2 Construction de la mesure de Lebesgue

Université Paris-Dauphine 2021-2022 Cours de “Intégrale de Lebesgue et probabilités" Décembre 2020

Chapitre 9 - Constructions de mesures (hors programme)

Table des matières

1 Théorèmes de Carathéodory 1

2 Construction de la mesure de Lebesgue 3

3 Complétion d’une tribu 4

4 Théorèmes de représentation de Riesz-Markov 5

5 Théorèmes de Prokhorov et de Lévy 6

6 Loi conditionnelle 7

7 Espaces produits et tribus produits 8

8 Suite de variables aléatoires 9

1 Théorèmes de Carathéodory

Définition 1.1. On dit queµ^∗:P(E)→[0,∞] est une mesure extérieure si (i) µ^∗(∅) = 0;

(ii) µ^∗ est croissante : µ^∗(A)≤µ^∗(B)siA⊂B;

(i) µ^∗ estσ-sous-additive : pour toute suite (An)deP(E), on a µ^∗ [

n∈N

An

≤X

n∈N

µ^∗(An).

Théorème 1.2 (Carathéodory). Etant donnée une mesure extérieure sur un ensemble E, on définit l’ensemble de parties

A:=

A⊂E;µ^∗(C) =µ^∗(C∩A) +µ^∗(C∩A^c)∀C⊂E . Alors

(i) A est une tribu (qui contient toute les parties A⊂E telles que µ^∗(A) = 0) ; (ii) µ˜:=µ^∗|_A:A →[0,∞] est une mesure positive.

Idée de la preuve. •Pour tousA, C⊂E, on a toujours

µ^∗(C)≤µ^∗(C∩A) +µ^∗(C∩A^c),

parσ-sous-additivité, et c’est donc juste l’inégalité inverse qu’il faut démontrer. En particulier, si µ^∗(A) = 0, on a

µ^∗(C)≥µ^∗(C∩A^c) =µ^∗(C∩A) +µ^∗(C∩A^c),

par croissance, ce qui démontre queA∈ A.

• PourA, B∈ AetC⊂E, on a

µ^∗(C∩(A∪B)) = µ^∗(C∩(A∪B)∩A) +µ^∗(C∩(A∪B)∩A^c)

= µ^∗(C∩A) +µ^∗(C∩B∩A^c).

On en déduit

µ^∗(C∩(A∪B)) +µ^∗(C∩(A∪B)^c) =

=µ^∗(C∩A) +µ^∗(C∩B∩A^c) +µ^∗(C∩A^c∩B^c)

=µ^∗(C∩A) +µ^∗(C∩A^c) +µ^∗(C∩A^c) =µ^∗(C),

ce qui prouve queAest stable par union finie. On en déduit immédiatement queAest une algèbre.

• On se donne maintenant une suite (Bk)k≥1 d’éléments de Adeux à deux disjoints. On montre par récurrence que pour tout C⊂E et toutn≥1

µ^∗(C) =

n

X

k=1

µ^∗(C∩Bk) +µ^∗

C∩[ⁿ

k=1

Bk

c .

Par croissance deµ^∗, on a alors

µ^∗(C)≥

n

X

k=1

µ^∗(C∩Bk) +µ^∗ C∩B^c

, B :=

∞

[

k=1

Bk,

pour toutn≥1, et donc

µ^∗(C)≥

∞

X

k=1

µ^∗(C∩B_k) +µ^∗ C∩B^c

. (1)

Parσ-sous-additivité deµ^∗, cela prouve

µ^∗(C)≥µ^∗ C∩B

+µ^∗ C∩B^c .

Parσ-sous-additivité deµ^∗, l’inégalité inverse est immédiate, ce qui prouve queB∈ A. Si(Ak)_k≥1 est une suite quelconque deA, on définit la suite(Bk)_k≥1 d’éléments deAdeux à deux disjoints, en posant B1 := A1, . . ., Bk :=Ak\B_k−1 et on observe que∪Ak =∪Bk ∈ A, ce qui termine la preuve du fait queAest une tribu.

• Soit à nouveau(B_k)_k≥1 une suite d’éléments deAdeux à deux disjoints. En prenantC:=∪B_k dans (1) et en utilisant la notationB :=∪Bk, on trouve

µ^∗[^∞

k=1

B_k

≥

∞

X

k=1

µ^∗[^∞

k=1

B_k

∩B_k

+µ^∗ B∩B^c

=

∞

X

k=1

µ^∗ B_k .

Par hypothèse deσ-sous-additivité deµ^∗, cette inégalité est en fait une égalité, c’est-à-dire queµ^∗ estσ-additive sur les éléments deA.

Théorème 1.3 (Carathéodory). Soient (i) B une semi-algèbre de E;

(ii) µ^]:B →[0,∞]une application σ-finie etσ-additive au sens où

— il existe une suite(Bn)deBtelle que ∪nBn =E etµ(Bn)<∞;

— pour toute suite(Bn)d’éléments disjoints deB telle que∪nBn∈ B on a µ^] [

n

Bn

=X

n

µ^](Bn).

Alors il existe une unique mesureσ-finieµ surσ(B) telle queµ_|B =µ^]. Idée de la preuve. Pour toutA∈P(E), on définit

µ^∗(A) := inf

∞

X

k=1

µ^](B_k);B_k ∈ B, A⊂[

k

B_k .

• On vérifie queµ^∗ est une mesure extérieure. Les hypothèses impliquent queµ^] est croissante et queµ^](∅) = 0, d’où on déduit les mêmes propriétés pourµ^∗. Pour montrer laσ-sous additivité de µ^∗, on considère une suite(An)deP(E)telle que µ^∗(An)<∞ (sinon il n’y a rien à démontrer) et pourε >0, il existe une suite (Bk,n)deBtelle que

A_n ⊂[

k

B_k,n et

∞

X

k=1

µ^](B_k,n)≤µ^∗(A_n) +ε2⁻ⁿ.

On en déduit

µ^∗[

n

An)≤

∞

X

k,n=1

µ^](Bk,n)≤

∞

X

n=1

µ^∗(An) +ε,

et laσ-sous additivité deµ^∗, du fait queε >0peut être pris arbitrairement petit. Le Théorème 1.2 nous dit que l’on peut construire une tribu Aainsi qu’une mesure µ˜ sur Aà partir de la mesure extérieure µ^∗.

• La suite de la preuve est un peu fastidieuse ! En voici les principales étapes. On commence par démontrer queµ^∗ coïncide avecµ^]surB. On montre ensuite que

∀A, C∈ B, µ^](C∩A) +µ^∗(C∩A^c) =µ^](C), et on en déduit que

∀A∈ B, ∀C⊂E, µ^∗(C∩A) +µ^∗(C∩A^c) =µ^∗(C), ce qui montrer queB ⊂ A, et doncσ(B)⊂ A. On conclut en prenantµ:= ˜µ_|σ(B). En résumé, la construction deµse fait de la manière suivante :

µ^] //

µ^∗ Théorème 1.2 //

˜

µ //

µ:= ˜µ_|σ(B)

B

OO

P(E)

OO

A tribu ⊃ B

OO

σ(B)

OO

2 Construction de la mesure de Lebesgue

Théorème 2.1 (Lebesgue). Il existe une mesureλborélienne sur R^d telle que

λ(]a1, b1[× · · · ×]ad, bd[) =

d

Y

i=1

(bi−ai),

pour tout pavé ]a₁, b₁[×. . .]a_d, b_d[⊂R^d. De plus, pour toute fonction f ∈C_c(R^d), on a Z

R

f dλ= Z

R

f(x)dx, (2)

où le terme de droite désigne l’intégrale au sens de Riemann.

Ebauche de la preuve (Cas d = 1 pour simplifier, on peut alors passer au cas de la dimension supérieured≥2à l’aide de la théorie du Fubini-Tonelli). Pour un intervalle(a, b)deR¯,a < b, on pose

λ^]((a, b)) =b−a.

Ici, les parenthèses(et)désignent indistinctement les crochets[et]. On sait (depuis le Chapitre 1) que l’ensemble B des unions finies d’intervalles forme une semi-algèbre. On peut appliquer le Théorème 1.3 de Carathéodory qui nous dit qu’il existe une tribuL(R)contenantBet une mesure λ˜surL(R)qui coïncide avecλ^]surB. En particulierL(R)contient également la tribu borélienne B(R)qui a été définie comme étant la plus petite tribu contenantB. On note λ:= ˜λ_|B(R). Enfin, pourf ∈Cc(R), on a

Z

R

f dλ= lim

n→∞

Z

R +∞

X

i=−∞

f(i n)1₍i

n,ⁱ⁺¹_n )dλ= lim

n→∞

+∞

X

i=−∞

1 n f(i

n) = Z

R

f(x)dx,

où on utilise le théorème de convergence dominée pour justifier la première limite et la définition de l’intégrale de Riemann pour justifier la seconde limite. On notera que les deux sommes sont en fait finies pour toutn≥1fixé.

3 Complétion d’une tribu

Soit(E,B, µ)un espace mesuré.

Définition 3.1. - On dit queN ⊂E estµ-négligeable (ou simplement négligeable) siN ⊂B ∈B etµ(B) = 0. On note N ∈ Nµ.

- La tribuB est dite complète pour la mesureµsi elle contient tous les négligeables.

Proposition 3.2. L’ensemble A := {B ∪N, B ∈ B, N µ-négligeable} est la plus petite tribu µ-complète contenantB. La mesureµpeut être prolongée d’une unique façon en une mesureµ˜ sur A. La mesureµ˜ est appelée la mesure complétée de µ.

Remarque 3.3. Il convient de remarquer que les notations sont cohérentes ! Si (E,B, µ) est un espace mesuré, alors la mesure µ˜ ainsi construite coïncide avec celle construite à l’aide du Théorème 1.3 :

µ^]:=µ

Théorème 1.3 //

˜ µ

µ

Proposition 3.2

oo

B

OOOO

A =B+Nµ

OO

B

OO

Exemples 3.4. SurR, on définit la mesure extérieure

λ^∗(A) := inf{λ^](O);Oouvert, A⊂ O}, λ^](]a, b[) =b−a.

On appelle tribu de Lebesgue, on note L(R), la tribu que l’on obtient à partir de λ^∗ grâce au Théorème 1.2. La tribu de Lebesgue L(R) est la tribu complétée de la tribu de Borel B(R), et L(R) 6= B(R). Pour voir ce dernier point, on définit l’ensemble de Cantor C de la manière suivante : on note C0 = [0,1], C1 = [0,1/3]∪[2/3,1], C2 := [0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪ [8/9,1], ..., puisC := limnCn. Il est clair queC est négligeable et on peut montrer qu’il n’est pas dénombrable. Donc l’ensemble des parties deCest de cardinal strictement supérieur à la puissance du continu et le cardinal de L(R)n’est donc pas plus petit. D’autre part, on peut montrer que le cardinal de B(R)est celui deR. On a donc cardL(R)>cardB(R). On peut montrer à l’aide de l’axiome du choix qu’il existe des sous-ensembles deRqui ne sont pas Lebesgue mesurable.

4 Théorèmes de représentation de Riesz-Markov

Théorème 4.1 (Riesz-Markov). SoitT une forme linéaire positive sur C_c(R^d), c’est-à-dire, une applicationT :C_c(R^d)→Rtelle que

(i) T est linéaire :T(φ+αψ) =T(φ) +αT(ψ)pour tout α∈R,φ, ψ∈C_c(R^d); (ii) T est positive :T(φ)≥0siφ∈C_c(R^d)etφ≥0.

Alors, il existe une unique mesure borélienneσ-finieµ surR^d telle que

T(φ) = Z

R^d

φ(x)µ(dx).

Idée de la preuve. •Pour un ouvert non vide O ⊂R^d, on définit

µ^∗(O) := sup{T(φ);φ∈Cc(R^d),0≤φ≤1,suppφ⊂ O}

et µ^∗(∅) = 0. On vérifie que

(a) µ^∗(O₁)≤µ^∗(O₂)siO₁⊂ O₂; (b) µ^∗(O1∪ O2)≤µ^∗(O1) +µ^∗(O2; (c) µ^∗(∪On)≤P

nµ^∗(On), pour toute suite d’ouverts(On).

• Pour un ensemble quelconqueA⊂R^d, on définit

µ^∗(A) := inf{µ^∗(O);Oouvert, A⊂ O}.

On vérifie queµ^∗ est une mesure extérieure. On noteA la tribu associée et définie dans le Théo- rème 1.2 de Carathéodory.

• On montre ensuite que la famille T des ouverts est incluse dans A et queµ^∗ est régulière au sens où pour toutA∈A et toutε >0, il existe Oouvert etK compact tels que

K⊂A⊂ O et µ(O)−ε≤µ(A)≤µ(K) +ε.

•On peut alors conclure queA contient la tribu borélienneBet qu’il existe une mesureµdéfinie surA, donc surB, par restriction deµ^∗. Pour0≤φ∈Cc(R^d)fixé, on observe que

1 n

X

j≥1

1_φ≥j/n≤φ≤ 1 n

X

j≥0

1_φ>j/n.

Par régularité deµ, on a 1 n

X

j≥1

µ({φ > j/n} ≤T(φ)≤ 1 n

X

j≥0

µ({φ≥j/n}).

On conclut que

T(φ) = lim

n→∞

1 n

X

j≥1

µ({φ > j/n}= lim

n→∞

1 n

X

j≥1

µ({φ > j/n}= Z

R^d

φ dµ.

L’unicité a été démontrée au chapitre 2.

Remarque. (1) Dans le début de la preuve, on doit pouvoir également définir une applicationµ^] sur la semi-algèbre des pavés et appliquer directement le Théorème 1.3.

(2) On peut également déduire la construction de la mesure de Lebesgue à partir du Théorème 4.1 de représentation de Riesz-Markov comme alternative au Théorème 2.1. On procède de la manière suivante. On définit l’applicationT :Cc(R)→Rpar

T(φ) :=

Z

R

φ(x)dx,

où le terme de droite désigne l’intégrale de Riemann (obtenue comme limite de séries de Riemann).

Cette application est évidemment une forme linéaire positive. Le Théorème 4.1 permet de conclure à l’existence d’une mesure positive (de Lebesgue) telle que (2). Pour[a, b]⊂Ron définitφn ∈Cc(R) affine par morceaux telle queφn(x) = 1pour toutx∈[a, b]etφn&1[a,b]. On obtient

λ([a, b]) = lim

n

Z

R

φndλ= lim

n

Z

R

φn(x)dx=b−a,

en utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue dans la première limite et un calcul élémentaire (aires de triangles) pour la deuxième limite.

Théorème 4.2(variante 1). SoitT une forme linéaire contine surC0(R^d), i.e. ∃C≥0 telle que

∀φ∈ C0(R^d),|T(φ)| ≤ Ckφk_∞. Alors, il existe deux mesures boréliennes finies µ_± sur R^d telle que

T(φ) = Z

R^d

φ(x)µ₊(dx)− Z

R^d

φ(x)µ₋(dx).

Il n’y a évidemment pas unicité du couple (µ+, µ−) puisque µ+ −µ− = (µ++ν)−(µ−+ν) pour toute mesure positive et σ-finieν, de sorte que le couple(µ++ν, µ−+ν) conviendra aussi.

Toutefois, sous la condition supplémentaire que les mesures sont étrangères, i.e.µ+ ⊥µ− au sens du Théorème de Radon-Nikodym, alors cette décomposition est unique. On dit queσ:=µ₊−µ₋ est une mesure signée.

Théorème 4.3 (variante 2). Soit T une forme linéaire continue sur L^p(R^d), 1 ≤ p < ∞, i.e.

∃C≥0 telle que ∀φ∈L^p(R^d),|T(φ)| ≤Ckφk_p. Alors il existe une unique fonction f ∈L^p0(R^d) telle que

T(φ) = Z

R^d

φ(x)f(x)dx.

5 Théorèmes de Prokhorov et de Lévy

Théorème 5.1 (Prokhorov). Soit (µn)une suite de mesures de probabilité qui est tendue, c’est- à-dire qui vérifie

∀ε >0, ∃R >0, ∀n∈N, µn(B_R^c)≤ε.

Alors, il existe une sous-suite(µn_k)et une de mesure de probabilitéµtelle queµn_k * µfaiblement.

Ebauche de la preuve. Pour tout ϕ∈C_c(R^d), on peut extraire une sous-suite(µ_n⁰)et un réel`_ϕ tels que

Z

R^d

ϕdµn⁰ →`ϕ.

Par un argument de séparabilité de Cc(R^d) (existence d’un sous-ensemble dénombrable et dense dansCc(R^d)) et d’extraction diagonale de Cantor, on peut trouver une sous-suite(µn_k)telle que cette convergence a lieu pour toutϕ∈Cc(R^d)(on inverse l’ordre des quantificateurs). Il est alors facile de voir queT :C_c(R^d)→R,ϕ7→T(ϕ) :=`_ϕest une application linéaire et positive. D’après le Théorème 4.1 de Riesz-Markov, il existe une mesure positive telle que

T(ϕ) = Z

R^d

ϕdµ.

Comme pour une suite(χR)deCc(R^d),1B_R≤χ≤1B_2R, on a µ(B_R)≤

Z

R^d

χ_Rdµ= lim

n

Z

R^d

χ_Rdµ_n≤1,

et en fixantε >0et choisissantRconvenablement grâce au critère de tension, on a µ(B_2R)≥

Z

R^d

χ_Rdµ= lim

n

Z

R^d

χ_Rdµ_n≥1−lim

n

Z

B_R^c

dµ_n≥1−ε, on en déduitµ(R^d) = 1. Cela prouve queµest une mesure de probabilité.

Théorème 5.2 (de Lévy - version forte). Soit(µ_n)une suite de mesures de probabilité telle que ˆ

µ_n → φ ponctuellement avec φ continue en 0. Alors φ est la transformation de Fourier d’une mesureµet µn * µfaiblement.

Ebauche de la preuve. Le point essentiel est d’établit la tension de la suite(µ_n). On noteφ_n := ˆµ_n. Pour toutu >0 (petit), on écrit

1 u

Z u

−u

(1−φn(ξ))dξ = 1 u

Z u

−u

Z

R

(1−e^ixξ)dµn(x)dξ

= 1

u Z

R

Z u

−u

(1−e^ixξ)dξ dµn(x)

= 2

u Z

R

u−e^ixu−e^−ixu 2iξ

dµn(x)

= 2 Z

R

1−sin(xu) xu

dµn(x)

≥ Z

R

2

1−sin(xu) xu

1xu≥1dµn(x), où on a utiliser le théorème de Fubini à la deuxième ligne. En définissant

K:= inf

|y|≥12

1−siny y

>0, on obtient

1 u

Z u

−u

(1−φn(ξ))dξ ≥K Z

R

1xu≥1dµn(x) =Kµn [−1/u,1/u]^c .

Par hypothèse de convergence deφnversφet de continuité deφen0, on aφ(0) = 1etφ(s)≥1−ε/2 pour toutε >0et tout|s| ≤u,uassez petit, de sorte que

µ_n [−1/u,1/u]^c

≤K⁻¹ 1 u

Z u

−u

(1−φ_n(ξ))dξ≤K⁻¹ ε,

pour toutnassez grand. Cela prouve la tension de(µn). Grâce au Théorème 5.1 de Prokhorov, on en déduit l’existence d’une sous-suite (µn_k)et d’une mesure de probabilitéµtelles que µn_k * µ faiblement. On obtient alors φ_nk →µˆ =φ, et par injectivité de la transformation de Fourier, et donc unicité de la limite, on obtient queµ_n * µ.

6 Loi conditionnelle

Définition 6.1. Soient(E,E)et(F,F)deux espace mesurables. On appelle probabilité (ou noyau) de transition deE dansF une application

K:E× F → [0,1]

telle que

— pour toutx∈E,K(x,·)est une mesure de probabilité sur(F,F);

— pour toutA∈ F,K(·, A)est une application mesurable sur(E,E).

Sif est mesurable et bornée sur(F,F)etλest une mesure de probabilité sur(E,E), on définit la fonction mesurableKf surE et la mesure de probabilitéλK surF par

(Kf)(x) :=

Z

E

f(y)K(x, dy), (λK)(A) :=

Z

E

K(x, A)λ(dx).

Définition 6.2. SoientX une variable aléatoire à valeurs dans(E,E)etY une variable aléatoire à valeurs dans (F,F). On appelle loi conditionnelle de Y sachant X tout noyau de transition K telle que pour toute fonction mesurable et bornée sur(F,F), on a

E(ϕ(Y)|X) = Z

F

ϕ(y)K(X, dy).

Théorème 6.3(de Jirina). SoientX etY deux variables aléatoires réelles. Il existe alors une loi conditionnelle de Y sachant X.

7 Espaces produits et tribus produits

Nous complétons l’étude commencée dans le premier chapitre des tribus produits (Chapitres 1.1

& 4.1) qui peuvent être générées par des semi-algèbres (Chapitre 1.2) convenablements définies.

Exercice 7.1(Tribus produits). 1) SoientE un ensemble etA une algèbre de parties deE. Pour toute famille finie d’entiers i1, . . . , in distincts et toute famille Ai_k ∈A, 1≤k≤n, on définit le cylindre élémentaire

C=Y

j

Cj, Cj =Ai_k sij =ik, Cj=E sij /∈ {i1, . . . , in}.

L’ensemble des cylindres élémentaires forme une semi-algèbre de E^N, et donc l’ensemble des réunions finies de cylindres élémentaires forme une algèbre de parties de E^N. On appelle tribu produit de E^N la tribu engendrée par les cylindres, on la note A^⊗N.

2) Soit(E_t)_t∈T une famille d’ensembles indexée par un ensembleT d’indices (quelconque), chacun étant muni d’une algèbre At de parties de E_t. Pour tout J ⊂T sous-ensemble fini et A_t ∈ At, t∈J, on définit le cylindre élémentaire

C=Y

t∈T

C_t, C_t=A_t sit∈J, C_t=E_tsit /∈J.

L’ensemble des cylindres élémentaires forme une semi-algèbre de Q

t∈TEt, et donc l’ensemble des réunions finies de cylindres élémentaires forme une algèbre de parties de Q

t∈TEt. On appelle tribu produit de Q

t∈TEt la tribu engendrée par les cylindres, on la note ⊗_t∈TAt. On note donc (Q

t∈TEt,⊗_t∈TAt)l’espace mesurable produit.

Proposition 7.2. Si (En, dn) est une suite d’espaces métriques séparable, alors l’espace produit E = Q

nEn peut être muni de la distance d((xn),(yn)) = sup_n(dn(x, yn)∧2⁻ⁿ) et B(E) =

⊗n∈NB(En).

Proposition 7.3. Soient (E,A), (Ft,Bt)t∈T des espaces mesurables et f :E →Q

Ft. On note π_τ : QF_t → F_τ la projection canonique, i.e. π_τ((x_t)_t∈T) = x_τ. Alors f est mesurable si, et seulement si, lesπ_τ◦f sont mesurables pour toutτ ∈T. En particulier, toute fonctionf à valeurs dansCest mesurable si, et seulement si, <ef et=mf sont mesurables.

Preuve de la Proposition 7.3.Le sens direct est une conséquence immédiate de la Proposition 4.2 du Chapitre 1 et du fait que les projections canoniques πτ : (Q

Ft,⊗t∈TBt) → (Fτ,Bτ), x = (xt)t∈T 7→ πτ(x) = xτ sont mesurables. Afin de démontrer l’implication réciproque, on définit l’ensemble de parties

E :=Y

B_t;∃τ∈T, B_t=F_t∀t6=τ, B_τ ∈Bτ ,

qui satisfaitσ(E) =⊗Btd’après (une généralisation de) l’Exercice 1.11 du Chapitre 1. Pour tout B∈ E, en utilisant les notations introduites dans la définition deE, on af⁻¹(B) = (πτ◦f)⁻¹(Bτ) est mesurable, soit doncf⁻¹(E)⊂A. On conclut grâce à la Proposition 4.3 du Chapitre 1.

8 Suite de variables aléatoires

La dernière question que l’on se pose est celle de savoir exhiber une suite de var iid, ou même plus généralement, une suite de var indépendantes de lois prescrites. On se donne donc une suite de mesures(µn)sur(R,B(R)).

Commençons par un cas plus simple. Pour tout N ∈N^∗, on peut définir la “mesure produit” ν_N surR^N, par

νN :=

N

Y

i=1

µi,

donc l’existence est assurée par la théorie de Fubini-Tonelli. On construit alors une famille (Xn), 1 ≤n≤N, de var indépendantes telle queXn ∼µn de la manière suivante. On pose Ω :=R^N, A :=B(R^N),P:=νN, et Xn : Ω→R,Xn(ω) =ωn, la nième coordonnée deω = (ω1, . . . , ωN), puisqu’alors

P(Xn∈A) = Z

R^N

1x_n∈AdνN(x) = Z

R

1y∈Adµn(y) =µn(A).

Venons-en au cas d’une suite (dénombrable). La plus grosse difficulté est de construire la mesure de probabilité surR^N. On munitR^Nde la tribu produit définie comme la plus petite tribu engendrée par les tribus boréliennes sur chaque coordonnée. Sur l’algèbre des “cylindres”, c’est-à-dire, des ensembles de la forme

A:=A₁× · · · ×A_N ×R× · · · ×R×. . . , A_i∈B(R), on définit

µ^](A) :=ν_N(A∩R^N) =

N

Y

i=1

µ_i(A_i).

On applique le Théorème 1.3 de Carathéodory afin d’obtenir une mesure µ sur R^N qui coïncide avecµ^]sur l’algèbre des cylindres. On conclut de manière similaire au cas précédent.

Remarques. (1) La tribu sur R^N est également la tribu borélienne associée à la distance d(x, y) :=X

n=1

2⁻ⁿ(|xn−yn| ∧1), pour toutes suitesx= (xn), y= (yn)∈R^N.

(2) On introduit la suite (νN)de mesures de probabilités surR^Ndéfinies par νN(A) :=

N

Y

i=1

µi(A∩R^N).

Si on sait montrer que (νN) est tendue et que l’on étend le Théorème 5.1 de Prokhorov en une version valable surR^N, on en déduit l’existence d’une mesureµobtenue comme limite d’une suite extraite des(νN)... .