HX4 — Contrˆole 1994/21
◮On note C l’ensemble des applications continues de [0,1] dansR. Pour tout ´el´ementf deC, et toutn∈N, on noteIn(f) = R1
0 tnf(t)dt. On identifie tout polynˆomeP `a coefficients r´eels, et la fonction polynˆomePe associ´ee, que l’on notera doncP.
Partie 1 : ´etude de la suite ¡ In(f)¢
n∈N
Q1 Prouver que la suite¡ In(f)¢
n∈N converge vers 0.
Q2 Soit α∈]0,1[ ; prouver que lim
n→∞nRα
0 tnf(t)dt= 0.
Q3 On supposef(1) = 0 ; montrer que, pour toutε >0, il existeα∈]0,1[ tel que, pour toutn∈N:
¯¯
¯n Z 1
α
tnf(t)dt¯¯¯6 ε 2 Q4 En d´eduire, toujours sous l’hypoth`ese f(1) = 0, que : lim
n→∞nR1
0 tnf(t)dt= 0.
Q5 On ne suppose plus f(1) = 0. D´eterminer lim
n→∞nR1
0 tnf(t)dt.
Q6 On rappelle que P∞ k=0
1
k! =e. Avec f : t ∈[0,1]7→ e−t, calculer In(f), et donner un ´equivalent simple de P∞
k=n+1 1
k! lorsque ntend vers l’infini.
Partie 2 : ´etude de la s´erie de terme g´en´eral ¡ In(f)¢2
Q7 ´Etablir la convergence de la s´erie de terme g´en´eral¡
In(f)bigr)2. Q8 Soit P un polynˆome `a coefficients r´eels ; ´etablir :
Z +1
−1
P(x)dx+i Z π
0
P¡ eiθ¢
eiθdθ= 0 Q9 V´erifier que¯¯¯P¡
eiθ¢¯¯¯
2
=P¡ eiθ¢
P¡ e−iθ¢
. ´Etablir alors : Z +1
0
¡P(x)¢2
dx6 Z +1
−1
¡P(x)¢2
dx6 1 2
Z +π
−π
¯¯
¯P¡ eiθ¢¯¯¯
2
dθ
Q10 En d´eduire que, pour toute famille (ak)06k6n de r´eels : 06
Xn
k=0
Xn
ℓ=0
akaℓ
k+ℓ+ 1 6π Xn
k=0
ak2
Q11 En appliquant l’in´egalit´e deCauchy-Schwarz`af et `ag: t7→
Pn k=0
Ik(f)tk, ´etablir : X∞
n=0
£In(f)¤2
6π Z 1
0
¯¯f(t)¯¯2dt
Partie 3 : ´etude de la s´erie de terme g´en´eral (−1)nIn(f)
Q12 Dans cette question seulement, on supposef(t)>0 pour toutt ∈[0,1]. ´Etablir la convergence de la s´erie de terme g´en´eral (−1)nIn(f). Indication: notant Sn =
Pn k=0
(−1)kIk(f), on prouvera que les suites (S2n)n∈N
et (S2n+1)n∈Nsont adjacentes.
Q13 On supposef quelconque dansC. En utilisant 1 1 +t =
Xn
k=0
(−1)ktk+ (−1)n+1tn+1
1 +t, ´etablir la convergence de la s´erie de terme g´en´eral (−1)nIn(f), et prouver que
P∞ n=0
(−1)nIn(f) =R1 0
f(t) 1+tdt.
1
Q14 Avecf : t7→1, donner une expression simple de X∞ n=0
(−1)n n+ 1 Q15 Avecf : t7→√
t, donner une expression simple de X∞ n=0
(−1)n 2n+ 1 Partie 4 : ´etude de la s´erie de terme g´en´eral In(f)
◮Dans les trois questions suivantes, g est une application continue de [0,1[ dans R, telle que R1
0 g(t)dt soit absolument convergente, autrement dit :R1
0
¯¯g(t)¯¯dt converge ; dans ce cas, on sait que l’int´egraleR1 0 g(t)dt est elle aussi convergente.
Q16 Prouver que, pour toutn∈N, l’int´egraleR1
0 tng(t)dtest, elle aussi, absolument convergente. On la notera d´esormaisIn(g).
Q17 Soitε >0 ; prouver qu’il existeα∈]0,1[ tel que, pour toutn∈N,¯¯Rα1tng(t)dt¯¯6 ε2. Q18 En d´eduire lim
n→∞In(g) = 0.
Q19 Soitf ∈ C telle que l’int´egraleR1 0
f(t)
1−tdtsoit absolument convergente. Prouver que la s´erie de terme g´en´eral In(f) converge, et que
P∞ n=0
In(f) =R1 0
f(t) 1−tdt.
Q20 Soitf ∈ Ctelle quef(t)>0 pour toutt∈[0,1]. Montrer que, si la s´erie de terme g´en´eralIn(f) converge, alors l’int´egraleR1
0 f(t)
1−tdtconverge ´egalement, et l’on aR1 0
f(t) 1−tdt=
P∞ n=0
In(f).
Partie 5 : ´etude dans Rn[X]
◮On noteRn[X] leR-e.v. des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´enau plus.
Q21 Montrer que l’on d´efinit surRn[X] un produit scalaire en posant (P|Q) =R1
0 P(t)Q(t)dt.
Q22 V´erifier que, pour toutn∈N, l’applicationIk: P ∈Rn[X]7→Ik(P) est une forme lin´eaire surRn[X].
Q23 Prouver que la familleB= (Ik)06k6n est une base du dual deRn[X].
Q24 On noteB0la base duale de la base canonique deRn[X] :B0= (e∗k)06k6n, o`uek est le polynˆomeXk. ´Ecrire la matriceAde passage de la baseB0 `a la base B.
Q25 Soit h : P ∈ Rn[X] 7→ h(P), o`u h(P) est d´efini par ¡ h(P)¢
(t) = Pn k=0
Ik(P)tk. Montrer que h est un automorphisme deR-e.v. Rn[X] ; ´ecrire sa matrice M dans la base canonique deRn[X].
Q26 PourP etQ´el´ements deRn[X], calculer¡
P|h(Q)¢ .
Q27 Prouver que, si h poss`ede des valeurs propres, celles-ci sont strictement positives. Remarque: on peut d´emontrer quehposs`ede effectivementn+ 1 valeurs propres, distinctes ou non, compt´ees chacune avec son ordre de multiplicit´e, mais ceci n’est pas demand´e.
[Contr^ole 1994/21] Compos´e le 7 mars 2008
2
