Exercice 14 Soit (u n ) n∈ N ∈ (R ∗ + ) N . On note S n =

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

S´ eries num´ eriques

TD21

Exercice 14 Soit (u n ) n∈ N ∈ (R ^∗ ₊ ) ^N . On note S n =

n

P

k=0

u k et R n =

+∞

P

k=n

u k (si la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n converge). ´ Etudier, en fonction de α ∈ R , la convergence de :

a) P

n≥0

u _n

S _n ^α quand la s´ erie de terme g´ en´ eral u n diverge.

b) P

n≥0

u n

R ^α _n quand la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n converge.

Solution.

a) On fait une comparaison ` a un int´ egrale, mais sur les intervalles [S _n , S _n+1 ] : on suppose α > 0.

Pour n ∈ N , on a, si t ∈ [S _n , S _n+1 ] (la suite (S _n ) n∈ N est strictement croissante car les u _n sont tous

> 0), S _n+1 ^−α ≤ t ^−α ≤ S _n ^−α . En int´ egrant, il vient : u _n+1

S _n+1 ^α = S _n+1 − S _n S _n+1 ^α ≤

Z S

n+1

S

n

dt

t ^α ≤ S _n+1 − S _n

S _n ^α = u _n+1 S _n ^α .

Supposons α > 1. Si p ∈ N , en sommant les in´ egalit´ es pr´ ec´ edentes, on a, par Chasles :

p

X

n=0

u n

S _n ^α ≤ u 0

S ₀ ^α + Z _S

_p

S

0

dt t ^α = u 0

S ₀ ^α + S ₀ ^1−α − S _p ^1−α α − 1 ≤ u 0

S ₀ ^α + S ₀ ^1−α α − 1 .

Les sommes partielles de la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n S _n ^−α sont donc major´ ees, et cette s´ erie converge.

Supposons maintenant α = 1. Supposons que X u n

S _n converge. Pour n ≤ m ∈ N , on a S n ≤ S p ≤ S _m si p ∈ [|n, m|], donc P ^m

p=n

u _p S _p ≥ 1

S _m

m

X

k=n

u _k = S _m − S n−1

S _m = 1 − S n−1

S _m . En faisant tendre m vers +∞ (` a n fix´ e), il vient donc

+∞

P

p=n

u p

S _p ≥ 1. Or le membre de gauche (qui est le reste de la s´ erie

´ etudi´ ee) converge vers 0 quand n → +∞... absurde ! Ainsi X u _n S n

diverge.

Enfin, si α < 1, on a u n

S _n ^α ≤ u n

S n

(quand n est assez grand pour que S n > 1, ce qui arrive puisque S _n −→

n→+∞ +∞) donc la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n

S _n ^α diverge par le crit` ere de comparaison des s´ eries

`

a termes positifs.

En conclusion, X u _n

S _n ^α converge si et seulement si α > 1.

b) On fait une comparaison ` a un int´ egrale, mais sur les intervalles [R n+1 , R n ] : on suppose α > 0.

Pour n ∈ N , on a, si t ∈ [R _n+1 , R _n ] (la suite (R _n ) n∈ N est strictement d´ ecroissante car les u _n sont tous > 0), R ^−α _n ≤ t ^−α ≤ R ^−α _n+1 . En int´ egrant, il vient :

u _n

R ^α _n = R _n − R _n+1 R ^α _n ≤

Z R

n

R

n+1

dt

t ^α ≤ R _n − R _n+1

R ^α _n+1 = u _n R ^α _n+1 .

Supposons α < 1. Si p ∈ N , en sommant les in´ egalit´ es pr´ ec´ edentes, on a, par Chasles :

p

X

n=0

u _n R ^α _n ≤

Z R

0

R

p

dt

t ^α = R ^1−α ₀ − R ^1−α _p

1 − α − 1 ≤ R ^1−α ₀ 1 − α .

1

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

Les sommes partielles de la s´ erie de terme g´ en´ eral u n R ^−α _n sont donc major´ ees, et cette s´ erie converge.

Supposons maintenant α = 1. Supposons que X u _n

R _n converge. Pour n ≤ m ∈ N , on a R _m ≤ R p ≤ R n si p ∈ [|n, m|], donc

m

P

p=n

u _p R p

≥ 1 R n

m

X

k=n

u k = R n − R m+1

R n

= 1 − R m+1

R n

. En faisant tendre m vers +∞ (` a n fix´ e), il vient donc

+∞

P

p=n

u p

R _p ≥ 1. Or le membre de gauche (qui est le reste de la s´ erie ´ etudi´ ee) converge vers 0 quand n → +∞... absurde ! Ainsi X u n

R n

diverge.

Enfin, si α > 1, on a u n

R ^α _n ≤ u n

R _n (pour n assez grang pour que R n < 1, ce qui arrive car R n −→

n→+∞ 0) donc la s´ erie de terme g´ en´ eral u n

R ^α _n diverge par le crit` ere de comparaison des s´ eries ` a termes positifs.

En conclusion, X u n

R ^α _n converge si et seulement si α < 1.

Exercice 16. Soit (u n ) n∈ N et (v n ) n∈ N deux suites de r´ eels positifs.

a) On suppose que X

v n converge.

(i) Si u _n = o(v _n ), montrer que

+∞

P

k=n

u _k = o _+∞

P

k=n

v _k

. (ii) Si u _n ∼ v _n , montrer que

+∞

P

k=n

u _k ∼

+∞

P

k=n

v _k . b) On suppose que X

v n diverge.

(i) Si u n = o(v n ), montrer que

n

P

k=0

u _k = o _n

P

k=0

v _k

. (ii) Si u n ∼ v n , montrer que

n

P

k=0

u _k ∼

n

P

k=0

v _k .

Solution.

1. On suppose que X

v n converge

(a) Soit > 0. Comme u _n = o(v _n ), par d´ efinition de la limite, on a N ∈ N tel que ∀n ≥ N ,

|u _n | ≤ |v _n | i.e. u _n ≤ v _n . Soit n ≥ N. Comme X

v _n converge, il en est de mˆ eme de X u n par le crit` ere de comparaison des s´ eries ` a termes positifs. On peut donc sommer les restes, et

+∞

P

k=n

u k ≤

+∞

P

k=n

v k =

+∞

P

k=n

v k . On a donc montr´ e

+∞

P

k=n

u k = o _+∞

P

k=n

v k

. (b) Soit > 0. Par d´ efinition de la limite, on a N ∈ N tel que ∀n ≥ N ,

u

n

v

n

− 1

≤ , i.e.

(1 − )v n ≤ u n ≤ (1 + )v n . En sommant, pour n ≥ N (les deux s´ eries ´ etant convergentes par le crit` ere de comparaison des s´ eries ` a termes positifs), on trouve alors

(1 − )

+∞

X

k=n

v _k ≤

+∞

X

k=n

u _k ≤ (1 + )

+∞

X

k=n

v _k

ce qui montre que

+∞

P

k=n

u k ∼

+∞

P

k=n

v k . 2. On suppose que X

v _n diverge.

2

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

(a) Soit > 0. Comme u n = o(v n ), par d´ efinition de la limite on a N ∈ N tel que ∀n ≥ N ,

|u _n | ≤ |v _n | i.e. u n ≤ v n . Pour n ≥ N , on a alors

n

X

k=0

u _k =

N −1

X

k=0

u _k +

n

X

k=N

u _k ≤

N −1

X

k=0

u _k +

n

X

k=N

v _k ≤

N−1

X

k=0

u _k +

n

X

k=0

v _k .

Comme

N−1

P

k=0

u _k est finie, et comme

n

P

k=0

v _k −→

n→+∞ +∞, on a

P N−1 k=0 u k

P n

k=0 v _k −→

n→+∞ 0. Ainsi il existe N 1 ∈ N tel que ∀n ≥ N 1 ,

N −1

P

k=0

u k ≤

n

P

k=0

v k . Pour n ≥ max(N, N 1 ), on a donc

n

P

k=0

u k ≤

n

P

k=0

v k , et on a montr´ e la d´ efinition de

n

P

k=0

u k = o _n

P

k=0

v k

.

Exemple de la s´ erie harmonique. S _n = ln(n) + γ + 1

2n + o(1/n).

ˆ Pour n ∈ N ^∗ , posons S n =

n

X

k=1

1

k . Avec f : x 7→ _x ¹ , continue et d´ ecroissante, on obtient Z n+1

1

dt t ≤

n

X

k=1

1

k ≤ 1 + Z n

1

dt

t i.e. ln(n + 1) ≤ S n ≤ 1 + ln n (en notant S n =

n

P

k=1 1

k ). Ainsi

ln (n+1)

lnn ≤ _lnn ^S

ⁿ

≤ 1 + _lnn ¹ et par le th´ eor` eme des gendarmes, _ln ^S

ⁿ

_n −→

n→+∞ 1 donc S _n ∼ ln n.

ˆ Posons u n =

n

X

k=1

1

k − ln n. On d´ esire montrer que (u n ) converge.

Soit n ∈ N ^∗ . Posons v n = u n+1 − u n . Pour montrer la convergence de la suite (u n ) n≥1 , on va

´ etudier la convergence de la s´ erie t´ elescopique X

n≥1

. On a :

v _n =

n+1

X

k=1

1

k − ln(n + 1) −

n

X

k=1

1

k + ln(n)

= 1

n + 1 + ln n

n + 1

= 1

n + 1 + ln

1 − 1 n + 1

= 1

n + 1 − 1

n + 1 − 1

2(n + 1) ² + o 1

(n + 1) ²

Ainsi, −v _n ∼ 1

2(n + 1) ² donc −v _n ∼ 1 2n ² . La s´ erie de terme g´ en´ eral positif 1

2n ² ´ etant convergente (s´ erie de Riemann avec α = 2), on en d´ eduit que −v _n est positif ` a partir d’un certain rang et que la s´ erie de terme g´ en´ eral −v _n est convergente. Donc X

n≥1

v n converge puis (u n ) n∈ N

^∗

est convergente.

Sa limite est not´ ee γ ∈ R et appel´ ee constante d’Euler. On obtient ainsi une estimation asymp- totique des sommes partielles de la s´ erie harmonique :

n

X

k=1

1

k = ln n + γ + o(1)

ˆ On pose pour n ∈ N ^∗ , t _n = S _n − ln n − γ .

t n+1 − t n = S n+1 − ln(n + 1) − S n + ln(n) = 1 n + 1 + ln

1 − 1 n + 1

∼ − 1

2n ² ∼ − 1 2

Z n+1

n

dt t ² .

3

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

On a donc

+∞

P

k=n

(t _k+1 − t _k ) ∼ − ¹ ₂ P +∞

k=n

R k+1 k

dt

t ² = − _2n ¹ i.e. −t _n ∼ − _2n ¹ . Ainsi t _n ∼ _2n ¹ et on a : S n = ln(n) + γ + t n = ln(n) + γ + 1

2n + o(1/n)

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