Licence Informatique 2e année Informatique théorique 2
TD2 : Groupes
1 Table de Cayley
a. Construire la table de Cayley d’un groupe d’ordre 3 (considérer un groupe d’ordre 3 connu).
b.Montrer que tous les groupes d’ordre 3 sont isomorphes.
2 Groupe abélien
SoitGun groupe où tout élément est son propre inverse. Montrer queGest abélien.
3 Groupe sur P ( E )
On définit surP(E), ensemble des parties d’un ensembleE, la loi interne∆ parX∆Y = ( ¯X∩Y)∪( ¯Y ∩X)(∆ est la différence symétrique). Montrer que (P(E),∆) est un groupe (on admettra que∆ est associative).
4 Sous-groupe
Montrer que si H est une partie non vide de G, H sous-groupe de G ssi
∀x,y∈H,xy−1∈H
5 Sous-groupe engendré
Donner les sous-groupes de(Z,+)engendrés par{3,5} et{6,10}.
6 Ordre d’un élément
SoitGun groupe dans lequel tout élément différent du neutre est d’ordre 2.
Montrer queGest commutatif.
7 Ordre d’un groupe
Montrer que si l’ordre d’un groupe est un nombre premier, le groupe est cyclique.
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8 Groupe quotient
Montrer qu’étant donné un groupeGet un morphismef défini surG, alors Ker(f)est distingué dansG. En déduire queG/Ker(f)est un groupe pour la loix.¯¯y= ¯x.y.
9 Groupe quotient (bis)
SiGest un groupe de neutree, déterminerG/Get G/{e}.
10 Groupe quotient (ter)
SoitH le sous-groupe deZ/40Z engendré par12¯ et 20¯ a.Montrer queH est engendré par¯4et trouver son ordre.
b.Déterminer l’ordre de 15¯ dansZ/40Z.
c. Caractériser les générateurs de Z/40Z. Montrer ce résultat pour les généra- teurs de Z/nZ.
11 Produit direct de groupes
SoitG= (Z/2Z)×(Z/4Z)muni de l’opération(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).
a. Donner la liste des éléments de G et l’ordre de chacun d’entre eux. G est-il cyclique?
b.Donner la liste des sous-groupes de G et en construire le treillis pour l’inclu- sion.
12 Isomorphisme sur R
Quel isomorphisme bien connu existe entreR+(les réels positifs) muni de la multiplication etR muni de l’addition? Quel est l’isomorphisme inverse?
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13 Sous-anneau
On appelle centre d’un anneau(A,+,.)l’ensembleC={x∈A|∀y∈Ax.y= y.x}. Montrer queC est un sous-anneau deA.
14 Théorème des restes chinois
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se les partager également et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait trois pièces. Mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4 pièces. Survient alors un naufrage et seuls 6 pirates, le cuisinier et le trésor sont sauvés et le partage laisserait 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer ce dernier s’il décide d’empoisonner le reste des pirates?
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