HX4 — Devoir 1993/14
◮On identifie un polynˆome `a coefficients r´eels, et la fonction polynˆome associ´ee.
◮On note :Cn¡
[a, b],R¢
leR-e.v. des applicationsnfois continˆument d´erivables de [a, b] dansR;Dl’op´erateur de d´erivation, dansR[X] comme dans Cn¡
[a, b],R¢
, etDn sonn-i`eme it´er´e, avec la convention D0f =f;I l’intervalle [0,1] deR;E=C0(I,R).
◮Soientf et gdeux ´el´ements deE; on pose : kfk= sup
t∈I
¡|f(t)|¢
[f]ba=f(b)−f(a) pouraetb dansI (f|g) =R1
0 f g N(f) =p
(f|f) f ⊥gsi (f|g) = 0
Q1 Montrez que (f|f)>0 pour toutf 6= 0. Indication : utilisez la continuit´e def pour ´etablir l’in´egalit´e stricte.
Q2 Montrez que N(f)6kfk.
◮On d´efinit une suite (Pn)n∈Nde polynˆomes parPn(X) =Dn¡
Xn(1−X)n¢ . Q3 Calculez Pn pour 06n63.
Q4 Quel est le degr´e dePn? SoitPn(X) =
n
P
k=0
an,kXk. Explicitez lesan,k; vous d´evelopperez (1−X)n `a l’aide de la formule du binˆome.
Q5 Pr´ecisez le coefficient dominant dePn. CalculezPn(0). Quelle relation existe-t-il entrePn(X) etPn(1−X) ? CalculezPn(1).
Q6 Montrez que la suite (Pn)n∈Nest une base deR[X].
Q7 Montrez que Dk¡
Xn(1−X)n¢
s’annule en 0 et en 1, pour toutk∈[[0,n−1]].
Q8 Soientaet bdeux r´eels tels quea < b, etu,v deux ´el´ements deCn¡
[a, b],R¢
. ´Etablissez, par r´ecurrence sur n, la formule d’int´egration par parties d’ordren:
Z b
a
vDnu=
n−1
X
k=0
£(−1)kDn−k−1uDkv¤b
a+ (−1)n Z b
a
uDnv En d´eduire queR1
0 f Pn= (−1)nR1
0 tn(1−t)nDnf(t)dt pour toutf ∈ Cn(I,R).
Q9 Montrez que Ph⊥Pk pourh6=k. En d´eduire quePn⊥Qpour toutQ∈Rn−1[X].
Q10 Soitx>0 et In(x) =R1
0 tx(1−t)ndt. ´Etablissez une relation entre In(x) etIn−1(x+ 1), pour n>1 ; en d´eduire la valeur deIn(x).
Q11 Montrez que (Pn|Pn) = n!2 2n+ 1.
Q12 Prouvez qu’il existe une et une seule famille (bn,k)06k6n de r´eels telle que tn=
n
X
k=0
bn,kPk(t) Explicitez lesbn,k.
[Devoir 1993/14] Compos´e le 7 mars 2008
