HX4 — Contrˆole 1994/20 ◮ L’objectif est d’´etablir, pour n ∈ N

HX4 — Contrˆole 1994/20

◮L’objectif est d’´etablir, pourn∈N^∗, la formule : Z ^+∞

0

dx 1 +x²ⁿ =

π 2n

sin_2n^π . Notations

◮On fixen∈N^∗. On notePn= 1 +X²ⁿ etIn= Z ^+∞

0

dx Pⁿ(x).

◮Pourk∈[[1,n]], on noteαk= (2k−1)π

2n etxk=e^iαk. Pr´eliminaires techniques

Q1 Soientaet bdeux r´eels, tels que sinb

2 6= 0. ´Etablir : X

16k6n

sin(a+kb) = sin³

a+(n+ 1)b 2

´×sin^nb₂ sin^b₂

Q2 Soit P ∈K[X] scind´e, `a racines simples. Soient (ξ^k)16k6n les racines deP. Explicitez la d´ecomposition en

´el´ements simples de 1 P.

Etude de la suite´ (In)n>1

Q3 Justifiez la convergence de l’int´egraleIⁿ.

Q4 Avec une majorationtr`es simple, d´eterminez la limite de Z ^+∞

1

dx

1 +x²ⁿ quandn→ ∞.

Q5 Calculez la limite de Z ¹

0

dx

1 +x²ⁿ quandn→ ∞, en d´eduire celle de la suite (In)n>1.

D´ecomposition de 1 Pⁿ

Q6 Explicitez les racines dePn avec les notations de l’´enonc´e.

Q7 ´Ecrivez la d´ecomposition en ´el´ements simples de 1

Pⁿ dansC(X) sous la forme la plus simple possible.

Q8 En d´eduire la d´ecomposition en ´el´ements simples de 1

Pⁿ dansR(X) ; vous ne ferez intervenir dans l’expression finale que des nombres r´eels.

Q9 ´Ecrivez la d´ecomposition pr´ec´edente sous la forme 1

Pⁿ = X

16k6n

λk(X−cosαk) +µk

X²−2 cosα^kX+ 1. On explicitera λk et µ^k en fonction denet deα^k.

Q10 Combien vaut X

16k6n

λ^k? Remarque: il existe deux m´ethodes pour ´etablir le r´esultat. . .

1

Calcul deIⁿ Q11 PourX >0, calculez

Jn(X) = Z ^X

0

X

16k6n

λ^k(x−cosα^k) x²−2xcosαk+ 1dx et d´eterminez lim

X→+∞Jⁿ(X).

Q12 Soitα∈]0, π[. Justifiez la convergence deF(α) = Z +∞

0

dx

x²−2xcosα+ 1, et calculez sa valeur.

Q13 Utilisez les r´esultats pr´ec´edents pour montrer queIⁿ = 1 n

X

16k6n

(π−α^k) sinα^k.

Q14 En notant que sin(π−t) = sint, ramenez le calcul de la somme pr´ec´edente `a celui de X

16k6n

sinαk. Q15 Achevez le calcul deIn et retrouvez la limite de la suite (Iⁿ)ⁿ>1.

[Contr^ole 1994/20] Compos´e le 7 mars 2008

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