α α α d τ dx dx dx dt dt dt dt € € € €

RR. IV - ÉNERGIE RELATIVISTE

1. Tenseur d'énergie-impulsion des particules matérielles

• L'interaction du champ électromagnétique avec la matière est associée à des transferts d'énergie-impulsion (par les forces de Lorentz). L'existence d'une action réciproque impose que le champ possède de l'énergie-impulsion.

◊ remarque : c'est plus explicite lorsqu'on raisonne en mécanique quantique, où le champ électromagnétique est décrit par des “particules” photons.

• En raisonnant par analogie avec la densité de charge et le courant associé, on peut définir une “densité de 4-courant massique” : µ

€

dx^α

dt ⁼ µ₀ U^α (où µ₀ est la masse volumique dans le référentiel propre).

Toutefois, pour une particule ponctuelle de position X {X^α}, correspondant à une masse volumique µ(t, xⁱ) = m δ³

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

, on n'obtient pas ainsi une description de la “densité de 4-impulsion” qui intervient dans les lois de méca- nique relativiste : m

€

dx^α dt ^δ

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

= p^α

€

dτ dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ) ≠ p^α δ³(xⁱ - Xⁱ).

◊ remarque : on note δ³ la distribution de Dirac tridimensionnelle (voir l'an- nexe) et les coordonnées spatiales sont repérées par des indices latins.

◊ remarque : pour un ensemble de particules de même masse m (la matière usuelle en est proche puisque les nucléons sont presque de même masse et les électrons ont une masse quasi négligeable en comparaison), la quantité précédente décrit en fait le produit par m de la “densité de 4-courant particu- laire” : j_n^α = n

€

dx^α

dt ^{= n0 U}

α (où n₀ est la concentration volumique des parti- cules dans le référentiel propre).

rant d'impulsion” : T^αi = p^α

€

dXⁱ dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ).

Ceci se regroupe en un tenseur (densité) d'énergie-impulsion symétrique : T^αβ = p^α

€

dX^β dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ) = µ U^αU^β

€

dτ dt ⁼

€

µ γ ^U

αU^β = µ₀ U^αU^β.

• En intégrant sur l'hypersurface (quadridimensionnelle) correspondant à t fixé, c'est-à-dire sur l'ensemble de l'espace à cet instant, on obtient :

E =

∫

T⁰⁰d³

U

^{; c pi =}

∫

^Ti0d3

^U

^.

Plus généralement, les dérivées des intégrales sur un volume fini sont liées aux effets des forces mais aussi aux flux d'énergie-impulsion à travers la surface limitant ce volume.

• Les variations du tenseur T^αβ sont associées aux effets des forces subies :

∂_jT^αj(t, xⁱ) = p^α(t) dX^j

( )

t dt

∂

∂x^{j δ}

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

;

∂_jT^αj(t, xⁱ) = - p^α(t) dX^j

( )

t dt

∂

∂X^{j δ}

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

) ;

∂_jT^αj(t, xⁱ) = - p^α(t)

€

∂

∂t^δ

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

) ;

∂_jT^αj(t, x^j) = - 1 c

∂

∂t ^T

α0(t, xⁱ) +

€

d dt^p

α(t) δ³

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

.

En notant

F

^{α = fα δ3}

⁽

^{xi - Xi(t)}

⁾

⁼

€

d

dt^{pα δ}

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

la “densité de force”, on obtient : ∂_βT^αβ =

F

^α ; ceci peut se généraliser à un système de particules.

• En particulier pour une force électromagnétique :

∂_βT^αβ =

€

d

dt^{pα(t) δ}

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

= q F^α_β

€

dx^β dt ^δ

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

= F^α_β j^β.

& exercice n°I.

2. Moment cinétique et “spin” (moment cinétique propre)

• On peut construire un tenseur antisymétrique “densité de moment ciné- tique” : Σ^γαβ = 1

c ^(x

α T^βγ - x^β T^αγ), puis en déduire un tenseur “moment ciné- tique” : σ^αβ =

∫

Σ^0αβd³

U

^.

Les composantes spatiales σ^ij = 1

c

∫

(xⁱT^j0 −x^jTⁱ⁰)d³

U

sont conformes à ce qu'on attend à partir de la densité d'énergie-impulsion T^k0.

Les autres composantes non nulles (spatio-temporelles) sont : σ⁰ⁱ = ct pⁱ - 1

c

∫

xⁱT⁰⁰d³

U

^.

• Si on se limite ici à un système isolé, donc tel que ∂_βT^αβ = 0, alors la densi- té de moment cinétique est également conservée : ∂_γΣ^γαβ = T^βα - T^αβ = 0.

Dans ce cas, les coordonnées du centre d'inertie G correspondent à : xⁱT⁰⁰d³

U

∫

^{= E xGi = E.(x}iG0 + vⁱ_Gt) = E xⁱ_G0 + c² pⁱ t.

Ainsi les quantités σ⁰ⁱ = -E

c x_G0ⁱ = Cste peuvent être imposées nulles en choisissant arbitrairement l'origine spatio-temporelle. Bien que sans significa- tion physique évidente, elles peuvent devoir participer aux calculs pour une transformation de Lorentz (selon les origines choisies).

• Le tenseur moment cinétique dépend de l'origine par rapport à laquelle on le calcule ; le décalage (fixe) x^α → x^α + A^α impose σ^αβ → σ^αβ + A^αp^β - A^βp^α avec p!

= (E c ^, p!

) total puisque A!"

se factorise.

◊ remarque : pour approfondir, il faudrait préciser la différence entre l'origine du référentiel (pour le mouvement) et le point de référence des moments.

• En définissant le moment des forces par

∫ F

⁻

F U

on retrouve un théorème du moment cinétique : σ^{αβ •} =

M

^αβ.

• Il peut aussi être intéressant de définir le vecteur “spin” S_α = 1

2 ^εαβµνσ

βµu^ν, où u^ν = dx^ν

ds décrit la “vitesse du système” (de son centre d'inertie).

Dans le référentiel propre u^ν = (1; 0; 0; 0) donc S₀ = 0 et S_i = 1 2 ^εijkσ

jk est caractéristique du moment cinétique.

Dans un autre référentiel galiléen S₀ ≠ 0, mais il n'y a que trois coordonnées indépendantes puisque S_αu^α = 0.

• Par ailleurs le décalage x^α→ x^α + A^α laisse invariant S_α ; en effet, puisque p^α∝ ^uα, les contributions de termes de la forme A^αp^βu^ν sont nulles avec l'antisymétrie.

Pour une particule ponctuelle on retrouve : σ^αβ = X^α p^β - X^β p^α, donc de façon analogue S_α = 0.

Ce vecteur S_α décrit le “moment cinétique propre” (spin) du système, calculé par rapport à son centre d'inertie ; il est utile pour décrire une “particule” non ponctuelle.

◊ remarque : ceci n'inclut pas la description des “spins” des particules élémen- taires, essentiellement quantiques et associés à des interactions électroma- gnétiques.

• On obtient en outre dS_α

dt = 0 pour une “particule” libre.

& exercices n°II et III.

3. Tenseur d'énergie-impulsion d'un fluide

• Ceci peut se généraliser à un fluide, par comparaison à la mécanique des fluides non relativistes.

La quantité -Tⁱ_j dS^j est le flux d'impulsion traversant l'élément de surface

€

dS (le signe négatif vient de la convention du produit scalaire η^ij = -1 pour i = j).

Mais, en raisonnant dans le référentiel propre du fluide, c'est aussi l'effet de la pression

p

sur cette surface : -Tⁱ_j dS^j =

p

dSⁱ ; donc : T^ij = -

p

η^ij.

Dans le référentiel propre, on doit retrouver en outre : T⁰⁰ = µ₀ c² ; l'expres- sion générale est donc : T^αβ =

€

p

c² +µ₀

"

#$

%

&

' ^{UαUβ -}

p

η^αβ (où

p

et µ₀ sont mesurées dans le référentiel propre du fluide).

☞

remarque : ici la masse volumique µ₀ tient compte de l'équivalent mas- sique de l'énergie d'agitation thermique du fluide (molécules non immobiles dans son référentiel propre).

☞

remarque : il faut ne pas confondre la pression

p

et la norme p de l'impul- sion, ni la masse volumique µ₀ et la perméabilité magnétique µ₀.

4. Tenseur d'énergie-impulsion du champ électromagnétique

• L'énergie électromagnétique contenue dans un certain volume V peut varier sous l'effet du travail W des actions exercées par le champ sur les charges de ce système, mais aussi à cause d'un flux d'énergie à travers sa surface.

En raisonnant avec une densité d'énergie ε_em telle que

E

_em ⁼

€

ε_emd

U

∫

^{, on}

peut écrire :

€

d

E

em

dt ^{= -}

€

δW dt ^-

€

∫

π^{•dS où}

€

π représente une densité de courant d'énergie sortant (vecteur de Poynting).

€ € € € δ²W = d

€

F•

€

v dt = ρ

€

E•

€

v dt d

U

⁼

€

j•

€

E dt d

U

^.

Le bilan d'énergie peut alors s'écrire :

€

∂ε_em

∂t + j •E+∇^•π

&

'( )

*+d

U

∫

^{= 0.}

• Mais les équations de Maxwell

€

∇

⨯

€

E = -

€

∂B

∂t ^et

€

∇

⨯

€

B = µ₀

€

j + ε₀µ₀

€

∂B

∂t permettent d'écrire :

€

∇^•(

€

E

⨯

€

B) =

€

B•(

€

∇

⨯

€

E) -

€

E•(

€

∇

⨯

€

B) = - µ₀

€

j•

€

E -

€

1 2

€

∂

∂t

(

ε₀µ₀E² +B²

)

^.

La comparaison conduit à proposer :

◊ pour la densité d'énergie : ε_em =

€

ε₀E²

2 + B² 2µ₀ ^;

◊ pour la densité de courant d'énergie :

€

π =

€

1 µ₀ ⁽

€

E

⨯

€

B).

• Toutefois (comme pour les particules matérielles), le 4-objet constitué des quantités ε_em et

€

π

c ne se comporte pas comme un quadrivecteur.

On peut alors proposer une “densité d'énergie-impulsion” électromagnétique de la forme : T^αβ =

€

1

µ₀ ^{.(ηµν F}

αµ F^νβ -

€

1

4^{ηαβ Fµν Fνµ}), dans la mesure où cela correspond en particulier à : T⁰⁰ = ε_em et T⁰ⁱ =

€

πⁱ c ^.

• On peut alors calculer les variations d'énergie-impulsion correspondantes : µ₀ ∂_βT^αβ = η_µν F^αµ∂_βF^νβ + η_µν F^νβ ∂_βF^αµ -

€

1 2^η

αβ F_µν∂_βF^νµ ; µ₀ ∂_βT^αβ = -µ₀ F^α_ν j^ν + η^αβ F^µν ∂_νF_βµ -

€

1 2^η

αβ F^µν ∂_βF_νµ ; µ₀ ∂_βT^αβ = -µ₀ F^α_ν j^ν -

€

1 2^η

αβ F^µν (∂_νF_µβ + ∂_µF_βν + ∂_βF_νµ) ;

∂_βT^αβ = - F^α_β j^β (puisque ∂_νF_µβ + ∂_µF_βν + ∂_βF_νµ = 0).

Ce terme décrit donc effectivement l'action réciproque lors de l'interaction entre les charges et le champ électromagnétique.

& exercice n°IV.

Annexe : notion de “distribution”

• La “distribution de Dirac” δ(x - X) est une limite de fonctions “très piquées” au voisinage de x = X, telle qu'elle représente une propriété ponctuelle en X.

Une caractéristique fondamentale est sa propriété vis à vis des intégrales :

€

f x

( )

∫

^δ

⁽

^x−X

⁾

^{dx = f(X).}

• Les “distributions” peuvent être dérivées, ainsi la distribution δ’(x - X) est caractérisée par sa propriété vis à vis des intégrales :

€

f x

( )

∫

^δ#

⁽

^x−X

⁾

^dx = -f’(X).