dR t = −α(R t − µ)dt + σdW t

(1)

8 novembre 2010

Exercice 1

Unmodèleclassiquepourlestauxd'intérêt(modèledeVasicek)consisteàsupposerquec'estun

processusd'Ornstein-Uhlenbeck,c'estàdireunesolutiondel'EDS:

dR t = −α(R t − µ)dt + σdW t

avec

{W t }

^un^mouvement^Brownien^standard^et

µ

^,

α

^et

σ > 0

^desparamètres.

Onpeutmontrer(exercice)quesi

{R t }

êst^solution^de^cetteÊDSâlors

R t = R 0 exp(−αt) + µ(1 − exp(−αt)) + σ exp(−αt)

_t

0 exp(αs)dW s

avec

_t

0 exp(αs)dW _s ∼ N

0, ^exp(2at)−1 _2a

.

Onsupposequel'onobserveleprocessusàtempsdiscret etonnote

{r 1 , ..., r T }

^la^série

temporelleassociée(uneunitédetemps entredeux observationssuccessives).

1. Exprimer

R t

^en^fonction^de

R t−1

^et ^en^déduire^que

{R _t } _t∈N

^suit^un^modèle

AR(1)

^dont^on

exprimeralesparamètresenfonctionde

µ

^,

α

^et

σ

^.

2. Pourquellesvaleursde

α

^existe^t'il^une^solutionstationnairepourcemodèle

AR(1)

^?

Quellesontalorslamoyenne,lavarianceet lafonctiond'autocovariancedelaloi

stationnaire?Endéduireune méthodepermettantd'estimerlesparamètresdumodèle.

3. Téléchargerdesdonnéeshistoriquesdetauxdevotrechoix.Estimerlesparamètresdu

modèlepuisvériersileshypothèsesdumodèled'Ornstein-Uhlenbecksontréalistes(à

l'aidedetestsstatistiquesadaptés).

Exercice 2

Onconsidèrelasérietemporellequidécritlenombretotalmensuel d'accidentsmortelsaux

Etats-Unisdisponiblesous R(taper? USAccDeathspourundescriptif desdonnées).

1. Proposer/ajuster/validerunmodèlepourcettesérie temporelle.

2. Utilisercemodèlepourprévoirlenombred'accidentspourlepremiersemestre1979(on

pourrautiliserlafonctionpredict).Compareraveclesvaleursobservées(disponiblesdans

l'aide).

Exercice 3 (examende l'année2009-2010)

Premièrepartie : Onconsidèreunprocessus

{Y _t }

^qui^suit^un^modèle

ARM A(p, q)

^de^la^forme

Y t = αY t−2 + t + β t−1

⁽¹⁾

avec

{ _t }

^une^suite^de^variables^aléatoiresindépendanteset identiquementdistribuéesdeloi

N (0, σ ² )

^et

θ = (α, β, σ)

^des^paramètres^inconnus.

(2)

1. Quelssontlesordres

p

^et

q

^du^modèle

ARM A

^déni^par^l'équation ⁽¹⁾^?

2. Donneruneconditionnécessaireetsusante surlesparamètrespourquelemodèledéni

parl'équation(1)admetteunsolutionstationnaire.Onsupposeraquecetteconditionest

vériéedanslasuitedel'exerciceet

{Y t }

^désignera^une ^solutionstationnairede(1).

3. Exprimerlesfonctionsd'autocovarianceetd'autocorrélationde

{Y t }

^en^fonction^des

paramètresdumodèle.

4. Onnote

ρ(k; α, β, σ) = corr(Y t , Y t+k )

^le^coecient^d'ordre

k

^de^la^fonction

d'autocorrélationduprocessus

{Y t }

^.

(a) Soit

k ∈ N

^.^Vérier^que

|ρ(k; α, β, σ))| ≤ 1

^et ^que

ρ(k; α, β, σ))

^ne^dépend ^pas^de

σ

^.

(b) Etudierlesvariationsdelafonction

β → ρ(1; α, β, σ)

^lorsque

α

^est ^xé.^Pour^quelles

valeursdesparamètresat'on

ρ(1; α, β, σ) = 0

^?^Pour^quelles^valeurs^des^paramètres^a

t'on

ρ(1; α, β, σ) ≈ 1

^?^Pour^quelles^valeurs^des^paramètres^a^t'on

ρ(1; α, β, σ) ≈ −1

^?

Interpréter.

(c) Montrerque

− 1

2 ≤ ρ(1; α, β, σ) 1 + ρ(2; α, β, σ) ≤ 1

2

5. Exprimerlesparamètresinconnus

θ

^en^fonction^des

3

^premiers^coecients^de^la^fonction

d'autocovarianceetendéduireuneméthodepermettantd'estimerlesparamètresdumodèle

àpartirdelafonctiond'autocovarianceempirique.Quelleconditiondoitsatisfairela

fonctiond'autocovarianceempiriquepourcetteméthodepuisseêtremiseenoeuvre?

Deuxièmepartie : Onconsidèrelasérietemporelle,nhtemp disponiblesousR,quidécrit

l'évolutiondelatempératureannuellemoyenneàNewHaven,Connecticut,entre1912et 1971.

1. Lacommandeplot(nhtemp) permetdetracerlasérietemporelle. Onsupposedanslasuite

del'exercicequec'estuneréalisationd'unprocessusstationnaire.Est-cequecette

hypothèsevoussembleréaliste?

2. Quelleestlatempératuremoyennesurlapériodeconsidérée?Onconsidèredanslasuitela

sérietemporellecentréeobtenueenenlevantlavaleurmoyenneàlasérietemporelleinitiale.

3. Tracerlafonctiond'autocorrélationempirique.Discuterlesrésultatsobtenus.Est-cequ'un

modèle

M A(1)

^vous^semble^être^adapté^pour^décrire^cette ^série^temporelle^?

4. Tracerlafonctiond'autocorrélationpartielleempirique.Est-cequ'unmodèle

AR(1)

^vous

sembleêtreadaptépourdécrirecettesérie temporelle?

5. Ajusterlemodèledelapremièrepartiepuisunmodèle

ARM A(2, 1)

^(on^donnera^à^chaque

foislesvaleursobtenuspourlesparamètres).Quelmodèlevoussembleêtreleplusadapté?

dR t = −α(R t − µ)dt + σdW t

dR t = −α(R t − µ)dt + σdW t

{W t }

µ

α

σ > 0

{R t }

R t = R 0 exp(−αt) + µ(1 − exp(−αt)) + σ exp(−αt)

t

0 exp(αs)dW s

t

0 exp(αs)dW s ∼ N

0, exp(2at)−1 2a

{r 1 , ..., r T }

R t

R t−1

{R t } t∈N

AR(1)

µ

α

σ

α

AR(1)

{Y t }

ARM A(p, q)

Y t = αY t−2 + t + β t−1

{ t }

N (0, σ 2 )

θ = (α, β, σ)

p

q

ARM A

{Y t }

{Y t }

ρ(k; α, β, σ) = corr(Y t , Y t+k )

k

{Y t }

k ∈ N

|ρ(k; α, β, σ))| ≤ 1

ρ(k; α, β, σ))

σ

β → ρ(1; α, β, σ)

α

ρ(1; α, β, σ) = 0

ρ(1; α, β, σ) ≈ 1

ρ(1; α, β, σ) ≈ −1

− 1

2 ≤ ρ(1; α, β, σ) 1 + ρ(2; α, β, σ) ≤ 1

2

θ

3

M A(1)

AR(1)

ARM A(2, 1)

_t

_t

0 exp(αs)dW _s ∼ N

0, ^exp(2at)−1 _2a

{R _t } _t∈N

{Y _t }

{ _t }

N (0, σ ² )