Sup PCSI2 — Devoir 2004/03 IPourn>2, on note fn: x>07→xn−nx−1.
Q1 Prouvez que l’´equationfn(x) = 0 poss`ede une et une seule solution dansR+. ICette solution sera d´esormais not´eexn.
Q2 Montrez que xn >1.
Q3 Prouvez quexn<3 pour toutn>2.
Q4 Prouvez quexn<2 pour toutn>3.
Q5 Pourn∈N∗, ´etablissez 1 + 1
n n
6n+ 1.
Q6 En d´eduire xn>1 + 1
n pour toutn>2.
Q7 ´Etudiez la monotonie de la suite (xn)n>2, puis ´etablissez la convergence de cette suite.
Q8 D´eterminez`= lim
n→∞
xn.
IPourn>2, notonsεn=xn−1.
Q9 Montrez que εnn→∞g ln(n)
n .
[Devoir 2004/03] Compos´e le 18 novembre 2004
