Mini-projet d’analyse num´erique du cours MAP 431 Un probl` eme inverse de la g´ eom´ etrie spectrale

Mini-projet d’analyse num´erique du cours MAP 431 Un probl` eme inverse de la g´ eom´ etrie spectrale

sujet propos´e par Igor FAVORSKIY igor.favorskiy@polytechnique.edu

1 Introduction

Dans son article [1] le math´ematicien polonais Mark Kac a pos´e une question devenue classique : ”Peut-on entendre la forme d’un tambour ?”. Pour r´epondre `a cette question, nous allons r´esoudre l’´equation des ondes, ainsi que le probl`eme aux valeurs propres correspondant dans les dimensions 1 et 2.

Soit Ω ∈ R^N un domaine r´egulier born´e, repr´esentant par exemple une corde vibrante dans le casN = 1, ou la membrane d’un tambour pourN = 2. Notonsu(x, t) le d´eplacement normal d’un ´el´ement qui se trouvait `a l’´equilibre `a la position x ∈ Ω. Dans le mod`ele des ondes planes non-dispersives, et dans l’hypoth`ese des d´eplacements infinit´esimaux

ku(x, t)k_∞diam`etre(Ω) u(x, t) est d´ecrit par le syst`eme suivant :



















∂²u(x, t)

∂t² −c²∆u(x, t) = 0 dans Ω×]0, T[

u= 0 sur ∂Ω×]0, T[

u(x,0) = u0(x) dans Ω

∂u

∂t(x,0) = u₁(x) dans Ω

(1a) (1b) (1c) (1d) avec u₀ ∈H₀¹(Ω), u₁ ∈L²(Ω).

Par simplicit´e nous allons consid´erer la vitesse initiale u₁(x) = 0, et la vitesse du son c= 1 dans tout ce qui suit.

Question 1. D´emontrer l’unicit´e des solutions du syst`eme (1) pour N = 1. Nous admet- tons le mˆeme r´esultat pour N = 2.

Question 2. Par la m´ethode de s´eparation des variables, u(x, t) =φ(x)ψ(t) montrer que le syst`eme (1) se transforme en un probl`eme aux valeurs propres de la forme

∆φ(x) =λφ(x) dans Ω

φ(x) = 0 sur ∂Ω

(2a) (2b) Expliciter la forme de ψ(t) dans le casu1(x) = 0.

P 1. Soit Λ = {λ tel que ∆φ(x) = λφ(x) dans Ω et φ(x) = 0 sur ∂Ω}. ´Etant donn´ee Λ, est-il possible de reconstituer Ω`a une isom´etrie pr`es ?

Question 3. Expliciter Λ pour N = 1. R´esoudre l’´equation obtenue pour λ > 0, λ = 0, λ < 0, pr´eciser les valeurs de λ compatibles avec les conditions aux limites, en d´eduire la r´eponse au (P 1).

Cependant, dans le cas N = 2 la r´eponse est plus d´elicate. En effet, il n’est pas possible de trouver une repr´esentation explicite de Λ pour tout Ω ∈ R² et ainsi obtenir la mˆeme conclusion que dans (Q.3). Nous allons donc illustrer la situation en r´esolvant (1) et (2) num´eriquement pour quelques g´eom´etries concr`etes.

2 Equation des ondes ´

2.1 Diff´ erences finis 1D

Etudions le cas d’une membrane en forme de disque : Ω =´ B(0, R). Soit de plus u₀(x) une fonction radiale, i.e. u₀(x) =u₀(r) = u₀(|x|).

Question 4. Montrer que dans ce cas la solutionu(x, t) est ´egalement une fonction radiale.

Question 5. Effectuer un changement de variables dans (1) pour passer dans les coor- donn´ees polaires.

SoitJ, N >0 - entiers. D´efinissons un pas de temps ∆t= _N^T₋₁, un pas d’espace ∆r = _J−1^R , et les nœuds d’un maillage r´egulier

(r_j, tⁿ) = ((j−1)∆r,(n−1)∆t) pour j ∈ {1, .., J}, n∈ {1, .., N}.

Question 6. Discr´etiser l’´equation de (Q.5) `a l’aide du sch´ema explicite d’ordre 1 en temps et en espace.

Pour discr´etiser ^∂2u(r,t)_∂t2 , il faut initialiser la valeur de u(r, t) sur les deux premi`eres it´erations, ce qui peut ˆetre fait en utilisant deux fois les valeurs de u₀(r). Nous pouvons interpr´eter cet ´etape comme la discr´etisation de la condition initiale (1d).

Pour compl´eter le probl`eme, nous allons imposer la condition aux limites

∂u

∂r(r= 0, t) = 0 sur ]0, T[

Il faut discr´etiser cette condition, ainsi que la condition `a r = 0 (1b), et l’imposer `a chaque pas de temps, c’est-`a-dire de mettre les bonnes valeurs de u<sup>n</sup><sub>1</sub> (correspond `a r = 0) et de uⁿ_J (correspond `ar =R).

Question 7. A l’aide du d´eveloppement de Taylor, calculer l’erreur de troncature du sch´ema propos´e. ´Etudier son domaine de stabilit´e. Existe-t-il une condition de type CFL sur

C = c∆t

∆r ?

Pour les tests num´eriques nous allons prendre le temps final T = 5, le rayon de la membraneR = 1, la position initiale u₀(r) = cos^πr₂ .

Question 8. Programmer le sch´ema du (Q.6) en Scilab ou Matlab. Tracer la solution obtenue, qu’on notera uⁿ_j(J, N), pour t ∈ {0,¹₅T, ..; T}. Il est int´eressant de prendre une valeur de C `a l’int´erieur et `a l’ext´erieur du domaine de convergence.

D´efinissons la norme d’une fonction discr`ete f_jⁿ comme

kf_jⁿk_L² = v u u t

1 N

N

X

n=1

1 J

J

X

j=1

|f_jⁿ|²

Pour confirmer num´eriquement le r´esultat de la (Q.7), nous allons effectuer un test de convergence. Nous fixons la valeur

C = c∆t

∆r = 1 2

et discr´etisons le domaine [0, R]×[0, T] de plus en plus finement, par exemple en prenant J_i = 10 2ⁱ+ 1 aveci∈ {0,1, ..6} etN_i = ^J_Cⁱ.

L’erreur est donn´ee par la diff´erence entre uⁿ_j(J_i, N_i) et uⁿ_j(Ji−1, Ni−1). Notons que la taille de deuxi`eme matrice est deux fois plus petite en chaque dimension. Pour calculer la diff´erence, il est commode d’extraire une sous-matrice de uⁿ⁽ⁱ⁾_j(i)(J_i, N_i) avec

j(i) ={1,1 + 2ⁱ,1 + 2∗2ⁱ, ..,1 +

J_i−1 2ⁱ

2ⁱ}

n(i) ={1,1 + 2ⁱ,1 + 2∗2ⁱ, ..,1 +

N_i−1 2ⁱ

2ⁱ} L’erreur est donc donn´ee par

eⁿ⁽ⁱ⁾_j(i)(J_i, N_i) = uⁿ⁽ⁱ⁾_j(i)(J_i, N_i)−uⁿ⁽ⁱ⁾_j(i)(Ji−1, Ni−1)

Pour le faire num´eriquement, il suffit d’utiliser l’indexation du typeu(1:2^i:$, 1:2^i:$) en Scilab, ouu(1:2^i:end, 1:2^i:end) en Matlab.

Question 9. Tracer la quantit´ekeⁿ⁽ⁱ⁾_j(i)(J_i, N_i)k_L² en fonction de J_i en ´echelle log-log. Quel ordre de convergence obtient-on (c’est-`a-dire, quelle est la pente de la courbe obtenue) ? Observe-t-on le comportement asymptotique pr´evu par la th´eorie, i.e.

n(i)

Question 10. Discr´etiser l’´equation par un sch´ema implicite en temps. Pour caract´eriser ce nouveau sch´ema, il convient de r´epondre aux mˆemes questions (Q.6) - (Q.9).

Cette fois-ci, pour prendre en compte les conditions aux limites, il faut choisir les bonnes valeurs des coefficients (1,1) et (J, J) de la matrice d’it´eration. Contrairement au sch´ema explicite, uⁿ₁ correspondra `a la position ∆r etu<sup>n</sup><sub>J</sub> `a la position R−∆r.

2.2 El´ ´ ements finis 2D

Nous allons commencer par le calcul de la section pr´ec´edente `a l’aide de Freefem.

Question 11. En multipliant (1a) par une fonction test eu(x) ∈ H₀¹(Ω), obtenir une for- mulation variationnelle du syst`eme (1). D´etailler les espaces fonctionnels utilis´es. A l’aide d’un th´eor`eme du cours que l’on pr´ecisera, d´emontrer l’unicit´e de solution de la formulation variationnelle.

Question 12. (bonus) En supposant que la solution

u(r, t)∈C([0, T];H₀¹(Ω)∩H²(Ω))∩C²([0, T];L²(Ω)) et la position initiale

u₀(r)∈H₀¹(Ω)∩H²(Ω)

montrer que la solution de la formulation variationnelle est une solution faible du probl`eme initial.

Pour justifier correctement ce passage, il faut consid´erer la formulation variationnelle pr´ec´edente au sens des distributions, en prenant une fonction test φ(t)∈C_C^∞(]0, T[) (voir la remarque 8.2.6 et le cours MAT 431 pour plus de pr´ecisions).

Question 13. Discr´etiser la d´eriv´ee en temps par le sch´ema explicite. En tra¸cant les valeurs de u(r, t) pour r ∈ [0, R], s’assurer que le comportement est identique `a celui du mod`ele radial.

Pour d´efinir une maillage de disque sous Freefem, on pourra utiliser la param´etrisation de type

border Disque(t = 0, 2*pi) {

x=cos(t);

y=sin(t);

}

mesh Th = buildmesh(Disque(50));

Pour tracer les valeurs de la fonction u sur une ligne, il faut d’abord pr´eparer les valeurs

`

a tracer :

int i, N = 10;

real[int] xx(N), yy(N);

for(i = 0; i<N; i++) {

xx[i] = i/real(N); // convert N to real in order to avoid integer division yy[i] = u(0, xx[i]); // value of u at point (0, i/real(N))

}

plot([xx,yy], wait = 1, cmm = "t = " + t);

3 Probl` eme aux valeurs propres

Question 14. Donner la formulation variationnelle de l’´equation (2).

Question 15. Calculer quelques valeurs et modes propres pour un disque en Freefem `a l’aide de la fonction EigenValue.

Figure 1 – Quelques domaines isospectraux

Question 16. Calculer des valeurs et modes propres pour une paire de domaines (au choix) sur Fig. 1.

Les lignes en gras, mˆeme leur partie se trouvant `a l’int´erieur des domaines, correspondent aux fronti`eres des r´egions. Sur ces courbes, la condition de Dirichlet de typeon(dOmega, u=0) est `a imposer dans la forme bilin´eaire.

Comparer les valeurs propres des deux domaines, donner la r´eponse au (P 1) en dimension N = 2.

Pour aller plus loin : quelques autres formes poss´edant les mˆemes propri´et´es sont donn´ees dans [2].

R´ ef´ erences

[1] M. KacCan one hear the shape of a drum ?Am. Math. Month., vol. 73, pp. 1-23 (1966).

[2] P. Buser et al. Some planar isospectral domains, In. Math. Res. Notices, pp. 391-400 (1994).

http://math.dartmouth.edu/~doyle/docs/drum/drum.ps