HX4 — Devoir 1992/14

HX4 — Devoir 1992/14

Ce devoir est tr`es long. Il est donc vivement conseill´e de le r´ediger `a deux. La premi`ere partie est tr`es classique, et tout le monde doit la chercher.

Int´egrales de Wallis

◮Pour toutn∈N, on noteIn = Z π/2

0

sinⁿt dt.

Q1 Prouvez que la suite Iest d´ecroissante et minor´ee.

Q2 Soit ε∈ ]0, π[. Prouvez l’existence de nε ∈N tel que

Z (π−ε)/2 0

sinⁿt dt < ε

2 pour n> nε. En d´eduire la limite de la suiteI.

Q3 Au moyen d’une int´egration par parties, ´ecrivez une relation entreIn+2 etIn.

Q4 Calculez I0 etI1. Donnez l’expression deIn en fonction den; vous distinguerez deux cas, selon la parit´e de n, et vous ferez intervenir le coefficient binomial

µ2n n

¶ .

Q5 Prouvez que la suite de terme g´en´eral (n+ 1)InIn+1 est constante ; en d´eduire un ´equivalent simple deIn

lorsquen→ ∞, et retrouvez ainsi la limite de la suite I.

Q6 Prouvez que µ2n

n

¶

est ´equivalent `a 2²ⁿ

√πn lorsquen→ ∞.

Une d´efinition des polynˆomes de Legendre

◮La suite du probl`eme porte sur une famille de polynˆomes `a coefficients r´eels. SiP∈R[X], on note ´egalement P (au lieu dePe) la fonction polynˆome associ´ee.

◮Pourn∈N, on notePn= (X²−1)ⁿ etLⁿ= 1 2ⁿ

Xn

k=0

(³n k

´)²(X−1)^k(X+ 1)^n−k. En particulier,L⁰= 1.

◮On noteD l’op´erateur de d´erivation dansR[X] :D(P) =P^′. Pourk∈N, D^k est lek-i`eme it´er´e deD, avec D⁰=Id.

Q7 Explicitez L¹,L² etL³.

Q8 Pr´ecisez le degr´e deLn; que pouvez-vous dire des familles (Lk)06k6n et (Ln)n∈N? Q9 Pr´ecisez la parit´e deLⁿ en fonction de celle den, puis calculez Lⁿ(1) etLⁿ(−1).

Q10 Soientn∈N, etP et Qdeux ´el´ements deR[X]. ´Etablissez la formule deLeibnizpour les polynˆomes : Dⁿ(P Q) =

Xn

k=0

³n k

´D^k(P)D^n−k(Q)

Q11 Exprimez Lⁿ en fonction deDⁿ[Pn], en d´eduire le coefficient dominant deLⁿ, et retrouvez ainsi la valeur de Pⁿ

k=0

(¡n k

¢)².

Q12 Prouvez queLⁿ= Pp k=0

akX^n−2k, o`up=¥ n/2¦

; vous exprimerezak en fonction dek!, (n−k)!, (n−2k)! et (2n−2k)!.

1

Orthogonalit´e de la famille (Lⁿ)n∈N

Q13 Soientuetudeux applications de [a, b] dansRde classeCⁿ. ´Etablissez, pourn>1, la formule d’int´egration par parties g´en´eralis´ee :

Z b a

u⁽ⁿ⁾(t)v(t)dt=

n−1X

k=0

£(−1)^ku^(n−k−1)(t)v^(k)(t)¤b

a+ (−1)ⁿ Z b

a

u(t)v⁽ⁿ⁾(t)dt

Q14 Soitf ∈ Cⁿ⁺¹¡

[a, b],R¢

. Que trouve-t-on si l’on prendv=f^′ etu: t7→ (t−b)ⁿ

n! dans l’´egalit´e pr´ec´edente ? Q15 En d´eduire que, pourn6=m, on a

Z 1

−1Lⁿ(t)L^m(t)dt= 0.

Q16 Calculez Z 1

−1

¡Lⁿ(t)¢2

dt. Vous exploiterez la formule d’int´egration par parties g´en´eralis´ee ´etablie pr´ec´e- demment, puis la premi`ere partie apr`es un changement de variable judicieux.

Q17 Soitn>1 etP∈R_n−1[X]. Montrez que Z 1

−1Lⁿ(t)P(t)dt= 0.

◮Dans les trois questions suivantes, on fixen>0.

Q18 Montrez qu’il existe une famille (αk)06k6n+1de r´eels telle que XLn=

n+1P

k=0

αkLk. Q19 Montrez queα0=α1=· · ·=αn−2= 0.

Q20 En utilisant la parit´e, le coefficient dominant, et la valeur en 1 desL^k, explicitezαn−1,αn etαn+1. Racines de Lⁿ

◮Dans cette partie, on supposen>1.

Q21 En utilisant le th´eor`eme deRolle, montrez queL<sup>n</sup> poss`edenracines r´eelles, deux `a deux distinctes, toutes situ´ees dans l’intervalle ]−1,1[.

Q22 Notonsλn la plus grande racine deLⁿ. Explicitezλ1, λ2 etλ3. Pourx > λn, quel est le signe deLⁿ(x) ? Q23 Montrez que la suite (λn)n>1 est strictement croissante (utilisez la relation de r´ecurrence liant XLn,Ln+1

etLⁿ⁻¹, et raisonnez par l’absurde).

◮Nous allons ´etablir l’existence des racines de Lⁿ par une autre m´ethode. On suppose que Lⁿ admet moins denracines r´eelles. On d´efinit alors un polynˆomeωcomme suit : siLⁿn’a aucune racine r´eelle appartenant

`a ]−1,1[ et d’ordre de multiplicit´e impaire, alors ω = 1. Sinon, notant r le nombre de racines r´eelles de Lⁿ situ´ees dans ]−1,1[ et d’ordre de multiplicit´e impaire, et x1, x2, . . . , xr ces racines, on pose ω = (X−x1)(X−x2). . .(X−xr).

Q24 Prouvez que la fonction polynˆomeLⁿ·ω garde un signe constant sur [−1,1].

Q25 Mettez alors en ´evidence une contradiction et conclure.

Un op´erateur diff´erentiel

◮On note ∆ l’application qui, `aP ∈R[X], associe ∆(P) =¡

(X²−1)P^′¢′

.

Q26 Prouvez que ∆ est un endomorphisme de R[X]. Calculez le degr´e de ∆(P) en fonction de celui de P, et pr´ecisez le noyau de ∆. Prouvez ´egalement que, si λest valeur propre de ∆, alors il existe n ∈N tel que λ=n(n+ 1).

Q27 ´Ecrivez une relation simple entreP_n+1^′ etPn, puis entreP_n^′ et Pn.

Q28 En d´erivant n+ 1 fois chacune des relations pr´ec´edentes, obtenez une relation liant L^′n+1, L^′n et Lⁿ; en d´eduire queLⁿest vecteur propre de ∆, en pr´ecisant la valeur propre correspondante. Retrouvez le fait que la famille (L^k)06k6n est libre. Remarque: on peut ´egalement retrouver l’expression des coefficients deLⁿ. Q29 Prouvez que ∆ induit un endomorphisme ∆ndeR_n[X] ; explicitez la matrice de ∆n dans la base canonique

deR_n[X]. Calculez la trace de ∆n. Montrez que ∆n est diagonalisable.

2

Compl´ements de programme

Q30 ExprimezL²ⁿ⁺²(0) en fonction deL²ⁿ(0). En d´eduire, pourn>1, l’expression deL²ⁿ(0), et la majoration

¯¯L²ⁿ(0)¯¯6 r 1

πn. Indication : utilisez les r´esultats de la premi`ere partie.

Q31 ExprimezL^′2n+1(0) en fonction deL²ⁿ⁺²(0). En d´eduire la majoration¯¯L^′2n+1(0)¯¯62

rn+ 1 π . Q32 Pourn>1, on notefn: x7→ L²n(x) + 1−x²

n(n+ 1)

¡L^′n(x)¢2

. Montrez quefn est croissante surR⁺. Q33 En d´eduire que sup

−16x61

¯¯Lⁿ(x)¯¯= 1.

Lien avec une fraction rationnelle

◮Soient (xk)16k6n des r´eels deux `a deux distincts, P = Q

16k6n

(X −xk), R = 1

(X²−1)P²(X), et Pk = P

X−xk = Y

16j6n j6=k

(X−xk) pour toutk∈[[1,n]]. La d´ecomposition en ´el´ements simples de Rs’´ecrit :

R= α

X−1 + β

X+ 1+ X

16k6n

µ Ak

(X−xk)² + Bk

(X−xk)

¶

Q34 D´eterminezαet β.

Q35 ExprimezPk(xk) etP_k^′(xk) en fonction deP^′(xk) et deP^′′(xk).

Q36 ExplicitezAk en fonction deP^′(xk).

Q37 On identifie polynˆomes et fonctions polynˆomes, ainsi que fractions rationnelles et fonctions associ´ees.

Etablissez :´

Bk = lim

x→xk

d dx

£(x−xk)²R(x)¤ Q38 Explicitez alorsBk en fonction deP^′(xk) et deP^′′(xk).

Q39 Montrez qu’il existe un et un seul polynˆomeP tel que les Bk soient tous nuls ; quel est donc ce polynˆome ? Que pouvez-vous dire alors des primitives deR?

Quelques r´eponses pour vous rassurer. . . Q12 :ak= (−1)^k(2n−2k)!

2ⁿk!(n−k)!(n−2k)!

Q16 : Z 1

−1

£Lⁿ(t)¤2

dt= 2 2n+ 1 Q20 :αn = 0,αn+1= n+ 1

2n+ 1 et αn−1= n 2n+ 1 Q38 :Bk =2xkP^′(xk) + (x²_k−1)P^′′(xk)

(x²_k−1)²[P^′(xk)]³ Q39 :P = 2ⁿ

¡_2n

n

¢Lⁿ

[Devoir 1992/14] Compos´e le 7 mars 2008

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