S´erie
Int´egrales g´en´eralis´ees
Exercice 1 :
Les int´egrales impropres suivantes sont-elles convergentes?
1.
Z 1
0
lntdt 2.
Z +∞
0
e−t2dt 3.
Z +∞
0
x(sinx)e−xdx
4.
Z +∞
0
(lnt)e−tdt 5.
Z 1
0
dt (1−t)√
t 6.
Z +∞
0
te−
√t
1 +t2dt Exercice 2 :
Justifier la convergence et calculer la valeur des int´egrales suivantes : 1.
Z 1
0
lnt
√1−tdt 2.
Z +∞
0
te−
√
tdt 3.
Z +∞
0
sin(t)e−atdt, a >0 .
Exercice 3 :
1. a) Montrer que Z +∞
0
ln(t)
1 +t2dt converge.
b) En utilisant le changement de variables u= 1/t, v´erifier que Z +∞
0
ln(t)
1 +t2dt = 0.
2. Soit a >0. Calculer Z +∞
0
ln(t) a2+t2dt.
Exercice 4 :
Soit f une fonction continue born´ee sur [0,+∞[.
1. D´emontrer que les int´egralesR+∞
0
f(x)
1+x2dx etR+∞
0
f(1/x)
1+x2 dx sont convergentes.
2. D´emontrer qu’elles sont ´egales.
3. Application : pourn≥0, on consid`ereI = Z +∞
0
dx
(1 +x2)(1 +xn)et Z +∞
0
xn
(1 +x2)(1 +xn)dx.
a) En utilisant 2) montrer que I =J.
b) Calculer I+J.
c) En d´eduire les valeurs de I etJ.
Universit´e Mohammed Premier Ann´ee 2020/2021
Facult´e Pluridisciplinaire de Nador
Analyse 2 D´epartement de Math´ematiques
Fili`ere SMPC 3
