Variante du probl` eme 1

TD : une suite pour le DS 2006/09

Variante du probl` eme 1

INous nous int´eressons `a desmots sur l’alphabet `a quatre lettre{a,b,c,d}. Un mot de longueurn>1 est une succession denlettres prises dans cet alphabet ; il existe 4ⁿ mots de longueurn. Notons :

• uⁿ le nombre de mots de longueurncontenant un nombre pair deaet un nombre pair deb;

• vⁿ le nombre de mots de longueurncontenant un nombre pair deaet un nombre impair deb;

• wn le nombre de mots de longueurncontenant un nombre impair deaet un nombre pair deb;

• xn le nombre de mots de longueurncontenant un nombre impair deaet un nombre impair deb.

Nous notonsUnle vecteur (un,vn,wn,xn) deR⁴;Und´esignera ´egalement la matrice `a 4 lignes et une colonne, associ´ee naturellement `a ce vecteur.

Q1 Quelle est la valeur de un+ vn+ wn+ xn?

Q2 Dressez un tableau donnant les valeurs de un, vn, wn et xn pour 16n63.

Q3 Exprimez un+1 en fonction de un, vn, wn et xn. Q4 Mˆeme question avec vn+1, wn+1et xn+1.

Q5 Explicitez la matriceM telle queUⁿ+1=M× Uⁿ.

INotonsϕl’endomorphisme deR⁴ dontM est la matrice dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3, e4) deR⁴. Q6 Exhibez un vecteuranon nul deR⁴ tel queϕ(a) = 4a.

Q7 Exhibez de mˆeme un vecteurb non nul deR⁴ tel queϕ(b) =−→0 .

Q8 Exhibez deux vecteurscetdnon nuls deR⁴, ind´ependants l’un de l’autre, et v´erifiantϕ(c) = 2cetϕ(d) = 2d.

Q9 Sans calculs compliqu´es, montrez que la famille (a, b, c, d) est libre. Que peut-on dire de la familleC? Q10 Donnez une autre preuve du r´esultat pr´ec´edent (toujours sans longs calculs).

Q11 Explicitez la matriceD deϕdans la baseC.

Q12 Explicitez la matrice de passageP de la baseB `a la baseC.

Q13 ExplicitezP⁻¹.

Q14 ExplicitezDⁿ, puisMⁿ.

Q15 Donnez l’expression de uⁿ en fonction de nseul.

Prolongement du probl` eme 2

IRappel : la d´eriv´een-i`eme de la fonctionf : x <ln(2)7→ 1

2−e^x estx7→ Pn(e^x)

(2−e^x)ⁿ⁺¹, o`uPnest un polynˆome unitaire de degr´en, d´efini par les relationsP0= 1 etPn+1= (2−X)XPn⁰ + (n+ 1)XPn pour n>0.

Q1 Pour n >1, montrez que les coefficients dePn sont strictement positifs (`a l’exception du terme constant, dont nous savons qu’il est nul).

Q2 Le polynˆomePn poss`ede-t-il des racines strictement positives ? Q3 Soientn>0 etx <ln(2). Quel est le signe de f⁽ⁿ⁾(x) ?

INous allons donner deux autres preuves du r´esultat pr´ec´edent.

Q4 Supposons que f et ses n premi`eres d´eriv´ees ne prennent, sur I, que des valeurs strictement positives.

Montrez qu’il en est de mˆeme def⁽ⁿ⁺¹⁾; vous utiliserez la formule deLeibniz.

Q5 Pour une troisi`eme preuve de ce r´esultat, utilisez un raisonnement par r´ecurrence et l’´equation diff´erentielle dontf est solution.

[Suite-ds200609] Compos´e le 17 mai 2007