Devoir ` a la maison

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Master M2 Math´ematiques Appliqu´ees- Module ”Analyse Fonctionnelle”

Devoir ` a la maison

Dans les deux exercices, pour tout espace espace vectoriel normé réel E on notera par E^∗ l’ensemble des applications linéaires continues de E dans R que l’on munit de la norme ||ϕ|| = sup{|ϕ(x)|, x∈ B_E} où B_E désigne la boule unité de E, et l’on rappelle queE^∗ est un espace de Banach pour cette norme.

Exercice 1. Espaces de suites réelles et dualité. On considère les espaces de suites réelles c0 =

u={un}_n≥0, limn→+∞un= 0 , `∞ =

u={un}_n≥0, sup_n≥0|un|<∞ et

`_p = (

u={u_n}_n≥0, X

n≥0

|u_n|^p <∞ )

pour toutp≥1.On munitc₀ et`_∞ de la norme||u||_∞= sup_n≥0|u_n|,et`_p de la norme

||u||_p = X

n≥0

|u_n|^p

!1/p

·

On rappelle que tous ces espaces munis de leurs normes respectives sont alors des espaces de Banach et que `₁ ⊂`_p ⊂c₀ ⊂`∞ pour tout p > 1. On rappelle que deux espaces de Banach E et F sont isom´etriques s’il existe ψ : E →F bijective telle que

||ψ(x)||_F =||x||_E.

(a) Montrer que `^∗₁ est isométrique à `∞. Pour cela, on utilisera la suite de suites {uⁱ ={uⁱ_n}_n≥0, i≥0} définie par uⁱ_n = 1 si n=i et uⁱ_n = 0 sinon, et on remarquera que{ϕ(uⁱ)}_i≥1 ∈`∞ pour tout ϕ∈`^∗₁.

(b) Par la même méthode, montrer quec^∗₀ est isométrique à `₁.

(c) Montrer que `^∗_∞ n’est pas isométrique à `₁. Pour cela, on considèrera la forme linéaire continueu7→lim_n→∞u_ndéfinie sur l’espacecdes suites réelles ayant une lim- ite, on utilisera (b) et le théorème de Hahn-Banach en se rappelant quec₀ ⊂c⊂`∞. (d) Par une méthode semblable à (a), montrer que `^∗_p est isométrique à `_q pour tout p∈]1,+∞[, oùq est le nombre conjugué de pdéfini par 1/p+ 1/q= 1.

Exercice 2. Théorème de Banach-Steinhaus et sommes de Riemann. On note par E l’espace des fonctions continues de [0,1] vers R muni de la norme uniforme, et par L le sous-espace de E constitué des fonctions lipschitziennes. Pour tout n ≥ 1, on considère l’opérateurTn défini surE par

T_n(f) = Z 1

0

f(t)dt − 1 n

n

X

k=1

f(k/n),

1

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qui d´ecrit l’erreur entre l’int´egrale d’une fonction deE et ses sommes de Riemann.

(a) Montrer que T_n(f) =O(1/n) pour tout f ∈ L.

(b) Montrer que E est un espace de Banach.

(c) SoitE un espace de Banach quelconque et {R_n}_n≥1 une suite non-bornée de E^∗. En reprenant la preuve du théorème de Banach-Steinhaus, montrer que l’ensemble U =

x∈E, sup_n≥1|R_n(x)|=∞ est un ouvert dense dansE.

(d) Montrer que nT_n∈ E^∗ et que ||nT_n||= 2n.

(e) Montrer que T_n(f)→0 quandn → ∞ pour toutf ∈ E.

(f) Montrer que {f ∈ E, T_n(f) = O(1/n)} est d’int´erieur vide dansE.

Problème. Théorème de prolongement de Riesz et problème des moments. Soit {u_n}_n≥0 une suite réelle positive. On cherche à savoir s’il existe une mesureµpositive finie surR⁺ telle que

Z ∞

0

xⁿµ(dx) = u_n, n≥0, (1)

et si cette mesure est unique. Cette question qui porte le nom de problème des moments, a été posée pour la première fois par T. J. Stieltjes en 1895. Nous allons donner un critère d’existence dû à M. Riesz en 1923, et qui repose sur une variante du théorème de Hahn-Banach. La question de l’unicité est plus délicate et n’est d’ailleurs toujours pas complètement élucidée.

Première partie. Soit E un espace vectoriel réel et K ⊂E un cône convexe i.e. K est un ensemble tel que λx+ (1−λ)y ∈ K pour tout x, y ∈ K et λ ∈ (0,1), et tel quetx ∈K pour toutx∈K et t≥0. Soit F un sous-espace vectoriel de E etϕ une forme linéaire sur F. On dit que ϕest K−positive siϕ(x)≥0 pour tout x∈K∩F.

Unprolongement K−positif deϕest une forme lin´eaire ψ sur E tel que ψ(x) = ϕ(x) pour toutx∈F etψ(x)≥0 pour tout x∈K.

(a) SupposonsE = R² et K ={(x, y) ∈ E, x≥ 0, y ≥ 0 ou x <0, y > 0}. Montrer que K est un cˆone convexe. Sur F = {(x, y) ∈ E, y = 0} on d´efinit ϕ(x,0) = x.

Montrer queϕ est une forme lin´eaire K−positive et qu’elle n’admet aucun prolonge- mentK−positif. On remarquera que ϕest n´ecessairement continue.

On suppose maintenant dans toute la suite que E = K +F. On va montrer le théorème de prolongement de Rieszqui stipule que sous cette hypothèse, toute forme linéaire sur F etK−positive admet un prolongementK−positif.

(b) Montrer que ce r´esultat ne contredit pas (a).

(c) On suppose d’abord que F est un hyperplan de E et on fixe x ∈ E\F, de sorte queE =F ⊕Rx.

2

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(i) Montrer que les ensembles (x−K)∩F et (x+K)∩F ne sont pas vides.

(ii) Soit ϕ ∈ F^∗ une forme lin´eaire K−positive. Montrer que pour tous y, y⁰ ∈ F tels que x−y, y⁰−x ∈ K, on a y⁰−y ∈ K et donc ϕ(y⁰) ≥ ϕ(y). En d´eduire qu’il existea∈R tel que

sup{ϕ((x−K)∩F)} ≤ a ≤ inf{ϕ((x+K)∩F)}.

(iii) On d´efinit ψ : E → R par ψ(y+λx) = ϕ(y) +λa pour tout y ∈ F et λ ∈ R. Montrer queψ est un prolongement K−positif de ϕ.

(d) Par récurrence usuelle, montrer le théorème de prolongement de Riesz dans le cas où codim F < ∞.

(e) Par récurrence transfinie, montrer le théorème de prolongement de Riesz dans le cas général.

Seconde partie. Soit u = {u_n}_n≥1 une suite réelle positive et F l’espace vectoriel des fonctions polynômiales à coefficients réels. On considère la forme linéaire

ϕ_u :P 7→

n

X

i=0

a_iu_i

pour toutP =a0+a1X+. . .+anXⁿ.On note F+ ={P ∈F, P(x)≥0∀x≥0}.

(a) On suppose qu’il existeµmesure positive finie sur R⁺ telle que (1) ait lieu. Mon- trer queϕu(P)≥0 pour tout P ∈F+.

On va maintenant montrer la réciproque : si u est telle que ϕ_u(P) ≥ 0 pour tout P ∈ F+, alors il existe µ mesure positive finie sur R⁺ telle que (1) ait lieu. Pour cela, on introduit E = F ⊕ Vect{f_t, t > 0} où Vect{f_t, t > 0} désigne l’espace vectoriel des combinaisons linéaires finies de fonctions f_t(x) = 1_[0,t)(x), et on note K ={f ∈E, f(x)≥0∀x ≥0}.On fixe une fois pour toutes une suite u={un}_n≥0 telle queϕ_u(P)≥0 pour tout P ∈F₊.

(b) Montrer que K est un cˆone convexe et que ϕu est une forme lin´eaire K−positive surF.

(c) Montrer que E = F +K et d´eduire de la premi`ere partie l’existence de ψu, pro- longementK−positif de ϕ_u surE.

(d) On pose σ(t) = ψu(ft) pour tout t >0. Montrer que t→σ(t) est croissante.

On rappelle qu’il existe alors une mesure positive sur R⁺ telle que µ([0, t]) = lims↓tσ(s) pour tout t ≥0, et telle que pour toute fonction f continue surR⁺

Z T

0

f(x)µ(dx) = lim

N→∞

N T

X

i=1

f(t^N_i )(σ(t^N_i+1)−σ(t^N_i )), o`u l’on a not´e t^N_i = (i−1)/N.

3

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(e) Montrer sans calcul que µ(R⁺)≤u₀.

(f) On fixe dor´enavant n≥1. Pour toutδ > 0, T > 1 montrer qu’il existe N₀ tel que sup

|x^k−y^k|, k = 0. . . n, |x−y| ≤1/N, 0≤x, y ≤T ≤ δ pour toutN ≥N₀.

(g) Pour tout N ≥0, T >1 et tout k= 0. . . n, on note

F_N^k(x) =

N T

X

i=1

(t^N_i )^k(f_tN

i+1(x)−f_tN i (x)), avec les notations pr´ec´edentes. Montrer que siN ≥N₀, alors

0 ≤ x^k−F_N^k(x) ≤ δ + T⁻¹xⁿ⁺¹ pour toutx≥0.

(h) En appliquant la forme linéaire K−positive ψ_u aux inégalités précédentes et en faisant tendre δ vers 0, en déduire que

0 ≤ u_k− Z T

0

x^kµ(dx) ≤ T⁻¹u_n+1

pour toutT >1 et tout k= 0. . . n.Conclure en faisant tendre T, n→ ∞.

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