HX4 — Devoir 1994/04

HX4 — Devoir 1994/04

◮Pourp∈N^∗, on notefp: x >07→

Z x

1

e^t

t^pdt. On noteg: x >07→e^−xf1(x).

Etude de´ f1

Q1 Prouvez quef1∈ C^∞(R^∗₊,R) et pr´ecisez le sens de variation def1. Q2 D´eterminez la limite def1`a droite de 0.

Q3 Justifiez la convergence de Z 1

0

e^t−1 t dt.

Q4 En d´eduire un ´equivalentsimple def1(x) quandx→0⁺. Q5 Pourx >0, ´etablissezf1(x) = e^x

x −e+f2(x).

Q6 ´Etablissez, pourx>2, la majoration :

f1(x)6e^x/2lnx+2e^x x Indication : d´ecoupez l’intervalle d’int´egration [1, x] en deux.

Q7 SoientA <1 etB >2. Montrez que, pourxassez grand, on a : Ae^x

x 6f1(x)6Be^x x

Vous ne chercherez pas `a pr´eciser `a partir de quelle valeur dexcet encadrement est valable. . . Etude de´ fp au voisinage de+∞

Q8 Pourp >1, ´etablissez une relation entrefp(x) et fp+1(x), analogue `a celle qui fut ´etablie en Q5.

Q9 Pourp >1 etx>2, ´etablissez une majoration defp(x) analogue `a celle qui fut ´etablie en Q6.

Q10 Soientp >1,A <1 etB >2^p. Montrez que, pourxassez grand, on a : Ae^x

x^p 6fp(x)6Be^x x^p

Q11 En utilisant la relation ´etablie en Q5, donnez un ´equivalent simple def1(x) quandx→+∞. Q12 De la mˆeme fa¸con, donnez pourp >1 un ´equivalent simple defp(x) quandx→+∞.

Etude de´ g

Q13 Exprimezg^′(x) en fonction de f2(x) ; calculezg^′(1).

Q14 Prouvez qu’il existe un et un seul r´eelα >1 tel quef2(α) =e.

Q15 En d´eduire le tableau des variations deg.

Q16 Exprimezg(α) en fonction de α.

Q17 Donnez un ´equivalent simple deg(x) quandx→0⁺, puis quandx→+∞. Q18 Donnez l’allure de la courbe repr´esentative deg.

1

Evaluation de´ g(x)pour x∈]0,1]

◮Pourn>0, on noteSn(x) = X

06k6n

x^k

k! etrn(x) =e^x−Sn(x).

Q19 Pour x ∈ [0,1], ´etablissez : 0 6 Rn(x) 6 e xⁿ⁺¹

(n+ 1)!. Indication : utilisez la formule de Taylor avec reste int´egral.

Q20 En d´eduire un encadrement def1(x) valable pour toutx∈]0,1].

Q21 R´edigez en langage Pascal une fonction d’en-tˆete :

1 function S(n:integer; x:real):real;

qui ´evalueSn(x).

Q22 Donnez des approximations d´ecimales `a 10<sup>−3</sup> pr`es de g³1 2

´ et g^′³1 2

´. Vous justifierez rigoureusement les encadrements utilis´es.

[Devoir 1994/04] Compos´e le 7 mars 2008

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