Universit´e P. et M. Curie Sylvie Delabri`ere Licence de Math´ematique Equations diff´erentielles Ann´ee 2005-2006 M´ethodes de r´esolution num´erique LM 383 Partiel du 11 Mai 2006
(sans document ni calculette) (Les probl`emes I et II sont ind´ependants)
I
On consid`ere une fonction f d´efinie sur l’intervalle [2; 2,4], dont on connait les valeurs suivantes :
f(2) = 5,2 ; f(2,1) = 6,4 ; f(2,2) = 5,8 ; f(2,3) = 6,1 ; f(2,4) = 6 1) Etablir le tableau des diff´erences finies de f.
2)En d´eduire le polynˆome d’interpolation de Newton de f d’ordre 4, associ´e aux points
x0 = 2 ; x1 = 2,1 ; x2 = 2,2 ; x3 = 2,3 ; x4 = 2,4
3) Donner une valeur approch´ee de f(2,25) et donner une majoration de l’erreur si f est de classe C5.
II
On consid`ere une m´ethode de quadrature ´el´ementaire sur [−1,+1] : Z +1
−1
f(u)du∼a(bf(u0) +f(0) +f(u2))
o`u a et b sont des r´eels donn´es et u0 et u2 sont deux points non nuls et distincts de l’intervalle [−1,+1].
1) D´eterminer les constantes a, bet les points u0, u2 pour que cette m´ethode soit d’ordre sup´erieur ou ´egal `a 3.
2) V´erifier que la m´ethode est d’ordre exactement 3.
3) D´eterminer le noyau de Peano K3 de cette m´ethode.
4) Montrer que K3 garde un signe constant sur [−1,+1].
1
5) En d´eduire l’erreur E(f) = Z +1
−1
f(u)du−a(bf(u0) + f(0) +f(u2)) de cette m´ethode pour des fonctions f de classe C4.
6) a) D´ecrire la m´ethode de quadrature ´el´ementaire sur un intervalle de la forme [a0, a0+h] associ´ee `a cette m´ethode.
b) D´eterminer la m´ethode compos´ee associ´ee `a cette m´ethode ´el´ementaire et donner l’erreur pour des fonctions de classe C4 sur un intervalle quelconque [a, b].
2
