Mini-projet d’analyse num´erique du cours MAP 431 Comportement asymptotique d’une structure mince

Mini-projet d’analyse num´ erique du cours MAP 431

Comportement asymptotique d’une structure mince

Sujet propos´e par Jean-Fran¸cois Babadjian [email protected]

Soitε >0, on consid`ere une structure occupant dans sa configuration de r´ef´erence l’ouvert de R² defini par Ωε :=]0,1[×]0, ε[. On suppose que ce mat´eriau est soumis

`

a une force volumique fε ∈ L²(Ωε;R²), qu’il est encastr´e sur les bords verticaux Σε :={0,1}×]0, ε[ et qu’il est libre sur le reste de la fronti`ere ∂Ωε\Σε.

Σε Ωε Σε

?fε

-

1

6

? ε

On note vε : Ωε → R² le champ des d´eplacements qui v´erifie `a l’´equilibre le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles suivant:











−∆vε=fε dans Ωε, vε = 0 sur Σε,

∂vε

∂x₂ = 0 sur ∂Ωε\Σε.

(1)

Question 1. Ecrire la formulation variationnelle du syst`eme (1) et en d´eduire l’existence d’une unique solution vε ∈ Vε := {ϕ ∈ H¹(Ωε;R²) : ϕ = 0 sur Σε}.

En quel sens avez-vous r´esolu le syst`eme (1)?

Question 2. Montrer que vε est l’unique minimiseur surVε de l’´energie Fε(ϕ) := 1

2 Z

Ω^ε

|∇ϕ|²dx− Z

Ω^ε

fε·ϕ dx.

1

Question 3. Ecrire sous FreeFem++un script permettant de r´esoudre le probl`eme (1) par la m´ethode des ´el´ements finis P₁. Pour ce faire on prendra la force fε = (−1,0) et ε= 1/10.

Question 4. Tracer le maillage ainsi que le champ de vecteuru. On rappelle que la configuration d´eform´ee est donn´ee par l’ensemble des points x+vε(x) lorsquexvarie dans Ωε. Repr´esenter graphiquement le maillage dans la configuration d´eform´ee.

Question 5. Calculer la valeur minimale de l’´energie, c’est-`a-dire Fε(vε), pour ε= 1/10, 1/100 et 1/1000.

Comme le param`etreεest tr`es petit (par rapport `a 1), il est naturel de substituer le mod`ele bi-dimensionnel pr´ec´edent par un mod`ele uni-dimensionnel en faisant une analyse asymptotique lorsque le param`etre ε tend vers z´ero. La premi`ere diffi- cult´e r´eside dans le fait que le domaine d´epend du param`etre. Pour rem´edier `a ce probl`eme, nous allons reformuler le probl`eme pr´ec´edent en un probl`eme ´equivalent mais qui sera d´efinit sur un domaine fixe.

Posons Ω := Ω₁ =]0,1[×]0,1[ et Σ = Σ₁ ={0,1}×]0,1[. Pour tout (x₁, x₂) ∈Ω, d´efinissons

uε(x₁, x₂) :=vε(x₁, εx₂).

Question 6. En supposant quefε(x₁, x₂) =f(x₁, x₂/ε), montrer queuεest l’unique miniseur de

Eε(ϕ) := 1 2

Z

Ω

|∂₁ϕ|²+ |∂2ϕ|² ε²

dx−

Z

Ω

f ·ϕ dx sur V :=V₁={ϕ∈H¹(Ω;R²) :ϕ= 0 sur Σ}.

Question 7. Montrer qu’il existe une sous suite not´ee (uε′)ε′ et une fonction u ∈ H₀¹(]0,1[;R²) (ind´ependante de x₂) telles que uε′ ⇀ u faiblement dans H¹(Ω;R²).

En d´eduire que u est l’unique minimiseur de l’´energie E(ϕ) := 1

2 Z 1

0

|ϕ^′|²dx₁− Z 1

0

f ·ϕ dx₁

sur H₀¹(]0,1[;R²), o`u f(x₁) := R1

0 f(x₁, x₂)dx₂, et que u est l’unique solution du syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles suivant:

−u^′′=f dans ]0,1[,

u(0) =u(1) = 0. (2)

Question 8. Montrer que toute la suite uε→u fortement dans H¹(Ω;R²) et qu’il y a convergence de la valeur minimale: Eε(uε)→E(u).

Question 9. D´eterminer la solution exacte du syst`eme (2)lorsquef =f = (−1,0).

Question 10. En prenant la mˆeme force qu’`a la question 3, ´ecrire `a l’aide deScilab un sch´ema aux diff´erences finies qui r´esoud num´eriquement le syst`eme (2).

Question 11. Repr´esenter graphiquement la configuration d´eform´ee ainsi que la solution exacte.

Question 12. Calculer la valeur minimale de E, c’est-`a-dire E(u). Cette valeur est-elle coh´erente avec les r´esultats obtenus aux questions 5 et 8?

2

Appendice

On rappelle ici, si besoin, la d´efinition et les r´esultats n´ecessaires sur la con- vergence faible. Soit Ω un ouvert de R^N, (un) une suite de fonctions L²(Ω) et u ∈L²(Ω).

• On dit que un converge faiblement vers u dansL²(Ω), et on note un ⇀ u, si pour toute fonction test ϕ∈L²(Ω), on a

n→lim+∞

Z

Ω

unϕ dx= Z

Ω

uϕ dx.

Question facultative: Essayer de montrer que si un→u dans L²(Ω), alors un⇀ u dans L²(Ω).

• Si (un) est une suite uniform´ement born´ee dans L²(Ω) par une constante ind´ependante den, alors on peut extraire une sous-suite (un_k) et trouver une fonction u∈L²(Ω) telles que un_k ⇀ u dansL²(Ω).

• Si un⇀ u dansL²(Ω) etkunkL2(Ω) → kukL2(Ω), alorsun→u dansL²(Ω).

Question facultative: Essayer de montrer ce r´esultat.

• Si u et un ∈H¹(Ω) pour tout n∈ N, on dit queun converge faiblement vers u dans H¹(Ω) si un ⇀ u dans L²(Ω) et ^∂u_∂xⁿ

i ⇀ _∂x^∂u

i dans L²(Ω) pour tout i= 1, . . . , N.

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