Sup PCSI2 — Contrˆole 2006/08
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Probl` eme 1 : alg` ebre lin´ eaire
ISoientret sdeux projecteurs d’unK-e.v. E. Nous notonst=r◦s−s◦r.
Q1 Montrez que r◦sest un projecteur si et seulement sit im(s)
⊂ker(r).
INous supposons d´esormais quer◦sest un projecteur.
Q2 Montrez que im(r◦s) = ker(r) + im(s)
∩imr.
Q3 Montrez que ker(r◦s) =s−1 ker(r) . Q4 Montrez que ker(r◦s) = ker(r)∩im(s)
⊕ker(s).
INotez bien que, dans la question 3, la notations−1 ne signifie pas quesest bijectif !
Probl` eme 2 : analyse
INous commen¸cons par quelques questions de cours.
Q1 Donnez l’expression de dk dtk
1 t
, pourt >0 etk∈N. Vous prouverez cette expression.
Q2 En d´eduire l’expression de dk dtk ln(t)
, pour t >0 etk∈N. Q3 ´Enoncez la formule deLeibniz; aucune preuve n’est demand´ee.
II d´esigne l’intervalle ]0, e[. Notonsϕ: t∈ I 7→ ln(t) t .
Q4 Montrez que ϕr´ealise une bijection deI sur un intervalle J que vous pr´eciserez.
Q5 Montrez que ϕest de classeC∞.
Q6 Donnez les expressions deϕ0(t) et ϕ00(t) ;
Q7 Que pouvez-vous dire concernant la convexit´e de ϕ? Q8 Montrez que ϕ−1 est elle aussi de classeC∞.
IAu vu des expressions de ϕ(x), ϕ0(x) et ϕ00(x), il est raisonnable d’´enoncer l’assertion suivante, qui sera not´eeA(n) :
il existe des r´eelsan et bn tels queϕ(n)(t) = an+bnln(t)
tn+1 pour tout r´eelt∈ I Q9 Au moyen d’un raisonnement par r´ecurrence, prouvez que A(n) est vraie pour toutn∈N. Q10 Donnez l’expression debn en fonction den.
Q11 Donnez l’expression dean en fonction den; vous ferez intervenir Hn = X
16k6n
1
k; par convention, H0= 0.
Q12 En d´erivantnfois l’´egalit´eϕ(t) = 1
t ×ln(t) avec la formule deLeibniz, retrouvez l’expression deϕ(n)(t).
Q13 Explicitez leDLn(1) deϕ.
Tournez S.V.P.
Probl` eme 3, d’apr` es une ´ epreuve du concours ESTP 1995)
IE d´esigne leR-e.v. C [0,1],R
. H d´esigne leR-e.v.F(R∗+,R
. Soit f ∈E; nous lui associons T(f)∈H, d´efinie par
T(f) (x) =
Z 1
0
f(t)
x+tdt pour toutx >0 Vous noterez soigneusement le rˆole des parenth`eses dans T(f)
(x).
Q1 Dans le cadre de ce probl`eme, la notationT f(x)
a-t-elle un sens ? Q2 Justifiezbri`evement l’existence deT(f).
Q3 Montrez que Test une application lin´eaire.
IDans les quatre questions suivantes, nous notonsf(t) =et etF =T(f).
Q4 Au moyen d’un changement de variabletr`es simple, montrez queF est d´erivable surR∗+. Q5 Simplifiez alors G(x) =F(x) +F0(x) pourx >0.
Q6 Rappelez leDLn(0) de la fonction ϕ: u >−17→ 1 1 +u. Q7 D´eterminez des constantesa,bet ctelles queG(x) ==
+∞
a x+ b
x2 + c
x3 +o 1 x3
. IPourn∈N, nous noteronsfn: t∈[0,1]7→tn, etJn=T(fn).
Q8 Calculez J0(x) pourx >0.
Q9 ´Ecrivez une relation liantJn+1(x) etJn(x) pourx >0. Indication :t= (x+t)−x.
Q10 En d´eduireJn(x) = (−x)nln 1 + 1
x
+Pn(x), o`uPn est une fonction polynˆome que vous expliciterez.
Q11 Pr´ecisez le degr´e et le coefficient dominant dePn. Q12 Que pouvez-vous dire de la famille (Pk)16k6n?
[Contr^ole 2006/08] Compos´e le 12 mai 2007
