HX4 — Devoir 1993/19
◮Le plan euclidien orient´e est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct¡
O,−→ı ,−→ ¢
. Rest un r´eel strictement positif. C d´esigne le cercle de centre O et de rayonR. A est le point deCd’abscisseR, et B celui d’ordonn´ee R. Dest la tangente `a CenB.
◮Soitλ∈R∗. M est le point deDd’abscisseλR,T le point de contact avecCde la tangente men´ee de M et distincte deD. Γ est le cercle tangent en M `a Det passant par T ; Ω est le centre de Γ. Q est le point de Γ diam´etralement oppos´e `a M. I est le milieu du segment OM, et H le projet´e orthogonal de O sur la droite MQ.
Q1 Construisez une figure tr`es soign´ee, pr´esentant tous ces ´el´ements, et respectant imp´erativement les consignes suivantes : la feuille de papier est orient´ee `a l’italienne ; R= 4 ; l’unit´e est ´egale `a 1 cm ; l’axe des abscisses est plac´e au milieu de la feuille ;λ=√
2.
Q2 Expliquez la construction (`a la r`egle et au compas) des points M (pour λ=√
2) et T (pourλquelconque).
◮Dans la suite, et sauf mention explicite du contraire,λest un ´el´ement quelconque deR∗. On noteθ l’angle
¡−→ ,−−→OM¢ .
Q3 Exprimezλen fonction deθ.
Q4 Calculez les coordonn´ees de T en fonction deR et deθ, puis en fonction de Ret deλ.
Q5 En d´eduire les coordonn´ees de Ω en fonction deRet de λ.
Q6 Prouvez que les points O, T et Q sont align´es ; et que le point I appartient au cercle Γ.
Q7 Que pouvez-vous dire de la droite IΩ ? et des trois droites OH, MT et QI ? Q8 On noteP∗ le lieu de Ω lorsqueλd´ecrit R∗. Quelle(s) sym´etrie(s) pr´esente P∗?
Q9 Prouvez queP∗est une partie (que l’on pr´ecisera) d’une paraboleP. Pr´ecisez le sommet S, le param`etrep, le foyer F et la directrice ∆ deP. Placez S, F et ∆ sur la figure.
Q10 Construisez le point Ω′ deP∗ associ´e `aλ= 1.
Q11 Construisez le point Ω′′ de P∗ d’abscisse positive, et situ´e `a l’une des extr´emit´es du diam`etre focal. Vous d´eterminerez d’abord la valeur deλcorrespondante.
Q12 Quelles sont les valeurs deλassoci´ees aux points o`uP∗recoupe l’axe des abscisses ? Tracez soigneusement P sur la figure.
Q13 Sur la figure, les points S, I et Ω semblent align´es. Qu’en pensez-vous ?
[Devoir 1993/19] Compos´e le 7 mars 2008
