applicationx7−→Rb
x f(t)dtest major´ee et dans ce cas,
Z
[a,b[
f(t)dt= sup
x∈]a,b]
Z b x
f(t)dt.
D´emonstration.
x 7−→ Rb
x f(t)dt est d´ecroissante d’apr`es la relation de Chasles et la positivit´e de l’int´egrale, donc il suffit d’appliquer le th´eor`eme de la limite monotone.
Remarque. Lorsque Rb
a f n’est pas convergente, Rb
x f(t)dt −→
x→b x∈[a,b[
+∞.
Remarque. Soit u= (un)n∈N ∈(R+)N. On note f l’application de R+ dans R+ telle que, pour toutt∈R+,f(t) = uE(t), o`uE(t) d´esigne la partie enti`ere det.f est continue par morceaux sur R+.
R+∞
0 f est convergente si et seulement si la suite Z n
0
f
n∈N
=
n−1
X
k=0
uk
!
n∈N
est major´ee, donc si et seulement si la s´erie P
un converge.
Il y a donc un lien assez ´etroit entre la convergence d’une int´egrale et la convergence d’une s´erie. C’est pourquoi ce chapitre pr´esentera beaucoup de similitudes avec le chapitre “s´eries de vecteurs”. Cependant, il y a quelques diff´erences :
Int´egrales g´en´eralis´ees
3 Int´egrale g´en´eralis´ee d’une fonction
`
a valeurs positives Exercice. A l’aide des fonctions peignes, montrer qu’il est possible de construire une applicationf : [a,+∞[−→R+, continue et int´egrable surR+ telle quef(t) ne tend pas vers 0 lorsquet tend vers +∞.
Solution :
Propri´et´e. Soit I0 un sous-intervalle de I. Si f est int´egrable sur I, alors f est int´egrable sur I0 et R
I0f ≤R
If. D´emonstration.
Envisager les diff´erents cas et utiliser la relation de Chasles.
3.2 Fonctions de r´ ef´ erence
Propri´et´e. Soit α∈R. L’applicationt7−→ 1
tα est int´egrable sur [1,+∞[ si et seulement si α >1.
Soit (a, b)∈R2 avec a < b.
L’applicationt7−→ 1
(t−a)α est int´egrable sur ]a, b] si et seulement si α <1.
Soit (a, b)∈R2 avec a < b.
L’applicationt7−→ 1
(b−t)α est int´egrable sur [a, b[ si et seulement si α <1.
D´emonstration.
• Soit x > 1. Si α 6= 1, Z x
1
dt
tα = x1−α−1
1−α et cette quantit´e admet une limite finie lorsque x tend vers +∞ si et seulement siα >1.
Siα= 1, Z x
1
dt
t = ln(x) qui n’admet pas de limite finie lorsque xtend vers +∞. Ainsi L’application t7−→ 1
tα est int´egrable sur [1,+∞[ si et seulement si α >1.
• Soit x ∈]a, b[. Si α 6= 1, Z b
x
dt
(t−a)α = (b−a)1−α−(x−a)1−α
1−α et cette quantit´e admet une limite lorsque xtend vers a si et seulement siα <1.
Si α = 1, Z b
x
dt
t−a = ln(b−a)−ln(x−a) qui n’admet pas de limite finie lorsque x tend vers a. Ainsi L’application t 7−→ 1
(t−a)α est int´egrable sur ]a, b] si et seulement si α <1.
• La derni`ere partie de l’´enonc´e se d´emontre de la mˆeme fa¸con.
Exemple. L’application t7−→ 1
t2 est-elle int´egrable sur R∗+?
Int´egrales g´en´eralis´ees
3 Int´egrale g´en´eralis´ee d’une fonction
`
a valeurs positives
3.3 Comparaison de l’int´ egrabilit´ e de deux fonctions
Propri´et´e. Soit g :I −→R+ une seconde application continue par morceaux.
Si pour tout x∈I, 0≤f(x)≤g(x) et si g est int´egrable sur I, alors f est aussi int´egrable et R
If ≤R
Ig.
D´emonstration.
C’est connu lorsque I est compact.
Supposons que I = [a, b[ avec −∞< a < b≤+∞.
Pour tout x∈[a, b[, Rx
a f(t)dt≤Rx
a g(t)dt ≤Rb
a g(t)dt, car Rb
a g ´etant suppos´ee conver- gente avec g positive, Rb
a g = sup
x∈[a,b[
Z x a
g.
Ainsix7−→Rx
a f est major´ee, orf est positive, doncRb
a f est convergente et par passage
`
a la limite dans l’in´egalit´e pr´ec´edente, Rb
af ≤Rb a g.
Lorsque I =]a, b] avec −∞ ≤a < b <+∞, le raisonnement est analogue.
Supposons que I =]a, b[ avec −∞ ≤a < b≤+∞. Fixons c∈]a, b[.
Ce qui pr´ec`ede montre que Rc
a f et Rb
c f convergent, avec Rc
af ≤ Rc
a g et Rb
c f ≤ Rb c g.
On conclut en sommant ces deux in´egalit´es.
Notation. f etϕ sont deux applications de I dans R, `a valeurs positives.
On suppose que I = [a, b[ o`u a ∈ R et b ∈ R, avec a < b ou a > b : on utilise ici la convention suivante [a, b[=]b, a], sans tenir compte de l’ordre entrea et b.
Lorsque l’on fera tendre xvers b, il sera toujours sous-entendu que x tend vers b pour x appartenant `a [a, b[.
Th´eor`eme.
Supposons que f(x) =
x→b O(ϕ(x)) au voisinage deb.
Siϕ est int´egrable, alorsf est int´egrable.
D´emonstration.
Il existe C ≥ 0 et c ∈]a, b[ tel que pour tout t ∈ [c, b[, 0 ≤ f(t) ≤ Cϕ(t). Or Cϕ est int´egrable sur [c, b[, doncf est int´egrable sur [c, b[. Ainsi f est int´egrable sur [a, b[.
Th´eor`eme.
Supposons que f(t) ∼
t→bϕ(t).
Alorsf est int´egrable si et seulement si ϕest int´egrable.
D´emonstration.
Sif ∼ϕ, alors f =O(ϕ) et ϕ=O(f).
Exemple. Int´egrabilit´e de t7−→ 1
√1−t3 sur [0,1[.
Au voisinage de 1, 1
√1−t3 = 1
p(1−t)(1 +t+t2) ∼
1
√ 1 3√
1−t, or t7−→ 1
√1−t est int´egrable et positive sur [0,1[, donc t7−→ 1
√1−t3 est int´egrable sur [0,1[.
Int´egrales g´en´eralis´ees 4 Int´egrales absolument convergentes Exemple. Soit (α, β)∈R2. On souhaite ´etudier l’int´egrabilit´e de t 7−→ 1
tα|lnt|β sur [e,+∞[ et sur ]0,1e] respectivement.
• Etude sur [e,+∞[.
Premier cas. Si α > 1, il existe γ ∈]1, α[. Or 1
tαlnβt = o
+∞
1 tγ
et t 7−→ 1 tγ est int´egrable sur [e,+∞[, donc t7−→ 1
tαlnβt est int´egrable sur [e,+∞[.
Deuxi`eme cas. Si α < 1. 1 t = o
+∞
1 tαlnβt
et t 7−→ 1
t n’est pas int´egrable sur [e,+∞[, donc t7−→ 1
tαlnβt n’est pas int´egrable sur [e,+∞[.
Troisi`eme cas. Siα = 1.
Z x e
dt tlnβt =
ln1−βt 1−β
x
e
siβ 6= 1 [ln(lnt)]xe siβ = 1
, donc t7−→ 1 tlnβt est int´egrable sur [e,+∞[ si et seulement si β >1.
• Etude sur ]0,1e].
Pour tout x∈]0,1e[, en posantt = u1 (ce qui est possible caru7−→ 1u est de classeC1), Z 1e
x
dt tα|lnt|β =
Z e
1 x
−duu2
u−αlnβu = Z 1x
e
du
u2−αlnβu, donc t 7−→ 1
tα|lnt|β est int´egrable sur ]0,1e] si et seulement si 2−α >1, ou 2−α= 1 etβ >1, c’est-`a-dire si et seulement si α <1, ou α= 1 et β >1.
4 Int´ egrales absolument convergentes
Notation. On rappelle que I est un intervalle quelconque de R et que f est une application continue par morceaux de I dans K.
D´efinition.
On dit que R
If(t)dt est absolument convergente si et seulement si R
I|f(t)|dt est convergente.
On dit quef est int´egrable surI si et seulement siR
If(t)dt est absolument conver- gente, c’est-`a-dire si et seulement si t 7−→ |f(t)| est int´egrable en tant que fonction `a valeurs positive.
Th´eor`eme. L’absolue convergence implique la convergence.
D´emonstration.
On suppose que R
If est absolument convergente, c’est-`a-dire que f est int´egrable sur I.
Supposons d’abord que f est `a valeurs r´eelles.
Pour tout x∈I, on posef+(x) = max(f(x),0) etf−(x) = max(−f(x),0).
En discutant selon le signe de f(x),
on montre que f+(x) = 12(|f(x)|+f(x)) et f−(x) = 12(|f(x)| −f(x)).
Int´egrales g´en´eralis´ees 5 Int´egrales semi-convergentes En particulier, ces formules prouvent que f+ et f− sont deux applications continues par morceaux sur I, que f =f+−f− et|f|=f++f−.
Ainsi 0 ≤ f+ ≤ |f| et 0 ≤ f− ≤ |f|, donc R
If+ et R
If− sont convergentes, or f =f+−f−, donc par lin´earit´e, R
If est convergente.
Supposons maintenant que f est `a valeurs complexes. Alors les applications Re(f) etIm(f) sont continues par morceaux sur I, `a valeurs dans R.
De plus, pour tout x ∈ I, 0 ≤ |Re(f(x))| ≤ |f(x)| et 0 ≤ |Im(f(x))| ≤ |f(x)|.
AinsiR
IRe(f) etR
IIm(f) sont absolument convergentes, donc convergentes d’apr`es le point pr´ec´edent, or f = Re(f) +iIm(f), donc par lin´earit´e, R
If est convergente.
Remarque. La r´eciproque est fausse : c’est l’objet du paragraphe suivant.
Propri´et´e. In´egalit´e triangulaire. Si f est int´egrable sur I, alors
Z
I
f
≤ Z
I
|f|.
D´emonstration.
C’est connu lorsque I est compact.
Si I = [a, b[ avec −∞< a < b ≤+∞, pour tout x∈]a, b[, |Rx
a f(t)dt| ≤ Rx
a |f(t)|dt et on conclut en faisant tendre xvers b.
Idem lorsqueI =]a, b] avec −∞ ≤a < b <+∞.
Lorsque I =]a, b[ avec −∞ ≤a < b ≤+∞, fixons c∈]a, b[ :
|Rb
a f|=|Rc
af +Rb
c f| ≤ |Rc
af|+|Rb
c f|, donc d’apr`es les cas pr´ec´edents,
|Rb
a f| ≤Rc
a |f(t)|dt+Rb
c |f(t)|dt=Rb
a|f(t)|dt.
5 Int´ egrales semi-convergentes
D´efinition. On dit que R
If est semi-convergente lorsqu’elle est convergente sans ˆetre absolument convergente.
Exemple. Montrons que Z +∞
1
sint
t dt est semi-convergente.
Soit A >1. En int´egrant par parties, on obtient que Z A
1
sint t dt=
−cost t
A 1
− Z A
1
cost t2 dt.
Or
cost t2
≤ 1
t2, ett 7−→ 1
t2 est int´egrable sur [1,+∞[, donc t 7−→ cost
t2 est int´egrable sur [1,+∞[. On en d´eduit que
Z A 1
sint
t dt −→
A→+∞cos 1− Z +∞
1
cost t2 dt.
Pour tout t ∈ [1,+∞[,
sint t
≥ sin2t
t = 1−cos 2t
2t . De mˆeme que ci-dessus, on montrerait que la quantit´e
Z A 1
cos 2t
t dtadmet une limite finie lorsqueAtend vers +∞.
Int´egrales g´en´eralis´ees 6 Int´egration des relations de comparaison De plus,t7−→ 1t n’est pas int´egrable sur [1,+∞[ et est positive, donc
Z A 1
dt
t −→
A→+∞+∞.
On en d´eduit que Z A
1
sint t
A→+∞−→ +∞, donc que f n’est pas int´egrable sur [1,+∞[, alors que
Z A 1
f(t)dt admet une limite lorsqueA tend vers +∞.
Ainsi, Z +∞
1
sin(t)
t dt est une int´egrale impropre.
6 Int´ egration des relations de comparaison
Notation. f etϕ sont deux applications de I dans K.
On suppose que I = [a, b[ o`ua ∈R et b∈R, avec a < b ou a > b.
Lorsque l’on fera tendre xvers b, il sera toujours sous-entendu que x tend vers b pour x appartenant `a [a, b[.
Th´eor`eme. On suppose que ϕ est `a valeurs positives.
1◦) On suppose que ϕest int´egrable sur [a, b[.
Sif =O
b (ϕ), alorsf est int´egrable sur [a, b[ et Rb
x f(t)dt =O
b
Rb
xϕ(t)dt . Sif =o
b (ϕ), alors f est int´egrable sur [a, b[ et Rb
x f(t)dt=o
b
Rb
x ϕ(t)dt . Sif ∼
b ϕ, alors f est int´egrable sur [a, b[ et Rb
xf(t)dt∼
b
Rb
xϕ(t)dt.
2◦) On suppose que ϕn’est pas int´egrable sur [a, b[.
Si f =O
b (ϕ), alorsRx
a f(t)dt=O
b
Rx
a ϕ(t)dt . Si f =o
b (ϕ), alors Rx
a f(t)dt=o
b
Rx
a ϕ(t)dt . Si f ∼
b ϕ, alors Rx
a f(t)dt ∼
b
Rx
a ϕ(t)dt.
D´emonstration.
1◦) On suppose que ϕ est int´egrable sur [a, b[.
Pour simplifier, on suppose que a < b, l’autre cas ´etant similaire.
Supposons que f =O(ϕ).
Il existeC ≥0 et c∈]a, b[ tel que pour tout t ∈[c, b[,|f(t)| ≤Cϕ(t).
Soit x∈[c, b[.|Rb
xf(t)dt| ≤Rb
x |f(t)|dt≤CRb
xϕ(t)dt, donc Rb
x f(t)dt=O Rb
x ϕ(t)dt
. Supposons que f =o(ϕ). Soitε >0.
Il existec∈]a, b[ tel que pour tout t∈[c, b[,|f(t)| ≤εϕ(t).
Soit x∈[c, b[.|Rb
xf(t)dt| ≤Rb
x |f(t)|dt≤εRb
x ϕ(t)dt, doncRb
x f(t)dt =o Rb
xϕ(t)dt
. Supposons que f ∼ϕ. Alors f −ϕ=o(ϕ), donc Rb
x(f(t)−ϕ(t))dt =o Rb
x ϕ(t)dt , ce qui prouve queRb
x f(t)dt ∼Rb
x ϕ(t)dt.
Int´egrales g´en´eralis´ees 6 Int´egration des relations de comparaison 2◦) On suppose que ϕ n’est pas int´egrable sur [a, b[.
Supposons que f =O(ϕ).
Il existeC ≥0 et c∈]a, b[ tel que pour tout t ∈[c, b[,|f(t)| ≤Cϕ(t).
Soit x∈[c, b[.|Rx
a f(t)dt| ≤Rx
a |f(t)|dt =Rc
a |f(t)|dt+Rx
c |f(t)|dt≤CRx
a ϕ(t)dt+D, o`u D = Rc
a |f(t)|dt−CRc
aϕ(t)dt. Or Rx
a ϕ(t)dt −→
x→b x∈[a,b[
+∞, car ϕ n’est pas int´egrable, donc il existe d∈]a, b[ tel que pour tout x∈[d, b[, Rx
a ϕ(t)dt≥D.
Ainsi, si x∈[max(c, d), b[,
|Rx
a f(t)dt| ≤(C+ 1)Rx
a ϕ(t)dt, ce qui prouve que Rx
a f(t)dt=O Rx
a ϕ(t)dt . Supposons que f =o(ϕ). Soitε >0.
Il existec∈]a, b[ tel que pour tout t∈[c, b[,|f(t)| ≤ 2εϕ(t).
Soitx∈[c, b[.|Rx
a f(t)dt| ≤Rx
a |f(t)|dt=Rc
a |f(t)|dt+Rx
c |f(t)|dt≤ ε2Rx
a ϕ(t)dt+D, o`u D=Rc
a |f(t)|dt−ε2Rc
aϕ(t)dt. OrRx
a ϕ(t)dt −→
x→b x∈[a,b[
+∞, donc il existed∈]a, b[ tel que pour tout x ∈ [d, b[, Rx
a ϕ(t)dt ≥ 2D
ε . Ainsi, si x ∈ [max(c, d), b[, |Rx
a f(t)dt| ≤ εRx
a ϕ(t)dt, ce qui prouve queRx
a f(t)dt=o Rx
a ϕ(t)dt . Lorsque f ∼ϕ, on raisonne comme `a la fin du 1◦) , pour montrer que
Rx
a f(t)dt ∼Rx
a ϕ(t)dt.
Remarque. Si l’on fait le lien entre ce th´eor`eme et le th´eor`eme de sommation des relations de comparaison (vu dans le chapitre “s´eries de complexes”), il apparaˆıt que Rx
a f(t)dt pour x au voisinage de b est `a consid´erer comme une “somme partielle” et que Rb
x f(t)dt pourx au voisinage de b est `a consid´erer comme un reste de Cauchy.
Exemple. Pour x au voisinage de +∞, Z x
e
dt
lnt ∼ x ln(x). En effet, en int´egrant par parties, on obtient que
Z x e
dt lnt =
t lnt
x e
+ Z x
e
dt ln2t. Au voisinage de +∞, 1
t =o 1
lnt
, donct7−→ 1
lnt n’est pas int´egrable sur [e,+∞[, or 1
ln2t =o 1
lnt
, donc d’apr`es le th´eor`eme d’int´egration des relations de comparaison, au voisinage de +∞,
Z x e
dt ln2t =o
Z x e
dt lnt
. Ainsi
Z x e
dt
lnt = x
lnx−e+o Z x
e
dt lnt
. Ainsi
Z x e
dt
lnt ∼ x
ln(x) −e∼ x ln(x).
Int´egrales g´en´eralis´ees 7 Les espacesLp(I,K)
7 Les espaces L
p(I, K )
D´efinition. On note L1(I,K) l’ensemble des applications continuesdeI dansKqui sont int´egrables sur I. C’est un sous-espace vectoriel de C(I,K). On munitL1(I,K) de
la norme de la convergence en moyenne, d´efinie par ∀f ∈L1(I,K) kfk1 =
Z
I
|f(t)|dt.
D´emonstration.
Soit (f, g)∈L1(I,K)2 et (α, β)∈K2.
Pour tout t ∈ I, |αf(t) +βg(t)| ≤ |α||f(t)|+|β||g(t)|, or t 7−→ |f(t)| et t 7−→ |g(t)|
sont int´egrables sur I, donc αf +βg ∈L1(I,K). De plus, L1(I,K)6=∅, donc c’est un sous-espace vectoriel de C(I,K).
Pour montrer que k.k1 est bien une norme, d´etaillons le seul point d´elicat.
Soit f ∈ L1(I,K) telle que kfk1 = 0. Alors t 7−→ |f(t)| est une application continue, positive et dont l’int´egrale sur I est nulle. D’apr`es une propri´et´e du paragraphe 2, on en d´eduit que t7−→ |f(t)| est identiquement nulle sur I, ce qui prouve que f = 0.
D´efinition. On note L∞(I,K) l’ensemble des applications continues de I dans K qui sont born´ees sur I. C’est un sous-espace vectoriel de C(I,K). On munit L∞(I,K) de
la norme de la convergence uniforme, d´efinie par ∀f ∈L∞(I,K) kfk∞ = sup
t∈I
|f(t)|.
D´emonstration.
Exercice.
D´efinition. On note L2(I,K) l’ensemble des applications continues de I dans K dont le carr´e est int´egrable sur I. C’est un sous-espace vectoriel deC(I,K). On munit L2(I,K) de
la norme de la convergence en moyenne quadratique, d´efinie par ∀f ∈L2(I,K) kfk2 =
sZ
I
|f(t)|2dt.
De plus, le produit de deux ´el´ements deL2(I,K) est un ´el´ement de L1(I,K) . D´emonstration.
• Soient (f, g)∈L2(I,K).|f g| ≤ 12(|f|2+|g|2), doncf g est int´egrable sur I.
• Soit (α, β) ∈ K2. (αf +βg)2 = α2f2+β2g2 + 2αβf g, donc αf +βg ∈ L2(I,K).
De plus le carr´e de l’application identiquement nulle est int´egrable, doncL2(I,K)6=∅.
AinsiL2(I,K) est un sous-espace vectoriel de C(I,K).
• Supposons d’abord que K=R :
on pose ϕ: L2(I,R)×L2(I,R) −→ R (f, g) 7−→ R
If(t)g(t)dt. Montrons que ϕest un produit scalaire sur L2(I,R).
D’apr`es le premier point, si (f, g)∈L2(I,R), ϕ(f, g) est correctement d´efini.
Int´egrales g´en´eralis´ees 8 Comparaison entre s´eries et int´egrales Soit ((f, f0, g, g0),(α, β))∈L2(I,K)4 ×R2. D’apr`es la lin´earit´e des int´egrales, R
I(αf +βf0)g =αR
If g+βR
If0g etR
If(αg+βg0) = αR
If g+βR
If g0, ainsi ϕest une forme bilin´eaire de L2(I,R).
Soit (f, g)∈L2(I,K)2.R
If g =R
Igf ,donc ϕest une forme bilin´eaire sym´etrique.
Soit f ∈L2(I,R). ϕ(f, f) =R
If(t)2dt≥0, donc ϕest positive.
Soit f ∈L2(I,R) telle que ϕ(f, f) = 0.
Alors I −→ R
t 7−→ f(t)2 est continue, positive et d’int´egrale nulle, donc f = 0.
Ainsiϕ est une forme d´efinie.
On a montr´e que ϕest un produit scalaire.
Alorsk.k2 est bien une norme en tant que norme associ´ee `a ce produit scalaire.
• Supposons maintenant queK=C.
On montre facilement que k.k2 est positive, homog`ene et d´efinie. Soit f, g∈L2(I,C).
kf +gk2 = rZ
I
|f(t) +g(t)|2dt ≤ rZ
I
(|f(t)|+|g(t)|)2dt=kf˜+ ˜gk2,
o`u ˜f : t 7−→ |f(t)| et ˜g : t 7−→ |g(t)|. Or ˜f et ˜g sont `a valeurs r´eelles, donc d’apr`es le point pr´ec´edent, kf+gk2 ≤ kfk˜ 2 +k˜gk2 =kfk2+kgk2
8 Comparaison entre s´ eries et int´ egrales
Th´eor`eme. Soitn0 ∈Netf : [n0,+∞[−→Rune application continue par morceaux, que l’on suppose positive et d´ecroissante. Pour tout n∈N avecn ≥n0+ 1,
on pose wn= Z n
n−1
f(t)dt−f(n) = Z n
n−1
(f(t)−f(n))dt.
Alors la s´erie P
wn converge, donc P
f(n) converge si et seulement si Z +∞
n0
f(t)dt converge.
Interpr´etation graphique.
D´emonstration.
Soit n≥n0+ 1 : pour toutt∈[n−1, n],f(n)≤f(t)≤f(n−1), donc f(n) =
Z n n−1
f(n)dt≤ Z n
n−1
f(t)dt ≤ Z n
n−1
f(n−1)dt=f(n−1).
Ainsi, 0≤wn≤f(n−1)−f(n).
La suite (f(n)) est d´ecroissante et minor´ee par 0, donc elle converge, donc la s´erie t´elescopique P
(f(n−1)−f(n)) converge, donc P
wn converge ´egalement.
Or pour n > n0,
n
X
k=n0+1
wk = Z n
n0
f(t)dt−
n
X
k=n0+1
f(k), donc P
f(n) converge si et seulement si la suite
Rn
n0f(t)dt
converge, or cette suite est croissante, donc elle converge si et seulement si elle est major´ee, donc si et seulement si l’application x7−→Rx
n0f(t)dtest major´ee, c’est-`a-dire si et seulement sifest int´egrable sur [n0,+∞[.
Int´egrales g´en´eralis´ees 8 Comparaison entre s´eries et int´egrales Exemple. Nature des s´eries de Bertrand, X
n≥2
1 nαlnβn.
• Lorsque α6= 1, on sait conclure rapidement en faisant intervenir un r´eel β ∈]1, α[.
• On suppose que α= 1.
Siβ <0, 1 n =O
1 nlnβn
, donc la s´erie de Bertrand est divergente.
On suppose maintenant que β ≥0. Ainsi l’application f : [2,+∞[ −→ R
t 7−→ 1
tlnβt
est d´ecroissante et positive.
La s´erie de Bertrand est donc convergente si et seulement sif est int´egrable sur [2,+∞[.
Or, pour tout x > 2, Z x
2
dt tlnβt =
ln1−βt 1−β
x
2
siβ 6= 1 [ln lnt]x2 si β = 1
, donc la s´erie converge si et seulement si β >1.
Exercice. Proposer un algorithme pour calculer une valeur approch´ee de π2 6 `a 10−4 pr`es, en admettant que π2
6 =
+∞
X
n=1
1 n2. Solution.Posons AN =
N
X
n=1
1
n2 etRN =
+∞
X
n=N+1
1 n2. Un premier algorithme consiste `a approcher π2
6 par AN, o`uN est choisi de sorte que|RN| ≤10−4.
Cependant, comme il n’est pas question de rechercher une valeur exacte de RN, il est n´ecessaire de disposer d’un majorant de RN.
Appliquons la technique de comparaison entre s´eries et int´egrales : Pour tout t ∈ [1,+∞[, posons f(t) = 1
t2. Ainsi f est une application continue, positive et d´ecroissante d´efinie sur [1,+∞[.
Soit n ∈ N∗. Pour tout t ∈ [n, n+ 1], f(n+ 1)≤ f(t) ≤ f(n), puis en int´egrant entre n et n + 1, f(n + 1) ≤
Z n+1 n
f(t)dt ≤ f(n). Ensuite, en sommant ces in´egalit´es pour n variant de N `a +∞, on obtient : RN ≤
Z +∞
N
dt
t2 ≤RN + 1 N2. Ainsi, pour toutN ∈N∗,− 1
N2+ Z +∞
N
dt
t2 ≤RN ≤ Z +∞
N
dt t2, mais
Z +∞
N
dt t2 = 1
N, donc 1
N − 1
N2 ≤RN ≤ 1 N.
Avec ce premier algorithme, il faut donc choisir N de sorte que N1 ≤ 10−4, soit N ≥10000.
Int´egrales g´en´eralis´ees 9 Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees.
Cependant, la minoration de RN montre que l’on commet ainsi une erreur syst-
´ematique de l’ordre de 1 N.
On a donc int´erˆet `a choisir comme valeur approch´ee de π2
6 la quantit´e AN + 1 N. L’erreur commise est alors RN − 1
N, or − 1
N2 ≤ RN − 1
N ≤ 0, donc la valeur approch´ee l’est par exc`es et, avec ce deuxi`eme algorithme, il suffit de choisir N de sorte que 1
N2 ≤10−4, soit N ≥100.
9 Calcul des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees.
9.1 Changement de variable
Th´eor`eme. On suppose que f est continue sur I.
SoitJun intervalle d’int´erieur non vide etϕ:J −→Iest une bijection de classeC1. AlorsR
If etR
Jϕ0.(f◦ϕ) ont la mˆeme nature (absolument convergentes, convergentes, semi-convergentes ou bien divergentes) et en cas de convergence,
Z
I
f(x)dx= Z
J
f(ϕ(t))|ϕ0(t)|dt.
D´emonstration.
D’apr`es le cours de MPSI, ϕ´etant continue et injective, elle est strictement monotone.
Supposons que ϕest strictement croissante et que I = [a, b[,
avec −∞< a < b ≤+∞. Alors J = [c, d[ o`u c=ϕ−1(a) et o`u d’apr`es le th´eor`eme de la limite monotone, d= lim
t→bϕ−1(t).
Soitx∈]a, b[ : d’apr`es la th´eorie des int´egrales ordinaires,ϕ´etant de classeC1, on peut posert =ϕ(u) dans l’int´egrale Rx
a f(t)dt, ce qui donne : Z x
a
f(t)dt =
Z ϕ−1(x) c
f(ϕ(u))ϕ0(u)du.
SiRd
c f(ϕ(u))ϕ0(u)du est convergente, par composition des limites,
Z x a
f(t)dt=
Z ϕ−1(x) c
f(ϕ(u))ϕ0(u)du −→
x→b
Z d c
f(ϕ(u))ϕ0(u)du, donc Rb
a f(t)dt est convergente.
La r´eciproque se d´emontre de la mˆeme fa¸con `a l’aide de la relation : pour tout x∈]c, d[,
Z x c
f(ϕ(u))ϕ0(u)du= Z ϕ(x)
a
f(t)dt.
En rempla¸cantf par |f|, on en d´eduit que R
If est absolument convergente si et seule- ment si R
Jϕ0.(f ◦ϕ) est aussi absolument convergente. Ainsi,R
If etR
Jϕ0.(f ◦ϕ) ont la mˆeme nature. En cas de convergence,
Int´egrales g´en´eralis´ees 9 Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees.
Z
I
f(x)dx= lim
x→b
Z x a
f(t)dt= lim
x→b
Z ϕ−1(x) c
f(ϕ(u))ϕ0(u)du= Z
J
ϕ0.(f◦ϕ).
Lorsque queϕ est strictement d´ecroissante et que I = [a, b[,
avec−∞< a < b≤+∞. AlorsJ =]c, d] o`ud=ϕ−1(a) et o`u d’apr`es le th´eor`eme de la limite monotone, c= lim
t→bϕ−1(t). On peut alors adapter la d´emonstration pr´ec´edente.
Les d´emonstrations pour les autres types d’intervalles sont laiss´ees en exercice.
9.2 Int´ egration par parties
Supposons que I = [a, b[ avec a∈ Ret b ∈Ret supposons que f =gh0 o`u g eth sont des applications de classeC1 de I dans K.
Alors, pour tout x∈]a, b[, (1) : Z x
a
g(t)h0(t)dt= [g(t)h(t)]xa− Z x
a
g0(t)h(t)dt.
Parmi les trois quantit´es Z x
a
g(t)h0(t)dt, [g(t)h(t)]xa et Z x
a
g0(t)h(t)dt, si deux au moins admettent une limite finie lorsque x tend vers b, la troisi`eme admet ´egalement une limite finie lorsque x tend vers b et on peut ´ecrire que
Z b a
g(t)h0(t)dt = lim
x→b x∈[a,b[
g(t)h(t)−g(a)h(a)− Z b
a
g0(t)h(t)dt
= [g(t)h(t)]∆ ba− Z b
a
g0(t)h(t)dt.
