HX4 — Contrˆole 1994/14
◮On ´etudie certaines propri´et´es de l’applicationϕ: t∈R7→e−t2; on donne un sens `a l’int´egrale de Gauss Z +∞
0
ϕ(t)dt, et on calcule une valeur approch´ee de cette int´egrale.
Partie I : d´eriv´ees successives deϕ
◮Cette premi`ere partie est fortement ind´ependante des quatre autres. Nous nous proposons d’´etudier les propri´et´es d’une famille (Pn)n∈Nde fonctions polynˆomes, associ´ees aux d´eriv´ees successives de ϕ.
Q1 Prouvez que, pour tout natureln,ϕ(n) est le produit deϕpar une fonction polynˆomePn de degr´en; vous
´ecrirez une relation entrePn+1,Pn etPn′. Pr´ecisez la parit´e et le coefficient dominant dePn. Q2 Explicitez Pn pour n∈[[1,5]].
Q3 `A partir d’une relation tr`es simple entre ϕ(x) et ϕ′(x), ´etablissez une relation entre les applications Pn, Pn+1 etPn+2. Indication: utilisez la formule deLeibniz.
Q4 Prouvez que Pn′+1 =−2(n+ 1)Pn. En d´eduire que Pn est solution d’une ´equation diff´erentielle du second ordre.
Q5 Calculez P2n(0) ; vous exprimerez le r´esultat au moyen de factorielles et/ou de coefficients binomiaux, mais sans aucun symbolesQ
.
◮On rappelle l’´enonc´e du th´eor`eme deRolleg´en´eralis´e : soientα∈Retf : [α,+∞[7→R; on suppose quef est continue sur [α,+∞[, d´erivable dans ]α,+∞[, et que lim
x→+∞f(x) =f(α) ; alors il existe c∈]α,+∞[ tel quef′(c) = 0.
Q6 Prouvez quePn poss`ede exactementnracines r´eelles, et que celles-ci s´eparent les racines de Pn+1.
Partie II : une m´ethode d’int´egration num´erique
◮Soitaetb deux r´eels distincts, aveca < b. Soitf ∈ C4¡
[a, b],R¢
. On d´efinit K∈Ret g: [a, b]7→Rpar les relations :
Z b
a
f(t)dt=b−a 2
¡f(b) +f(a)¢
−(b−a)2 12
¡f′(b)−f′(a)¢
+K(b−a)5 720 g(x) =
Z x
a
f(t)dt−x−a 2
¡f(x) +f(a)¢
+(x−a)2 12
¡f′(x)−f′(a)¢
−K(x−a)5 720 Q7 Justifiez rigoureusement l’appartenance deg `aC3¡
[a, b],R¢ .
Q8 En appliquant r´ep´etitivement le th´eor`eme deRolle, ´etablir l’existence dec∈]a, b[ tel queK=f(4)(c).
Q9 On fixe un naturelnnon nul ; on poseh= b−a
n , etxi=a+ihpouri∈[[0,n]]. On noteM4= sup
a6t6b
¯¯f(4)(t)¯¯. Prouvez que :
¯¯
¯¯
¯ Z b
a
f(t)dt−h 2
³
f(a) + 2
n−1
X
i=1
f(xi) +f(b)´ +h2
12
¡f′(b)−f′(a)¢¯¯¯¯¯6 nh5M4
720
Indication: utiliser Q8 pour ´etablir une majoration sur chaque intervalle [xi, xi+1] ; exploitez ensuite des relations deChasles, et l’in´egalit´e triangulaire.
Tournez S.V.P.
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Partie III : l’int´egrale de Gauss Q10 On supposea >0 etX >a. ´Etablissez :
Z X
a
e−t2dt= e−a2
2a −e−X2 2X −1
2 Z X
a
e−t2 t2 dt En d´eduire que
Z X
a
e−t2dtposs`ede une limite lorsqueX tend vers +∞. D´esormais, cette limite sera not´ee I(a). Prouvez queI(a)6e−a2
2a , et justifiez la majoration¯¯I(3)¯¯63·10−5. Q11 Prouvez que
Z X
0
e−t2dt poss`ede une limite lorsque X tend vers +∞. D´esormais, cette limite sera not´ee Z +∞
0
e−t2dt.
Partie IV : ´evaluation de Z 1
0
e−t2dt
Q12 Soitn∈N. Prouvez que, pour 06u61, on a :
¯¯
¯¯
¯e−u−
n−1X
k=0
(−1)kuk k!
¯¯
¯¯
¯6un n!
Indication: vous proc`ederez par r´ecurrence, en int´egrant un encadrement suppos´e vrai au rangn.
Q13 On pose :
An = Z 1
0
e−t2dt−
n−1X
k=0
(−1)k (2k+ 1)·k!
D´eterminez le plus petit naturelntel que|An|<15·10−6. En d´eduire une valeur approch´ee de Z 1
0
e−t2dt
`a 2·10−5 pr`es.
Partie V : ´evaluation de Z 3
1
e−t2dt
Q14 Explicitez ϕ(4) et ϕ(5). ´Etudiez les variations de ϕ(4) sur l’intervalle [1,3] et donnez un majorant Mf4 de M4= sup
16t63
¯¯ϕ(4)(t)¯¯.
Q15 D´eterminez le plus petit naturelnnon nul tel que 25Mf4
720n4 <4·10−5. Q16 D´eduisez de la deuxi`eme partie une valeur approch´ee `a 5·10−5 pr`es de
Z 3 1
e−t2dt.
Q17 On admet la formule : Z +∞
0
e−t2dt= Z 1
0
e−t2dt+ Z 3
1
e−t2dt+I(3). D´eduisez de l’ensemble de l’´etude une valeur approch´ee `a 10−4 pr`es de l’int´egrale deGauss. Discutez la qualit´e de l’estimation obtenue, sachant que la valeur exacte est
√π 2 .
[Contr^ole 1994/14] Compos´e le 7 mars 2008
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