HX4 — Contrˆole 1993/11
La solution de chaque question ne requiert jamais plus d’une douzaine de lignes manuscrites.
Partie I : une d´efinition des polynˆomes d’Hermite
◮Notonsf : x∈R7→exp¡
−x2¢
. Nous identifions le polynˆomeP ∈R[X] et la fonction polynˆomePe associ´ee.
Q1 Montrez que f(n)(x) = Pn(x)f(x), o`u Pn est un polynˆome dont vous pez´ecisera le degr´e, la parit´e et le coefficient dominant.
Q2 Que pouvez-vous dire, respectivement, des familles (Pk)06k6n et (Pn)n∈N? Q3 Explicitez Pn pour n∈[[0,6]].
Q4 Constatez quef v´erifie une ´equation diff´erentielle tr`es simple. En utilisant la formule deLeibniz, ´etablissez une relation entrePn,Pn+1 etPn+2.
Q5 Calculez Pn(0).
Q6 Montrez que, pourn>1, le polynˆomePn poss`edenracines r´eelles distinctes, qui s´eparent celles dePn+1. Q7 ´Etablissez une relation entrePn+1′ etPn, puis montrez que Pn v´erifie une ´equation diff´erentielle du second
ordre.
Q8 ´EtablissezPn(k)= (−2)k(n−n!k)!Pn−k pourk∈[[0,n]].
Q9 Compte tenu de la parit´e de Pn, nous pouvons ´ecrire Pn= P
062k6n
an,kXn−2k. Explicitez an,k.
Partie II : construction d’une structure euclidienne
◮Quelques rappels :
•R+∞ 0 exp¡
−t2¢
dt=√2π
•siR+∞
0
¯¯ϕ(t)¯¯dt converge, alorsR+∞
0 ϕ(t)dtconverge ´egalement
•R+∞
−∞ ϕ(t)dtest r´eput´ee convergente ssi chacune des int´egrales R+∞
0 ϕ(t)dtet R0
−∞ϕ(t)dtconverge
◮NotonsLl’ensemble desf ∈ C(R,R) telles que l’int´egraleR+∞
−∞ f2(t) exp¡
−t2¢
dtconverge.
Q10 Soientf et gdeux ´el´ements deL. Montrez queR+∞
−∞ f(t)g(t) exp¡
−t2¢
dt converge.
Q11 En d´eduire queL est un s.e.v. deC(R,R).
Q12 SoitPun ´el´ement deR[X]. ´Etablissez la convergence deR+∞
−∞ P(t) exp¡
−t2¢
dt. En d´eduire quePappartient
`aL.
Q13 Montrez que l’on d´efinit un produit scalaire surLen posanthf, gi=R+∞
−∞ f(t)g(t) exp¡
−t2¢ dt.
Q14 PourQ∈R[X], ´etablissezhQ, Pn+1i=−hQ′, Pni.
Q15 En d´eduire la valeur dehPn, Pmilorsquen6=m, puis celle dehPn, Pni. Q16 Notons d´esormaiskPk=p
hP, PipourP ∈R[X]. SoitQ∈Rn[X] de coefficient dominant (−2)n. Montrez quekPnk6kQk.
Tournez S.V.P.
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Partie III : ´etude du projecteur orthogonal sur Rn[X] Q17 Soitg∈ L. Explicitez la projection orthogonalegn deg surRn[X].
Q18 Soit g ∈ L. Montrez que la s´erie de terme g´en´eralun = hg, Pni2
hPn, Pni converge, et donnez un majorant de sa somme.
Q19 Dans le cas o`u gest un ´el´ement deR[X], que pensez-vous de la s´erie pr´ec´edente ? Q20 CalculezIn =
Z +∞
−∞
tnexp¡
−t2¢
dt en fonction den.
Q21 Soientnet kdeux naturels. CalculezhXk, Pni. Vous distinguerez plusieurs cas de figure.
Q22 Give a closed form expression for X
062p6n
1
4p(p!)2(n−2p)!. Hint: considerkXnk.
Partie IV : ´etude d’un endomorphisme de R[X]
Q23 Notons U : P ∈ R[X] 7→ P + 2XP′ −P′′. Montrez que U est un endomorphisme de R[X], et qu’il est sym´etrique vis-`a-vis du produit scalaire d´efini pr´ec´edemment, c’est-`a-dire :hU(P), Qi=hP, U(Q)iquels que soient les ´el´ementsP et QdeR[X].
Q24 SoitP ∈R[X] un vecteur propre de U; quelle est n´ecessairement la valeur propre associ´ee ? Q25 D´eterminez le spectre deU, et, pour chaque valeur propre deU, explicitez le s.e.v. propre associ´e.
Q26 Montrez queU induit un endomorphisme Un de Rn[X], et prouvez que Un est diagonalisable. Calculez la trace et le d´eterminant deUn. Prouvez queU est un automorphisme de R[X].
Partie V : compl´ement de programme
◮Pourn∈N, d´efinissons Hn par la relation :
Hn(X) = 1 (−√
2)nPn
³X
√2
´
Il est clair queHn est un polynˆome ayant mˆeme degr´e et mˆeme parit´e quePn. Q27 ´Ecrire une relation liantHn,Hn+1 et Hn+2.
Q28 Pourn∈Net (x, t)∈R2, ´etablissez l’´egalit´e deChristoffel-Darboux: (x−t) X
06k6n
Hk(x)Hk(t)
k! =Hn+1(x)Hn(t)−Hn+1(t)Hn(x) n!
Q29 ExprimezHn+1′ en fonction deHn.
Q30 Pourn∈N∗ et x∈R, ´etablissez : (n+ 1)Hn2(x)> nHn+1(x)Hn−1(x).
Q31 Pourn∈Net (x, y)∈R2, ´etablissez :
Hn(x+y) =n! X
06k6n
yk
(k!)2Hn−k(x)
[Contr^ole 1993/11] Compos´e le 7 mars 2008
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