On considère la suite(un)n≥1 définie paru0 >0etun+1 = 1 2 un+ 3 un pourn ≥0.On admet que,pour toutn∈N, un >0

Contrôle continu 1 (rattrapage)

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Exercice 1 : DM1 2014 allégé.

On considère la suite(u_n)_n≥1 définie paru₀ >0etu_n+1 = 1 2

u_n+ 3 u_n

pourn ≥0.On admet que,pour toutn∈N, u_n >0.

1. Montrer que, pourn≥0, u²_n+1−3 = (u²_n−3)² 4u²_n . 2. Montrer que, pourn≥1, on au_n≥√

3et que la suite(u_n)n≥1est décroissante à partir du rangn= 1.

3. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 2.Calculez, si elle existe, la limite des suites de terme général suivant : un=n⁽⁻¹⁾ⁿ (n≥1), pn =

1 + 2

n

n

(n ≥1), xn =√

n+ 1−√

n(n ≥0).

Correction du rattrapage du CC 1 Exercice 1 : DM1 2014 allégé.

1) Soitn∈N,u²_n+1−3 = 1 4

u²_n+ 6 + 9 u²_n

−3 = u⁴_n+ 6u²_n+ 9

4u²_n − 12u²_n

4u²_n , d’où u²_n+1−3 = (u²_n−3)² 4u²_n . 2)•D’après 1), pourn ∈N, u²_n+1−3 = (u²_n−3)²

4u²_n ≥0, donc∀n∈N, u²_n+1≥3. On a admis que, pour tout n∈N, u_n>0, donc, pour toutn ∈N, u_n+1 ≥√

3, donc ∀n ∈N^∗, u_n ≥√ 3.

•Soitn∈N, u_n+1−u_n= 3

2u_n −u_n

2 . Alors un+1−un ≤0⇐⇒ 3

2u_n − u_n

2 ≤0⇐⇒ 3 2 ≤ u²_n

2 (carun>0)

⇐⇒3≤u²_n⇐⇒√

3≤un(carun>0).

Comme, pour toutn ∈N^∗, u_n ≥√

3, on en déduit que, pour toutn ∈N^∗, u_n+1−u_n ≤0c’est-à-dire, la suite(u_n)_Nest décroissante à partir du rang 1.NB: on n’a pas dit dans l’énoncé queu₀ ≥√

3! ! 3) D’après la question 2),(u_n)_N est décroissante et minorée par√

3, donc(u_n)_Nest convergente et sa limite

`vérifie` ≥ √

3. Puisque(u_n)_N est convergente alors la suite extraite(u_n+1)_Nest convergente et converge vers la même limite`, donc lim

n→+∞u_n+1 = 1 2 lim

n→+∞

u_n+ 3 u_n

⇐⇒` = 1 2

`+ 3

`

⇐⇒ ` 2 = 3

2`, d’où`² = 3, i.e.

`=±√

3. Mais`≥√

3, donc lim

n→+∞u_n=√ 3.

Exercice 2.

1) Si n est pair alors n = 2pet u2p = 2p d’où lim

p→+∞u2p = +∞. Et si n est impair alors n = 2p+ 1 et u_2p = _2p+1¹ d’où lim

p→+∞u_2p+1 = 0. Donc (u_n)_Ndiverge.

2) Soitn ≥1, on écritp_n = exp(nln(1 + _n²)). Commenln(1 + _n²) = ln(1 + ²_n)

1/n , on utilise la définition de la dérivée de la fonctionf :x 7→ln(1 + 2x)en0. En effet lim

x→0

ln(1 + 2x)

x =f⁰(0) = 2, oùf⁰(x) = _1+2x² . Puis

n→+∞lim nln(1 + 2

n) = lim

x→0

ln(1 + 2x)

x = 2, donc on obtient lim

n→+∞p_n=e². 3) Soitn≥0,√

n+ 1−√

n= n+ 1−n

√n+ 1 +√

n. Comme lim

n→+∞

√n+ 1 +√

n= +∞alors lim

n→+∞x_n = 0.