Donner la d´efinition du polynˆome d’interpolation de Lagrange def associ´e ` aA={x0

Calcul Diff´erentiel et Analyse Num´erique (L3) Contrˆole terminal du 6 mai 2021, dur´ee : 3 heures Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints

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Exercice 1. (2 points) Soitf : R³ → Rune fonction de classe C¹ des vari- ables (x1, x2, x3)∈R³ et g :R→ Rune fonction donn´ee parg(x) =x²cosx.

Exprimer la d´eriv´ee de la fonctionh:R→Rd´efinie parh(x) =f(x, x, g(x)) en termes des d´eriv´ees partielles def.

Exercice 2. (2 points)Soitx₀< x₁<· · ·< x_ndes r´eels donn´es etf :R→R une fonction continue.

1. Donner la d´efinition du polynˆome d’interpolation de Lagrange def associ´e

`

aA={x0, . . . , x_n}.

2. En supposant quen≥2, trouver le polynˆome d’interpolation de Lagrange associ´e `aApour la fonction

f(x) = 2x²+ 29 +p x²+ 1

n

Y

j=0

(x−x_j). (1)

Exercice 3. (4 points)Soit| · | la norme euclidienne surR^d et A:R^d →R^d une application lin´eaire.

1. Donner la d´efinition de la norme matricielle de Aassoci´ee `a la norme| · |.

On note cette normek · k.

2. Montrer que si B : R^d → R^d est une autre application lin´eaire, alors kABk ≤ kAk kBk.

3. Montrer que A est inversible si et seulement si il existe c > 0 tel que

|Ax| ≥c|x|pour toutx∈R^d.

Exercice 4. (4 points)On consid`ere une fonction f :R→R d´efinie par les formulesf(x) =x⁵sin(x⁻¹) pourx6= 0 etf(0) = 0.

1. Trouver l’entier maximalk≥0 tel quef soitk fois continˆument differen- tiable surR.

2. ´Ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre k au point x= 0 pour la fonc- tionf.

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Exercice 5. (6 points)Soient f et g deux fonctions de classeC¹ sur Ret `a valeurs dansR. On suppose que pour tout (x, y)∈R²,f⁰(x)6=g⁰(y). On d´efinit F:R²→R² par la formuleF(x, y) := (x+y, f(x) +g(y)).

1. Montrer queF est une fonction de classeC¹. 2. Montrer que la fonctionF est injective.

3. Montrer que la fonction F d´efinit est un C¹-diff´eomorphisme de R² sur son image.

Exercice 6. (4 points) Rappelons qu’´etant donn´e une fonction f : R →R, on dit quex0∈Rest unminimum global sif(x0)≤f(x) pour toutx∈R. On consid`ere la fonction f :R→Rd´efinie par la formulef(x) = (x⁴−x+ 1)².

1. Montrer quef poss`ede au moins un minimum global.

2. Trouver tous les minima globaux def.

Corrig´e du contrˆole terminal du 6 mai 2021

1. En utilisant la formule pour la d´eriv´ee d’une fonction compos´ee, on obtient dh

dx(x) = ∂f

∂x1

+ ∂f

∂x2

+ (2xcosx−x²sinx)∂f

∂x3

,

o`u les d´eriv´ees partielles def sont prises au point (x, x, h(x)). (2 points) 2. Le polynˆome de Lagrange def associ´e aux pointsx₀, . . . , x_nest d´efini comme l’unique polynˆome P de degr´e ≤ n tel que P(x_i) = f(x_i) pour 0 ≤ i ≤ n (1 point). Dans le cas de la fonction (1), on obtient les conditions

P(x_i) = 2x²_i + 29, 0≤i≤n. (2) Commen≥2, l’unique polynˆome de degr´e≤nv´erifiant (2) estP(x) = 2x²+ 29 (1 point).

3. 1. La norme matricielle est d´efinie par kAk= sup

|x|≤1

|Ax|. (1 point)

2. Pour toutx∈R^d, on a

|ABx| ≤ kAk |Bx| ≤ kAk kBk |x|, d’o`u on obtient l’in´egalit´e cherch´ee. (1 point)

3. Si Aest inversible, alors A⁻¹ :R^d →R^d est continu. Par cons´equent, il existeC >0 tel que

|A⁻¹y| ≤C|y| poury∈R^d.

En prenanty=Ax, on obtient l’in´egalit´e requise avecc=C⁻¹. (1 point) Supposons maintenant que|Ax| ≥c|x|. Alors le noyau deAest trivial, d’o`u on conclut que le d´eterminant de la matrice deAdans la base standard est non nul. Il s’ensuit queAest inversible. (1 point)

4. La fonction f est infiniment diff´erentiable sur R\ {0}, et ses deux premi`eres d´eriv´ees sont donn´ees par

f⁰(x) = 5x⁴sin(x⁻¹)−x³cos(x⁻¹),

f⁰⁰(x) = 20x³sin(x⁻¹)−8x²cos(x⁻¹)−xsin(x⁻¹). (1 point)

De plus, f⁰(0) = f⁰⁰(0) = 0 et f⁰⁰ est continu sur R (1 point). D’autre part, f⁰⁰n’est pas d´erivable en z´ero, d’o`u on conclut quek= 2 (1 point). Le d´eveloppe- ment limit´e `a l’ordre 2 est donn´ee par

f(x) =f(0) +f⁰(0)x+1

2f⁰⁰(0)x²+o(x²) =o(x²). (1 point)

5. 1. Les d´eriv´ees partielles de F = (F1, F2) existent et sont donn´ees par les formules

∂F1

∂x = 1, ∂F1

∂y = 1, ∂F2

∂x =f⁰(x), ∂F2

∂y =g⁰(y). (1 point) Comme ce sont des fonctions continues, en utilisant un th´eor`eme du cours on conclut queF est de classeC¹ surR² (1 point).

2. Il faut montrer que siF(P1) =F(P2), alorsP1=P2. Supposons que des pointsPi= (xi, yi)∈R²,i= 1,2 v´erifient cette ´egalit´e. Alors

x1+y1=x2+y2, f(x1) +g(y1) =f(x2) +g(y2). (3) La deuxi`eme ´egalit´e implique que

f(x1)−f(x2) =g(y2)−g(y1).

Par le th´eor`eme des accroissements finis,

f⁰(ξ)(x₁−x₂) =g⁰(η)(y₂−y₁). (1 point) (4) D’apr`es la premi`ere ´egalit´e dans (3), on ax1−x2=y2−y1=:δ. Siδ6= 0, alors on peut simplifier dans (4) par δ et conclure que f⁰(ξ) = g⁰(η). Cette ´egalit´e contredit l’hypoth`ese de l’exercice. On voit que δ = 0 et donc P1 = P2. (1 point)

3. D’apr`es le th´eor`eme d’inversion locale, il suffit de montrer que la diff´eren- tielle deF est inversible en tout point (x, y)∈R² (1 point). On a

DF(x, y) =

1 1 f⁰(x) f⁰(y)

Le d´eterminant est ´egal `a f<sup>0</sup>(y)−f<sup>0</sup>(x). D’apr`es l’hypoth`ese, cette quantit´e est diff´erente de z´ero. (1 point)

6. Le fonction f est diff´erentiable surR et tend vers l’infini quand |x| → +∞

(1 point). Par cons´equent, elle poss`ede au moins un minimum global (1 point).

Commef⁰(x) = 2(x⁴−x+ 1)(4x³−1) ne s’annule qu’au pointx= 4^−1/3, c’est l’unique minimum global def. (2 points)