HX4 — Contrˆole 1994/10 D´efinitions et notations
◮E est un ensemble non vide, muni d’une loi de composition∗, v´erifiant les propri´et´es suivantes : (A1) ∗est associative
(A2) tout ´el´ement deE est r´egulier pour∗ (A3) ∗poss`ede un ´el´ement neutre not´ee
(A4) le seul ´el´ement deEinversible pour ∗est e
◮Pourx∈E et n∈N, on notexn len-i`eme it´er´e dexpour la loi∗, d´efini parx0=eetxn+1=x∗xn pour toutn∈N. On a alors :xn+1=xn∗x,xp+q=xp∗xq et (xp¢q
=xpq pour tous naturelsn,petq.
◮On notera bien que (sauf dans une question explicitement signal´ee) la loi∗ n’est pas suppos´ee commutative.
Pour all´eger, on ´ecriraxy au lieu dex∗y.
Clˆoture d’une partie de E
◮Une partieA deE est stable pour la loi∗si :∀(x, y)∈A2: xy∈A.
Q1 Soit¡ Ai
¢
i∈I une famille quelconque de parties deE, toutes stables pour∗. Prouver que T
i∈I
Aiest une partie stable deE.
◮SoitAune partie deE. On appelleclˆoturedeAl’intersection de toutes les parties deEstables et contenant A. On la noteA
Q2 Justifier cette d´efinition.
Q3 Prouver que Aest la plus petite partie deE (au sens de l’inclusion) stable et contenantA.
Q4 Montrer queA7→A est croissante pour l’inclusion.
Q5 Soit x∈E. D´eterminer{x}.
Q6 D´eterminer E,{e}, et∅.
Q7 ´EtablirA∩B⊂A∩B et donner un exemple o`u l’inclusion est stricte.
Un ordre sur E
◮On d´efinit surE une relation not´ee¹par :
x¹y ⇐⇒ ∃u∈E: y=xu Lorsquex¹y, on dit quexpr´ec`ede y.
Q8 Prouver que ¹est une relation d’ordre surE. Quel est le plus petit ´el´ement de E? Q9 Examiner la compatibilit´e de¹avec la loi∗,id est: six¹y, a-t-onxz¹yzet zx¹zy? Q10 Prouver que, siE n’est pas r´eduit `a{e}, alorsE n’a pas de plus grand ´el´ement.
Q11 Affiner le r´esultat pr´ec´edent : supposant toujoursEnon r´eduit `a{e}, construire une suite¡ un
¢
n∈Nd’´el´ements deE, strictement croissante pour la relation¹; une telle suite doit donc v´erifier un ¹un+1 et un 6=un+1
pour tout natureln.
Factorisation dans E
◮Un ´el´ement xde E est r´eductible s’il existe des ´el´ementsu et v de E tous deux distincts de e, et tels que x=uv; on dira queuetvsont desfacteurs dex. Un ´el´ement deEqui n’est pas r´eductible estirr´eductible.
Q12 Traduire la r´eductibilit´e et l’irr´eductibilit´e en termes de¹.
◮Une factorisation d’un ´el´ement x 6= e de E est une suite finie (u1, u2, . . . , un) d’´el´ements de E, tous irr´eductibles et distincts de e, telle que x = u1u2. . . un. On dit que x est factorisable s’il poss`ede au moins une factorisation. nest lalongueur de cette factorisation.
Q13 Prouver que l’ensemble des ´el´ements factorisables deEest une partie stable deE.
Q14 Pour cette question uniquement, on suppose que la loi∗ est commutative. Prouver que, siE contient un
´el´ement non factorisable, alors on peut construire une suite (vn)n∈Nd’´el´ements deE, strictement d´ecroissante pour la relation¹. Une telle suite doit donc v´erifiervn+1¹vn etvn+16=vn pour tout natureln.
Degr´e des ´el´ements factorisables de E
Q15 Soitxun ´el´ement factorisable de E. Montrer que l’ensemble des longueurs des factorisations dexposs`ede un plus petit ´el´ement.
◮On appelledegr´e d’un ´el´ement factorisablexdeE la longueur minimale d’une factorisation dex; on le note deg(x). On remarquera que les ´el´ements irr´eductibles deE sont les ´el´ements factorisables de degr´e 1.
Q16 Soient x et y deux ´el´ements factorisables de E. Quelle relation peut-on ´ecrire entre deg(x), deg(y) et deg(xy) ?
Conjugaison dans E
◮On suppose d´esormais que tout ´el´ement deEdistinct deeposs`edeune et une seule factorisation.
Q17 Quelle relation a-t-on cette fois entre deg(x), deg(y) et deg(xy) ? Q18 Quelle valeur est-il raisonnable d’attribuer `a deg(e) ?
Q19 On suppose queE contient au moins un ´el´ement factorisable. Que peut-on dire de l’ensemble des degr´es des
´el´ements factorisables deE?
Q20 On suppose queEcontient exactement un ´el´ement irr´eductiblex; combien contient-il d’´el´ements factorisables de degr´en, pourn∈N∗?
Q21 Soientset tdeux ´el´ements deE. ´Etablir l’´equivalence des trois propositions suivantes : (P1) il existe un ´el´ementudeE tel que su=ut
(P2) il existe un ´el´ementv deE tel que vs=tv
(P3) il existe des ´el´ementsxet y deE tel ques=xyet t=yx
◮On dira que deux ´el´ementsset tdeE sontconjugu´es, et on noterax∼y, lorsqu’ils v´erifient les propri´et´es (P1) `a (P3). Il est clair que la conjugaison est une relation sym´etrique.
Q22 Prouver que la conjugaison est une relation d’´equivalence. Pr´eciser la classe dee.
Q23 Prouver que xet y commutent si et seulement si il existe z ∈E et (p, q)∈N2 tels quex=zp et y =zq. Indication pour le sens direct : raisonner par r´ecurrence surn= max¡
deg(x),deg(y)¢ .
[Contr^ole 1994/10] Compos´e le 7 mars 2008
