HX4 — Devoir 1993/16
◮Une partieAd’un espace vectorielE est unsous-espace affine deEs’il existe un vecteur~u∈Eet un s.e.v.
GdeE tels queA=~u+G. Nous dirons queGest ladirection de A. Par exemple,{~u} est un sous-espace affine dont la direction est le s.e.v. nul.
◮Dans tout le probl`eme, α d´esigne un r´eel fix´e. NotonsC = C2¡
[0,1],R¢
, E l’ensemble des f ∈ C tels que f(0) =f(1) = 0, etAl’ensemble desf ∈ Ctels que f(0) = 0 etf(1) =α.
◮Soient f et g deux ´el´ements de C¡
[0,1],R¢
; nous notons hf, gi = Z 1
0
f(t)g(t)dt. Vous v´erifierez (sans les r´ediger) les propri´et´es suivantes :hf, g+hi=hf, gi+hf, hi;hf, gi=hg, fi;hf, λgi=λhf, giquels que soient les ´el´ementsf,get hdeC¡
[0,1],R¢
et le r´eel λ.
◮Soitf ∈ C¡
[0,1],R¢
; nous notonsN(f) =hf, fi. Vous v´erifierez (sans les r´ediger) les propri´et´es N(λf) = λ2N(f) etN(f+g) =N(f) + 2hf, gi+N(g).
Q1 V´erifiez quek: t∈[0,1]7→sin3(πt) est un ´el´ement deE.
Q2 Montrez que E est un s.e.v. deC. Est-il de dimension finie ?
Q3 Exhibez un ´el´ement deAet prouvez queAest un sous-espace affine deC, dont la direction estE. Q4 ⋆ Soientx0∈]0,1[ etβ >0 tels que 06x0−β etx0+β61. Exhibez un ´el´ementf deE tel que
f(t)>0 pour toutt∈[0,1]
f(t) = 0 pour toutt∈[0, x0−β]∪[x0+β,1]
f(t) = 1 pour toutt∈£
x0−β2, x0+β2
¤
Q5 ⋆ Soithun ´el´ement deC¡
[0,1],R¢
v´erifianthf, hi= 0 pour toutf ∈ E. Montrez quehest la fonction nulle.
◮NotonsT: f ∈ C 7→N(f) +N(f′).
Q6 Montrez que T(f) = 0 ssi f est la fonction nulle.
Q7 Test-elle injective ?
◮Dans les deux questions suivantes, nous fixonsf ∈ E etg∈ A. Notons : λ∈R7→T(g+λf).
Q8 Montrez que la fonction admet un minimum en 0 ssihf, gi+hf′, g′i= 0.
Q9 Montrez que la condition pr´ec´edente est ´equivalente `a hf, g−g′′i= 0.
◮Nous nous proposons de montrer qu’il existe un et un seul ´el´ement deAr´ealisant un minimum strict absolu pourT, c’est-`a-dire tel queT(g)>T() pour tout ´el´ementg deAautre que .
Q10 ⋆⋆ Montrez qu’une telle fonction est n´ecessairement solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre. Explicitez l’unique solution qui puisse convenir. Vous ferez intervenir les fonctions sh et ch.
Q11 CalculezT().
Q12 Soitg∈ A. Prouvez l’´egalit´eT(g)−T() =T(g−).
Q13 Proposez une interpr´etation g´eom´etrique du r´esultat pr´ec´edent.
Q14 En d´eduire que la fonction d´etermin´ee `a la question 10 est effectivement solution du probl`eme.
Q15 ⋆⋆ La fonctionTadmet-elle un maximum surA?
[Devoir 1993/16] Compos´e le 7 mars 2008
