HX4 — Contrˆole 1994/12
D´efinitions et notations
◮Soient I un intervalle de R et f une fonction de I dans R. Un r´eelk > 0 est une constante de Lipschitz acceptable pourf si :
∀(x, y)∈I2: ¯
¯f(x)−f(y)¯
¯6k|x−y|
On dira ´egalement quef estk-lipschitzienne surI. On noteLipk(I) l’ensemble des fonctionsk-lipschitziennes deI dansR.
◮f est lipschitzienne s’il existe au moins un r´eel k >0 tel que f soit k-lipschitzienne. On rappelle qu’une fonction lipschitzienne est uniform´ement continue, et a fortiori continue. On note Lip(I) l’ensemble des fonctions lipschitziennes deI dansR. On a donc
Lip(I) = [
k>0
Lipk(I)
◮Pour f : I 7→ R, on note Λ(f, I) l’ensemble des k >0 tels que f soit k-lipschitzienne sur I. Ainsi, f est lipschitzienne ssi Λ(f, I) n’est pas vide.
Partie I : propri´et´es ´el´ementaires
Q1 Prouvez que, si k6k′, alorsLipk(I)⊂ Lipk′(I).
Q2 Quels sont les ´el´ements deLip0(I) ?
Q3 Prouvez que, si f appartient `a Lipk(I), il en est de mˆeme pour|f|. Que pensez-vous de la r´eciproque ? Q4 Soit J un intervalle contenu dans I; prouvez que, si f ∈ Lip(I), alors la restrictiong de f `a J est dans
Lip(J). pouvez-vous ´ecrireLip(J)⊂ Lip(I) ?
Q5 SoientI et J deux intervalles deRnon disjoints, etf : I∪J 7→R. On suppose que la restriction de f `aI est lipschitzienne, ainsi que la restriction def `aJ. Prouvez quef est lipschitzienne.
Q6 Prouvez queLip(I) est stable pour l’addition, mais pas n´ecessairement pour la multiplication.
Q7 Prouvez que, si Iest born´e, et sif ∈ Lipk(I), alorsf est born´ee.
Q8 En d´eduire que, si Iest born´e, alors Lip(I) est stable pour la multiplication.
Q9 Soit f : I 7→ R. Soit J un intervalle de R contenant f(I), et g : J 7→ R. On suppose f ∈ Lipα(I) et g∈ Lipβ(J). Que pouvez-vous dire de g◦f?
Q10 Soit f ∈ C¡
[a, b],R¢
. On suppose quef ne s’annule pas. Montrez qu’il existe M > 0 tel que ¯
¯f(x)¯
¯ >M pour toutx∈[a, b].
Q11 En d´eduire que, sif est lipschitzienne sur [a, b] et ne s’annule pas, alors 1f est ´egalement lipschitzienne sur [a, b].
Q12 Prouvez que, si f est lipschitzienne sur [a, b] et strictement positive, alors √
f est ´egalement lipschitzienne sur [a, b].
Q13 Soient f et g deux ´el´ements deC¡
[a, b],R¢
. Justifiez l’existence de la fonction h: t ∈R 7→sup
[a,b]
f +tg, et prouver quehest lipschitzienne.
Partie II : meilleure constante de Lipschitz
Q14 Soit f : I 7→R. On suppose Λ(f, I) non vide ; prouvez qu’il poss`ede une borne inf´erieure, qui sera not´ee λ(f, I) dans la suite.
Q15 Prouvez alors queλ(f, I)∈Λ(f, I). Finalement, que pouvez-vous dire de Λ(f, I) ? Q16 Soitf : I7→R. On note
E(f) =
½¯
¯
¯
f(x)−f(y) x−y
¯
¯
¯,(x, y)∈I×I etx6=y
¾
Prouvez quef ∈ Lip(I) ssiE(f) est born´e ; et que, dans ce cas,λ(f, I) est la borne sup´erieure deE(f).
Q17 On prendI= [0,1] et, pourn∈N,fn(x) =xn. Calculezλ(fn, I).
1
Q18 Pour cette question uniquement, on suppose que f est d´erivable. Montrez que f est lipschitzienne si et seulement sif′ est born´ee ; et que, dans ce cas :
λ(f, I) = sup
x∈I
¯¯f′(x)¯
¯
Retrouvez ainsi le r´esultat de Q17.
Partie III : lien avec la convergence simple et avec la convergence uniforme
◮SoitI un intervalle de R. On rappelle qu’une suite (fn)n∈N de fonctions deI dans Rconverge simplement vers une fonctionϕdeI dansRsi, pour toutx∈I, la suite de r´eels¡
fn(x)¢
n∈Nconverge versϕ(x).
Q19 Prenant I = [0,1] et fn(x) =xn pour tout x∈I, prouvez que la suite (fn)n∈N converge simplement vers une fonctionϕque l’on pr´ecisera. ϕest-elle lipschitzienne ?
Q20 Soitk >0 et (fn)n∈N une suite d’´el´ements deLipk(I) qui converge simplement vers ϕ: I 7→ R. Prouvez queϕ∈ Lipk(I).
Q21 Soit f : x > 0 7→ xsin1x. Montrez que f peut ˆetre prolong´ee par continuit´e `a droite de 0. On note g le prolongement par continuit´e obtenu. g est elle lipschitzienne ?
Q22 On admet le th´eor`eme deStone-Weierstrass, lequel affirme que toute fonctionϕcontinue sur un compact de R, `a valeurs dans R, est la limite uniforme d’une suite de fonctions polynˆomes. Montrez qu’une suite (fn)n∈Nde fonctions lipschitziennes sur un mˆeme intervalleI, peut converger uniform´ement vers une fonction non lipschitzienne.
Partie IV : fonctions localement lipschitziennes
◮Soit I un intervalle de R, et f : I 7→ R. On dira que f est localement lipschitzienne si, pour tout x∈I, il existe α >0 tel que la restriction de f `a I∩]x−α, x+α[ soit lipschitzienne. Vous noterez bien queα d´epend dex.
Q23 Prouvez que toute fonction lipschitzienne est localement lipschitzienne.
◮Soit I un intervalle ferm´e et born´e :I = [a, b] et f : I 7→ R. On veut prouver que, si f est localement lipschitzienne surI, alors f est lipschitzienne sur I. On noteE l’ensemble des ´el´ementsc de [a, b] tels que f soit lipschitzienne sur [a, c]
Q24 Prouvez queE est non vide et poss`ede une borne sup´erieure, que l’on noteram.
Q25 Prouvez quem∈E, et quem=b. Concluez.
Q26 SoitI=]0,+∞[ etf : x7→sin1x. Prouvez quef est localement lipschitzienne surI. f est-elle lipschitzienne surI?
[Contr^ole 1994/12] Compos´e le 7 mars 2008
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