Exercice 1. On suppose que k est de caract´ eristique 0. D´ eterminer les points singuliers des vari´ et´ es projectives suivantes.

UNIVERSIT ´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ ee 2014/2015 Master 2 Math´ ematiques Introduction ` a la g´ eom´ etrie alg´ ebrique

Feuille d’exercices 8

Soit k un corps alg´ ebriquement clos.

Exercice 1. On suppose que k est de caract´ eristique 0. D´ eterminer les points singuliers des vari´ et´ es projectives suivantes.

X = {[X

: X

: X

] ∈ P

| X

X

+ X

X

+ X

X

= 0}

C = {[X

: X

: X

: X

] ∈ P

| X

X

− X

X

= X

− X

X

= X

− X

X

= 0}

Exercice 2.

a) Soit F ∈ k[X

, . . . , X

] un polynˆ ome homog` ene de degr´ e 3 et soit X := V (F ) ⊂ P

l’hyper- surface d´ efinie par F . On suppose que a = [1 : 0 : 0 : 0] et b = [0 : 1 : 0 : 0] sont des points singuliers de X. Montrer que la droite

D = {[X

: X

: X

: X

] ∈ P

| X

= X

= 0}

passant par a et b est contenue dans X.

b) Soit F ∈ k[X

, . . . , X

] un polynˆ ome homog` ene de degr´ e 3 et soit X := V (F) ⊂ P

l’hyper- surface d´ efinie par F. On suppose que a = [1 : 0 : 0] et b = [0 : 1 : 0] et c = [0 : 0 : 1] sont des points singuliers de X. Montrer que X est l’union de trois droites.

Exercice 3. On suppose que k = C . Soit F ∈ k[X

, . . . , X

] un polynˆ ome homog` ene de degr´ e 2.

a) Montrer que, quitte ` a faire un changement de coordonn´ ees lin´ eaire, on peut supposer F = X

+ . . . + X

avec 0 ≤ r ≤ n.

b) Montrer que F est irr´ eductible si et seulement si r ≥ 2. D´ ecrire V (F) si r = 0 et r = 1.

c) On suppose que r ≥ 2, on appelle l’hypersurface Q = V (F ) ⊂ P

une quadrique. Montrer que le lieu singulier de Q est une sous-vari´ et´ e lin´ eaire de dimension n − r − 1.

Exercice 4.

a) Soient A un anneau int` egre qui n’est pas un corps et K son corps de fraction. Montrer que les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :

1. A est un anneau local et principal.

2. A est local, noetherien et l’id´ eal maximal m ⊂ A est principal.

3. Il existe π ∈ A qui est non-nul, irr´ eductible tel que

∀ x ∈ A, x 6= 0 on a x = uπ

avec n ∈ N

, u ∈ A

.

1

4. Il existe une application v : K → Z ∪ ∞ telle que :

— v(0) = ∞

— ∀ x, y ∈ K on a v(x · y) = v(x) + v(y)

— ∀ x, y ∈ K on a v(x + y) ≥ inf(v(x), v(y))

— v(K) 6= {0, ∞}

— A = {x ∈ K | v(x) ≥ 0}.

Un anneau v´ erifiant ces propri´ et´ es est un anneau de valuation discr` ete ; v est sa valuation ; π est une uniformisante.

b) Soit X une courbe alg´ ebrique et x ∈ X un point lisse. Montrer que l’anneau local O

est un anneau de valuation discr` ete. D´ ecrire la valuation v et une uniformisante π.

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