HX4 — Devoir 1997/07
◮On fixeα∈R∗. On noteI: P ∈R[X]7→Pl’identit´e deR[X],D: P ∈R[X]7→P′ l’op´erateur de d´erivation dansR[X], etϕ=I−αD. Clairement,ϕest un endomorphisme deR[X]. Pourk∈N, on noteDk lek-i`eme it´er´e de la d´erivation,ϕk lek-i`eme it´er´e deϕ.
Q1 Soit P non nul, de degr´ed. Quel est le degr´e deϕ(P) ? En d´eduire queϕinduit un automorphismeϕn de Rn[X] pour toutn∈N; puis queϕest un automorphisme deR[X].
◮Pour les deux questions suivantes uniquement, on choisitα= 2.
Q2 Explicitez la matrice deϕ3 dans la base canonique deR3[X].
Q3 D´eterminez le polynˆomeP tel queϕ(P) =X4−8X3−3X2+ 14X−3.
Q4 Montrez que ker(ϕ−λI) se r´eduit au polynˆome nul, sauf pour un r´eel que vous expliciterez.
Q5 SoientP ∈R[X] etn∈N. ´Etablissez :ϕn(P) = X
06k6n
(−α)k³n k
´ P(k).
Q6 Justifiez alors l’´ecritureϕn= X
06k6n
(−α)k³n k
´ Dk.
Q7 Expliquez comment on peut donner un sens `a l’´ecriture suivante :X
n∈N
αnDn.
Q8 ´Etablissez alors l’´egalit´eϕ−1=X
n∈N
αnDn.
Q9 On identifie P et la fonction polynˆome Pe associ´ee. En faisant intervenir judicieusement l’application h : t∈R7→e−t/αP(t), montrez queϕ(P) poss`ede au moins autant de racinesr´eelles queP.
◮Dans les deux questions suivantes,P = Xn
k=0
akXk d´esigne un polynˆome `a coefficients r´eels, de degr´en. On note Φ =P(D).
Q10 Dans cette question, on prendP =X2−3X+ 2. Calculez Φ(P).
Q11 On suppose queP est scind´e surR. Montrez que le polynˆomeQ= Φ(P) est lui aussi scind´e surR.
[Devoir 1997/07] Compos´e le 8 mars 2008
