Mini-projet d’analyse num´erique du cours MAP 431 Un probl`eme de magn´etostatique
sujet propos´e par A. de Bouard [email protected]
On consid`ere le probl`eme de la magn´etostatique suivant, pos´e dans R2 :
(1)
rot(h) =j div(b) = 0
o`uhetb(`a valeurs dansR2) sont respectivement le champ et l’induction magn´etiques, etj est une source de courant, suppos´ee localis´ee dans ¯Ω, o`u Ω est un ouvert convexe r´egulier de R2. j est assimil´e ici `a un champ scalaire (en dimension 3, j serait un champ de vecteurs et devrait de plus satisfaire la condition div(j) = 0).
On adjoint `a ces ´equations la loi de comportement lin´eaire
(2) b=µh dans R2
o`u la perm´eabilit´e magn´etique µ=µ(x) prend ici deux valeurs :
(3) µ(x) =
µ0 >0 six∈R2\Ω µ1 > µ0 six∈Ω.
On pose alors h=hs+∇φ avec
(4)
rot(hs) =j div(hs) = 0
dansR2
Remarque : j n’est pas suppos´e r´egulier ici, en particulier la surface ∂Ω pourra porter une densit´e surperficielle de courant et l’´equation (4) est alors `a comprendre dans un sens faible. On admettra n´eanmoins que sous certaines conditions surj, on peut relever celui-ci par un champ sourcehs v´erifiant (4); on supposera dans la suite que hs est `a support uniquement dans ¯Ω et a une r´egularit´e H1( ¯Ω). Par contre, hs n’est pas n´ecessairement nul sur le bord de Ω.
Le but du projet est, connaissant le champ sourcehs, de calculer le champ de r´eaction
∇φ afin d’en d´eduire le champ magn´etique total h, et l’induction b.
On approche le probl`eme pos´e surR2 tout entier par un probl`eme pos´e sur une boˆıte B englobant Ω, en rajoutant la condition aux limites
(5) b.~n = 0 sur∂B
o`u~n est la normale ext´erieure `a ∂B.
1
2
1. On pose H = {ψ ∈ H1(B), R
Bψdx = 0}. Montrer qu’il existe une constante C >0 telle que
∀ψ ∈H, Z
B
ψ2dx≤C Z
B
|∇ψ|2dx
(on pourra raisonner par l’absurde). Que peut on dire de H muni dek.k o`u kψk=
Z
B
|∇ψ|2dx 1/2
?
2. On pose pour tout φ, ψ∈H, a(φ, ψ) =
Z
B
µ(x)∇φ.∇ψdx, et
L(ψ) =− Z
B
µ(x)hs.∇ψdx.
Montrer que le probl`eme “Trouverφ ∈H, telle que ∀ψ ∈H,a(φ, ψ) =L(ψ)” a une unique solution.
3. Interpr´eter la formulation variationnelle pr´ec´edente, i.e. donner les ´equations satisfaites parφ au sens faible dans Ω et dans B\Ω, ainsi que les conditions au bord¯ de Ω et de B v´erifi´ees par φ. Faire le lien avec le probl`eme de la magn´etostatique expos´e ci-dessus.
4. On consid`ere un maillage de B par des triangles de telle sorte que ce maillage respecte la fronti`ere de Ω (suppos´e poly´edrique), et une approximation du probl`eme par des ´el´ements finis P1. On noteVh l’espace des fonctions deH1(B), lin´eaires sur chaque triangle du maillage, et continues surB. Ecrire la formulation variationnelle discr`ete associ´ee au probl`eme continu de la question 2. Montrer que celle-ci admet une unique solution; en d´eduire que la formulation variationnelle
(6) Trouver ϕh ∈Vh, ∀ψh ∈Vh, a(ϕh, ψh) = L(ψh) admet une infinit´e de solutions que l’on d´ecrira.
3
5. Ecrire un programme en Scilab permettant de calculer la solution approch´ee `a l’aide d’´el´ements finis P1, en dimension un (on pourra commencer par r´esoudre le probl`eme (6). On prendraB =]−2,2[, Ω =]−1,1[ et hs= 1 sur ¯Ω,hs = 0 surB\Ω.
On tracera sur un mˆeme graphique cette solution approch´ee, et la solution exacte que l’on calculera explicitement.
6. On suppose que Ω est un ouvert poly´edrique, et que la solution exacte de (2) a la r´egularit´eH2 sur Ω et B\Ω (φn’est en g´en´eral pasH2 surB car sa d´eriv´ee normale peut avoir un saut sur ∂Ω. Donner une estimation th´eorique de l’erreur kφ−ϕhk o`uϕh est une solution de (6), en fonction de |φ|H2(Ω∪B\Ω).
7. Calculer, `a l’aide de FreeFem++, la solution approch´ee en dimension deux, toujours `a l’aide d’´el´ements finis P1, dans le cas suivant :
(7)
B = ]−2,2 [×]−2,2 [
Ω = {(x1, x2), x21+x22 <1/4} avec la perm´eabilit´e
(8) µ(x) =
2 pourx∈Ω 1 pourx∈B\Ω et le champ source
(9) hs(x) =
(0,1)tpourx∈Ω¯ (0,0)tpourx∈B\Ω¯
On visualisera la solution φ ainsi que le champ de r´eaction ∇φ. Commenter la solution obtenue par rapport au cas unidimensionnel.
8. Reprendre la question 7 en faisant varier le domaine Ω. On pourra consid´erer un carr´e, des ellipses avec diff´erentes orientations des axes...
