Examen de seconde session de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique

L3 Math´ematiques 26 Juin 2015

Examen de seconde session de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique

Dur´ee: 3h. Aucun document ni calculatrice autoris´e.

Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.

Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 6+5+6+3=20.

Exercice 1. Soitf : [−1,1]→Rde classeC⁴.

a)Montrer qu’il existe un unique polynˆomeP_f de degr´e inf´erieur ou ´egal `a3tel que P_f(−1) =f(−1), P_f⁰(−1) =f⁰(−1), P_f(1) = f(1) et P_f⁰(1) =f⁰(1).

b)Soitx∈]−1,1[fix´e. On d´efinit les fonctionsR,ΠetF sur[−1,1]par

R(t) =f(t)−P_f(t), Π(t) = (1−t)²(1 +t)² et F(t) = R(t)Π(x)−R(x)Π(t).

i) Que valentF⁰(−1)etF⁰(1)?

ii) Montrer queF s’annule en3points distincts que l’on pr´ecisera.

iii) En d´eduire que F⁰ s’annule en 4 points distincts puis qu’il existe ξ ∈]− 1,1[ tel que F⁽⁴⁾(ξ) = 0.

iv) Montrer queR(x) = _4!¹f⁽⁴⁾(ξ)Π(x).

v) Montrer que|Π(t)| ≤1pour toutt∈[−1,1].

c)En d´eduire la majorationkf−Pfk∞≤ ₂₄¹kf⁽⁴⁾k∞. d)On prend la fonctionf(x) = x⁵.

i) Calculer le polynˆomeP_f.

ii) Calculerkf −P_fk∞et comparer avec la majoration obtenue au c).

Exercice 2. SoitE =R[X]. PourP ∈E on pose N₁(P) = sup

t∈[0,1]

|P(t)| et N₂(P) = sup

t∈[1,2]

|P(t)|.

On consid`ere l’applicationφ:E →Rd´efinie parφ(P) =P(0). On munitRde la valeur absolue.

a)Montrer queN₁ etN₂ d´efinissent des normes surE.

b)Montrer queφest continue pour la normeN₁et calculer sa normek|φk|.

c) Montrer que φ n’est pas continue pour la norme N₂. Indication: consid´erer les polynˆomes P_n(X) =

1− X

2

n

.

d) SoitF = {P ∈ E|P(0) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel ferm´e pourN₁. Montrer qu’il n’est pas ferm´e pourN₂. Indication: consid´erer les polynˆomes1−P_n.

e)Les normesN1 etN2 sont-elles ´equivalentes? Justifiez.

TSVP

Exercice 3. SoitE =M₂(R)l’espace des matrices2×2`a coefficients dansR. On munitEd’une norme matricielle. Soitf :E →Ed´efinie parf(A) =A².

a)Rappeler la d´efinition de la diff´erentiabilit´e d’une fonction.

b)Montrer quef est diff´erentiable surEet donner sa diff´erentielleDf(A)en un pointA∈E.

c)Montrer quef est de classeC¹. d) Soit A =

α 0

0 β

une matrice diagonale et H =

h₁₁ h₁₂ h₂₁ h₂₂

. Calculer explicitement Df(A)(H).

e)En d´eduire queDf(A)est inversible si et seulement siα,βetα+βsont tous les trois non nuls.

Donner alors l’expression de son inverse.

f)Montrer que pour toute matriceB dans un voisinage de B₀ =

1 0

0 4

il existe une matriceA telle queA² =B. Indication: penser au th´eor`eme d’inversion locale.

Exercice 4. Soientf etg d´efinies par f(x, y) = −x²y+ ¹₂y² +y etg(x, y) = x²+y² −1. On noteΓ ={(x, y)∈R²|g(x, y) = 0}.

a)Justifier quef poss`ede un minimum global et un maximum global surΓ.

b) D´eterminer le minimum et le maximum de f sur Γ. (On pourra ˆetre amen´e `a r´esoudre un syst`eme ayant6solutions.)