Intégrale de Lebesgue : introduction.

(1)

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∼

leborgne

Intégrale de Lebesgue, introdution

GillesLeborgne

14septembre2018

Table des matières

0 Rappels 3

0.1 Fontionsétagées . . . 3

0.2 Espaetopologique . . . 4

1 Ensembles, tribus etmesures 5 1.1 Tribus,espaesetensemblesmesurables,tribu borélienne . . . 5

1.2 Mesure,espaemesuré . . . 7

1.3 Propriétéessentielle:unemesureestmonotone . . . 9

1.4 Ensembles

µ

-négligeables,ensembledeCantor. . . 9

1.4.1 Ensembles

µ

-négligeables . . . 9

1.4.2 EnsembledeCantor . . . 9

1.5 Tribuétendue

A ^µ

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁰

1.6 Notionde

µ

^-presque^partout⁽

µ

^-p.p.) ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹¹

1.7 Fontionségales

µ

^-p.p. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹²

1.8 Fontionsnulles

µ

^-p.p.^(fontions

µ

-négligeables) . . . 13

2 Fontion

A

^-mesurable ¹⁴ 2.1 Dénition . . . 14

2.2 Fontionsontinues: mesurables . . . 15

2.3 Stabilitédel'ensembledesfontionsmesurables . . . 16

3 Intégration de fontions positives 16 3.1 Mesuredefontionsétagées . . . 16

3.2 Intégraledefontions

A

-mesurablespositives . . . 17

3.3 *Supportd'unefontion. . . 19

3.3.1 Supportd'unefontiondéniepartout . . . 19

3.3.2 Supportd'unefontiondéniepresquepartout . . . 20

3.4 *Supremumessentielet

|| . || ∞

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²¹

4 Espaes

L ¹

^et

L ¹

²² 4.1 Fontion

µ

^-mesurable ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²²

4.2 Fontions

µ

-intégrablesetespae

L ¹ (E, A , µ)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²²

4.2.1 Fontionsàvaleursréelles . . . 22

4.2.2 Fontionsàvaleursomplexes. . . 24

4.3 Critèred'intégrabilitépardomination . . . 24

4.4 Rested'uneintégrale . . . 24

4.5 Fontionsnégligeablesetsemi-normesur

L ¹ (E, A , µ)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²⁵

4.6 Espae

L ¹ (E, A , µ)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²⁶

4.7 Approximationd'unefontion

L ¹ (R)

^par^une^fontion^étagée ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²⁶

4.8 Convergenedans

C ⁰ (R) T L ¹ (R)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²⁷

4.9 Espae

L ¹ loc (R)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²⁷

5 Théorèmesde onvergene 27 5.1 ThéorèmedeBeppoLévi(oudeonvergenemonotone) . . . 28

5.2 LemmedeFatou . . . 30

5.2.1 Rappel:

lim inf

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³⁰

5.2.2 LemmedeFatou . . . 31

5.3 Convergeneenmoyennepourlamesure

µ

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³²

5.3.1 Convergeneenmoyenne . . . 32

5.3.2 Convergeneenmoyennevsonvergene

µ

^-presque^partout ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³³

5.4 ThéorèmedeLebesgue(deonvergenedominée) . . . 33

(2)

5.4.1 Lethéorème. . . 33

5.4.2 Exemples . . . 35

5.4.3 Laprimitived'unefontion

L ¹

^est^ontinue ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³⁶

5.5 Continuitéd'uneintégraledépendantd'unparamètre. . . 37

5.6 Dérivationd'uneintégraledépendantd'unparamètre. . . 39

5.7 Appliationauxloisdeonservationenméanique . . . 41

6 Théorème de Fubini 43 7 Espaes

L ²

^et

L ²

⁴⁴ 8 Espaes

L ^p (I)

^et

L ^p (I)

⁴⁵ 8.1 Dénition . . . 45

8.2 Inégalitéd'Young. . . 46

8.3 Inégalitéd'Hölder. . . 46

8.4 InégalitédeMinkowski. . . 47

8.5 *Complément:omplétudeetséparabilité . . . 47

8.6 *FontionsLebesgue-mesurableset fontionsenesalier . . . 49

8.6.1 Mesureextérieure . . . 49

8.6.2 Sous-additivité . . . 49

8.6.3 OuterRegularity . . . 50

8.6.4 LittlewoodFirstPriniple . . . 51

8.6.5 Approximationd'unefontion

L ¹ (R)

^parûne^fontionênêsalier ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁵¹

9 Changementde variablesdans lesintégrales dans

R ⁿ

⁵¹ 9.1 Volumed'unouvert . . . 51

9.2 Formuledehangementdevariables . . . 52

9.3 Verslamesureimage . . . 53

9.4 Mesureimage . . . 54

9.4.1 Rappel:dénition de

f ⁻ ¹

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁵⁴

9.4.2 Dénition delamesureimage . . . 54

9.4.3 Propriétés . . . 55

9.4.4 Formuledehangementdevariablesdanslesintégrales . . . 56

A Annexe: ardinaux

ℵ ⁰

^et

ℵ ¹

⁵⁶

B Annexe: fontionexponentielle etsuitenumérique 57

(3)

0 Rappels

Soit

E

ûnênsembleêt

P (E)

^l'ensemble^dessous-ensemblesde

E

^(don

A ∈ P (E)

^ssi

A ⊂ E

^).

0.1 Fontions étagées

Dénition 0.1 Soit

A ⊂ E

^.Ônâppelle^fontionîndiatrie^de

A

^(ou^fontionaratéristiquede

A

⁾^la^fontion

1 A : E → R

^dénie^par^:

1 A (x)

( = 1

^si

x ∈ A,

= 0

^si

x 6∈ A.

^(0.1)

(Noterqu'enoptimisationlafontionaratéristiquede

A

^est^la^fontion

χ A

^dénie^par

χ A (x) = 0

^si

x ∈ A

^,^et

χ A (x) = ∞

^si

x 6∈ A

^.)

Dénition 0.2 Unefontion

f : E → R

^est ^étagée^(is^a^simple^funtion)^ssi

f

êst ûneômbinaison^linéaire^de

fontionsindiatriesd'ensembles:

∃ n ∈ N ^∗ , ∃ (c i ) i=1,...,n ∈ R ⁿ , ∃ (A i ) i=1,...,n ∈ P (E) ⁿ , f = X n i=1

c i 1 A i .

^(0.2)

(Iilesensembles

A i

^ne^sont^pasnéessairementdisjoints.)

Exemple 0.3 Lafontion

1 Q : R → R

^est ^étagée^(prendre

n = 1

^,

c 1 = 1

^et

A 1 = Q

^).

Dénitionéquivalente:

Dénition 0.4 Unefontion

f : E → R

^est^dite^étagée^ssi^son^image

Imf

êstûnênsembleⁿⁱ^:îlêxiste

n ∈ N ^∗

et

(c i ) i=1,...,n ∈ R ⁿ

^t.q.

Imf = { c 1 , ..., c n }

^.^Don, ^notant^alors

A i = f ⁻ ¹ (c i ) = { x ∈ E : f (x) = c i }

^, ^la^fontion

f

^est ^étagée^ssi^:

f = X n i=1

c i 1 A i (=

X n i=1

c i 1 f ⁻¹ (c i ) ).

^(0.3)

Remarque 0.5 Rappel:dans

R

ûne^fontionênêsalier,ûtilisée^pourl'intégraledeRiemann,estunefontion

f

^ombinaison^linéaire^de^fontions^indiatriesd'intervallesdelongueurnonnulle:

∃ n ∈ N ^∗ , ∃ (a i , b i , c i ) i=1,...,n ∈ R ³ⁿ

^t.q.

∀ i ∈ [1, n] N , a i < b i , f = X n i=1

c i 1 (a i ,b i ) ,

^(0.4)

où

(a i , b i )

^désigneûnîntervalleôuvertôu^ferméôusemi-ouvert.

Lafontion

1 Q

êst^étagée^mais^n'est^pasênêsalier.

Pourl'intégraledeLebesguelesfontionsenesaliernesontpassusantes:pour

f : R → R

^on^aura^besoin

desimagesréiproques

f ⁻ ¹ (J)

^où

J

êstûnîntervalle^de

R

^.^Enpartiulier,onaurabesoindes

1 ⁻ _A ¹ (J )

^(alors^que

l'intégraledeRiemannestbaséesurlesimagesdiretesdes

1 A (I)

^où

I

êstûnîntervalle^de

R

^).

Proposition0.6 Si

f : E → R +

êstûne^fontion^à^valeurs^positives,âlorsîlêxisteûne^suite^roissante

(f n ) n ∈ N ^∗

defontionsétagéesqui onvergesimplementvers

f

^:

∀ x ∈ E, lim

n→∞ f n (x) = f (x).

Soit:

∀ x ∈ E

^,

∀ ε > 0

^,

∃ N ∈ N

^,

∀ n ≥ N

^,

| f n (x) − f (x) | < ε

^.^Idem^pour

f

^de^signe^quelonque.

Si

f

êst ^bornéeâlors^laônvergeneêst ûniforme⁽

|| f − f n || ∞ _n −→

→∞ 0

^,^où

|| g || ∞

déf

= sup

x∈E | g(x) |

^).

Preuve. Cas

f ≥ 0

^:^pour

n ∈ N ^∗

^et

i = 1, ..., n2 ⁿ

^on^pose^:

B n,i = f ⁻ ¹ ([ i − 1

2 ⁿ , i

2 ⁿ [) = { x : i − 1

2 ⁿ ≤ f (x) < i

2 ⁿ } , F n = f ⁻ ¹ ([n, ∞ [) = { x : f (x) ≥ n } ,

^(0.5)

et ainsi

(

n2 [ ⁿ

i=1

B n,i ) [

F n

^est^une ^partition^de

E

^.^Puis^on^dénit ^les^fontions^étagées

f n

^par^:

f n =

n2 ⁿ

X

i=1

i − 1

2 ⁿ 1 B n,i + n1 F n (=

n2 ⁿ

X

i=2

i − 1

2 ⁿ 1 B n,i + n1 F n ).

^(0.6)

Faireundessin.Ilestimmédiatque

f n ≤ f

^,^que

F n+1 ⊂ F n

^,^et^que^:

pour

j = 2i − 2, 2i − 1, 2i, i − 1

2 ⁿ ≤ j − 1

2 ⁿ⁺¹ , B n+1,j ⊂ B n,i ,

^(0.7)

et don

f n (x) ≤ f n+1 (x)

^pour^tout

x ∈ E

^:^la^suite

(f n )

^est^roissante^majorée^par

f

^.

(4)

Soit

x ∈ E

^t.q.

f (x) < ∞

^.^Soit

n

^tel^que

f (x) < n

^,^puis^le

i ∈ [1, n2 ⁿ ] N

^t.q.

i − 1

2 ⁿ ≤ f (x) < ₂ ⁱ n

^:^don

x ∈ B n,i

et :

f n (x) = i − 1

2 ⁿ ≤ f (x) < i

2 ⁿ .

^(0.8)

Don

| f (x) − f n (x) | < ₂ ¹ n

^.^Et^si

f (x) = ∞

^on^a

s n (x) = n −→ ⁿ →∞ ∞

^.^Don

(f n )

^onverge^simplement^vers

f

^.

Cas

f

^de ^signe^quelonque ^: ^on ^a

f = f + − f ₋

^où

f +

^et

f ₋

^sont ^les^fontions ^positives ^dénies ^par

f + = sup(f, 0)

^et

f ₋ = − min(f, 0)

^; ^on^onstruit ^les^suites

(f n+ )

^et

(f _n− )

âssoiés,êt ôn^pose

f n = f n+ − f _n−

^.^La

suite

(f n )

^onvient.

Cas

f

^bornée

≥ 0

^. ^Notons

C = || f || ∞ = sup _x _∈ _E | f (x) |

^. ^Alors ^pour ^tout

n > C

^on ^a

F n = ∅

^, ^et ^don

f n = P n2 ⁿ

i=1 i− 1

n 1 B n,i

^pour ^tout

n > C

^. ^Don^pour ^tout

x ∈ E

^on ^a

| f (x) − f n (x) | < ₂ ¹ n

^dès ^que

n > C

^, ^par

dénition des

B n,i

^.^D'où

|| f − f n || ∞ −→ n→∞ 0

^.^Cas

f

^signe^quelonque^: ^démarhe^préédente.

Exerie 0.7 Soit

f = 1 Q : R → R

^la^fontion^indiatrie^de

Q

^l'ensemble^desrationnels.Quevalent

F n

^et ^les

B n

^dans^la^preuve^préédente,^et^que^vaut^don

f n

^?

Réponse.(Lafontion

1 Q

êst^déjàûne^fontion^étagée âu^sens^de^la^dénition^{0.2 .)}

Pour

n ≥ 2

^,

F n = ∅

^et

B n,i = ∅

^sauf

B n,1 = { x : 0 ≤ 1 Q (x) < ₂ ¹ n } = R − Q

^et

B n,2 ⁿ +1 = { x : 1 ≤ 1 Q (x) < ² ⁿ ₂ ⁺¹ n } = Q

^.

Don

f n = 1 Q

^pour^tout

n

^.

Exerie 0.8 Soit

A, B ∈ P (E)

^.^Montrer^:

1 _A∪B = 1 A 1 B

^ssi

A = B

^.

Réponse.Ona

1 A 1 B = 1 A ∩ B

^ar

1 A (x)1 B (x) = 1

^ssi

x ∈ A

^et

x ∈ B

^.

Don

1 A∪B = 1 A 1 B

^ssi

A ∪ B = A ∩ B

^.

Et

A ∪ B = A ∩ B

^ssi

A ⊂ A ∩ B

^et

B ⊂ A ∩ B

^,^ssi

A ⊂ B

^et

B ⊂ A

^,^ssi

A = B

^.

0.2 Espae topologique

Soitunensemble

E

^.

Dénition 0.9 Unetopologiesur

E

êst ûnênsemble

O ⊂ P (E)

^(desous-ensemblesde

E

⁾^tel^que^:

1.

∅

^et

E

^sont^éléments^de

O

^,

2.

O

^est ^stable^par intersetionnie,i.e., pourtout

n ∈ N ^∗

^et ^pour^toute^famille ^(nie)

(U i ) i=1,...,n ∈ O ⁿ

ona

T n

i=1 U i ∈ O

^,

3.

O S

êst^stable^parûnion^quelonque,î.e.,^pour^toute^famille

(U i ) _i∈I

^où

I

êstûnênsemble^quelonqueônâ

i ∈ I U i ∈ O

^.

Leséléments

U

^de

O

^sont^appelé ^les^ouverts^de

E

^(ou^les^ensembles^ouverts^dans

E

^).

Leouple

(E, O )

êstâppeléêspaetopologique.

Exemple 0.10 Topologie

O ^R

^usuelle ^de

R

^: ^elle ^engendrée^par ^lesintervalles ouverts

]a, b[

^pour

a < b

^. ^Elle

est appeléetopologieborélienne, outopologieusuelle.Et parexemple

U i =] − ¹ _i , 1[

^donne

T _∞

i=1 U i = [0, 1[

^qui

n'estpasouvert: d'où2.dansladénition0.9.

Exemple 0.11 Topologieusuellede

R ²

^: êlleêngendrée ^par^les^retanglesôuverts

]a, b[ × ]c, d[

^pour

a < b

^et

c < d

^(les^pavésôuverts).Êlle êst^égalementâppelée ^topologieborélienne, outopologieusuelle. Idemdans

R ⁿ

àl'aidedespavésouverts.

Exemple 0.12 Pourtoutensemble

E

^,

O = {∅ , E }

êstûne^topologieâppelée^la^topologie^grossière.Ôn^l'exlura

denotreétude.

Exemple 0.13 Pourtoutensemble

E

^,

O = P (E)

êstûne^topologieâppelée^la^topologie^disrète.Ûtilisée^pour

lamesuredeDira,lamesuredeomptage,lesprobabilitésdisrètes...

Dénition 0.14 Si

(E, O ^E )

^et

(Z, O ^Z )

^sont^deux ^espaes topologiques, une appliation

f : E → Z

^est ^dite

ontinuessil'imageréiproquedetoutouvertde

Z

êstûnôuvert^de

E

^,^i.e.^ssi

∀ V ∈ O Z

^on^a

f ⁻ ¹ (V ) ∈ O E

^.

Dénition 0.15 Soit

I

^un^ensemble, ^soit

(A i ) _i∈I

^une^famille^desous-ensemblesde

E

^, ^et^soit

F = S

I A i ⊂ E

^.

Latopologieengendréeparlafamille

(A i ) _i∈I

^est^la^plus^petite^des^topologies^sur^l'ensemble

F

^pour^laquelle^les

A i

^sont^ouverts^(i.e.l'intersetiondetouteslestopologiespourlesquelles les

A i

^sont^ouverts).

(5)

Exerie 0.16 Soit

(A i ) i ∈ I

E

^ontenant

∅

^,^et^soit

O ^F

^la^topologie^engendrée

par

(A i ) i ∈ I

^dans

F = S

I A i

^.^Montrer^que

U ∈ O ^F

^ssi

U

êst ûneûnion^quelonque d'intersetionniede

A i

^.

Réponse.Soit

G = { B ⊂ E : ∃ n ∈ N, ∃ (i k ) k=1,...,n ∈ I ⁿ , B = T n

k=1 A i _k }

^l'ensemble^onstitué^de^toutes^lesintersetions nies de

A i

^, ^et^soit

H = { Z ⊂ E : ∃ J

^ensemble

, ∀ j ∈ J, ∃ B j ∈ G, Z = S

j ∈ J B j }

^l'ensemble^onstitué^des ^unions

quelonquesd'élémentsde

G

^.

Ils'agitdemontrerque

O ^F = H

^.

⊃

^:^soit

Z ∈ H

^;^don

Z = S

j ∈ J B j

^où

B j = T ⁿ j

k=1 A i _k

^pour^tout

j

^.^Don

B j ∈ O ^F

^pour^tout

j

(intersetion nie), don

Z ∈ O ^F

^(unionquelonque).Don

H ⊂ O ^F

^.

⊂

^:^montrons^que

H

êstûne^topologie^:^si^'est^leâs,ômmeêlleôntient

F

^,^elle^ontient^la^plus^petite^des^topologies

engendrées,don

H ⊃ O ^F

^.

Ona

∅ ∈ H

^par^hypothèse.^Comme

F = S

I A i

^,^on^a

F ∈ H

^.Îlêstîmmédiat^que

H

^est^stable^par^union^quelonque

puisqu'uneunionquelonqued'unionquelonquesestenoreuneunionquelonque.Ilresteàmontrerque

H

^est^stable

par intersetion nie. Soient

Z = S

α ∈ J ₁ B α

^et

Y = S

β ∈ J ₂ C β

^deux ^éléments ^quelonques ^de

H

^, ^les

B α

^et ^les

C β

étant desintersetionsniesde

A i

^.^Comme^l'union ^etl'intersetion sont distributivesl'une parrapportàl'autre,ona

Z ∩ Y = ( S

α ∈ J ₁ B α ) T ( S

β ∈ J ₂ C β ) = S

(α,β)∈ J ₁ × J ₂ (B α T C β )

^qui êst^bien ûneûnion^quelonque d'intersetions nies.

Pourunnombrenid'intersetion,onfaituneréurreneimmédiate.

Exerie 0.17

O ^R

^étant^la^topologie^(usuelle)^engendrée^par^lesintervallesouvertsde

R

^,^on^déduit^de^l'exerie

préédentquetoutouvertestuneunionquelonqued'intervallesouverts.Eneet,uneintersetionnied'inter-

valles estunintervalle:soit

X =]a 1 , b 1 [ ∩ ]a 2 , b 2 [

^.^Si

a 1 ≤ a 2

^,^on^a^soit

b 1 ≤ a 2

^et^alors

X = ∅

^,^soit

a 2 ≤ b 1 ≤ b 2

et alors

X =]a 2 , b 1 [

^,^soit

b 2 ≤ b 1

^et ^alors

X =]a 1 , b 1 [

^. ^Et^idem^si

a 2 ≤ a 1

^.^Et^réurrene^immédiate.

Exerie 0.18

O ^R

^étant^la^topologie^(usuelle)^engendrée^par^lesintervallesouvertsde

R

^,^on^a^mieux^:^montrer^:

si

U ∈ O ^R

^(un^ouvert), ^alors

U

êst ûneûniondénombrable(unique)d'intervallesouvertsdisjoints.

Réponse.Soit

x ∈ U

^.^Comme

U

êstôuvertêt^lesintervallesouvertsformantunebasedevoisinage,ilexisteunintervalle ouvertinlusdans

U

^ontenant

x

^.^Notons

]a x , b x [

^le^plus^grand^intervalle^ouvert^dans

U

^ontenant

x

^,^où

a x , b x ∈ R

^.^D'où

U = S

x ∈ U ]a x , b x [

^(en ^partiulier^si

U

êstônnexe âlors

U

^est ^onstitué^d'un^seul intervalle). Etdanshaque

]a x , b x [

^,

∃ q x ∈ Q

^t.q.

q x ∈ ]a x , b x [

^,^ave immédiatement

I q x = I x

^.^Don

U = S

q _x ∈ U I q x

^.^Comme

Q

^est dénombrable, l'unionest auplusdénombrable.Etparonstrutionlesouvertssontdisjoints.Etl'uniitéd'unetelleunionestimmédiate.

Exerie 0.19 Malheureusement le résultat préédent ne tient pas dans

R ²

^(et ^plus généralement dans

R ⁿ

pour

n ≥ 2

⁾ ^au^sens ^:^les ^pavés^ouverts

]a 1 , b 1 [ × ]a 2 , b 2 [

^de

R ²

^engendrent^la^topologie^usuelle ^de

R ²

^, ^mais ^un

ouvertde

R ²

^n'est^pas^une ^uniondénombrablede pavésouverts(nondégénérés) disjoints.Lemontrer pourle erleunité.(Puis voirl'exeriesuivant.)

Réponse. Soit

D = { ~x : || ~x || ² < 1 }

^.^Supposons^qu'ilêxisteûneûnion

S

N ^∗ P i

^onstituée^de^pavés^ouverts^disjoints^non

dégénéréstelle que

S

N ^∗ P i = D

^. ^Notons

P 1 =]x 1 , x 2 [ × ]y 1 , y 2 [

^,^ave

(x 2 − x 1 )(y 2 − y 1 ) 6 = 0

^ar

P 1

^non^{dégénéré.} Êtônâ

(x 1 , ^y ¹ ^+y ₂ ² ) ∈ / P 1

^(ar

P 1

êstôuvertêt

(x 1 , ^y ¹ ^+y ₂ ² )

^est^sur^son^bord,^dessin),^ave

(x 1 , ^y ¹ ^+y ₂ ² ) ∈ D

(stritementonvexe), et

D = S

N ^∗ P i

^,^don

∃ k ∈ N ^∗

^,

k > 1

^,

(x 1 , ^y ¹ ^+y ₂ ² ) ∈ P k

^.^Ave

P 1 ∩ P k 6 = ∅

^(union^disjointe)^don

(x 1 , ^y ¹ ^+y ₂ ² )

^sur^le^bord

de

P k

^,^don^non^dans

P k

^(ouvert).^Absurde.

Exerie 0.20 Dénition :Soit

(F i = [a i , b i ]) i ∈ I

^une^familled'intervallesfermést.q.

a i < b i

^pour^tout

i

^.^Cette

familleestditepresquedisjointessilesintervallesouverts

]a i , b i [

^sont^deux ^à^deux^disjoints.

Montrer que si

U ∈ O ^R

^(i.e.

U

êst ûn ôuvert), âlors îl êxiste ûne ^famille dénombrable

(F i = [a i , b i ]) i ∈ N ^∗

presquedisjointed'intervallesfermést.q.

U = S

i ∈ N ^∗ F i

^.Êtêtte^propriétéêstônservée^dans

R ⁿ

^où^les

F i

^sont

despavés.

Réponse.Onpave

R ⁿ

^par^les^pavés^ubiques

[a 1 , a 1 +q] × ... × [a n , a n +q]

^où^les

a i

^sont^des^multiples^de

2 ⁻ ^m

^et

q = 2 ⁻ ^m

(pavésdevolume

2 ⁻ ^m ) ⁿ

^).^(Voir^par^exemple^Rudin^{[17 ℄}^p.^48.)

1 Ensembles, tribus et mesures

1.1 Tribus, espaes et ensembles mesurables, tribu borélienne

Soit

E

^un^ensemble.^Pour

A ⊂ E

^,^on^note

A ^C = E − A

^leomplémentairede

A

^dans

E

^.

Dénition 1.1 Étant donné unensemble

E

^, ^une ^tribu ^(ou

σ

^-algèbre) êst ûnênsemble

A ⊂ P (E)

^de^parties

de

E

^tel^que^:

1.

∅

^et

E

^sont^éléments^de

A

^,

2.

A

^est^stable ^paromplémentation,i.e.,si

A ∈ A

^,^alors

A ^C ∈ A

^.

3.

A

êst ^stable ^par ûnion êt intersetion dénombrable, i.e. si

(A i ) _i∈ N ^∗ ∈ A ^N ^∗

^, ^alors

T

i ∈ N ^∗ A i ∈ A

^et

S

i ∈ N ^∗ A i ∈ A

^,

(6)

Remarque 1.2 Dansladénitionpréédente,ilyadesredondanes:unedénitionminimaleéquivalenteest

(i)

E ∈ A

^,⁽ⁱⁱ⁾^stabilité^paromplémentation,(iii)stabilitéparuniondénombrable.Eneet(ii)et(i)impliquent

E ^C = ∅ ∈ A

êt⁽ⁱⁱ⁾êt ⁽ⁱⁱⁱ⁾împliquent

( S

i ∈ N ^∗ A i ) ^C = T

i ∈ N ^∗ A ^C _i ∈ A

^.

Dénition 1.3 Un ensemble

E

^muni ^d'une ^tribu

A

ônstitue ûn êspae ^mesurable ^noté

(E, A )

^(espae ^sur

lequelonvapouvoironstruiredesmesures).

Etlesensembles

A ∈ A

^sont^appelés^les^ensembles^mesurables^de

E

^.

Exemple 1.4 Pour

E

^ensemble^quelonque,

A = {∅ , E }

êst ûne^tribuâppelée^tribu^grossière

Exemple 1.5 Pour

E

^ensemble^quelonque,

A = P (E)

êstûne ^tribuâppelée ^tribu^disrète^(elleôntient^tous

lessingletons

{ x }

^pour

x ∈ E

^).

Exemple 1.6 Soit

E

ûn ênsemble ^quelonque ôntenant âu ^moins ^deux ^éléments. ^Soit

A ⊂ E

^. ^Alors

A = {∅ , A, A ^C , E }

^est^une ^tribu(importanteenprobabilités).

Exerie 1.7 Montrerquesi

A, B ∈ A

^,^alors

B − A ∈ A

^.

Réponse.

B − A = B T A ^C

^.

Proposition1.8 Uneintersetionquelonquedetribus de

E

^est ^une^tribu^de

E

^.

Preuve. Unélémentdel'intersetionappartientàtouteslestribus etdonvérie1.,2.,3.

Dénition 1.9 Soit

F = (A i ) _i∈I

E

^,^où

I

êstûnênsemble^quelonque^(dénom-

brableounon).L'intersetiondetouteslestribusontenant

(A i ) i ∈ I

êstâppelée^tribuêngendrée^par^la^famille

(A i ) i ∈ I

^,^souvent^notée

σ(F)

⁽

σ

^-algèbre^engendrée^par^la^famille

F

^).

Voirplusloinremarque1.13poursaonstrution.

Dénition 1.10 Si

(E, O )

êst ûnêspaetopologique,onappelletribuboréliennelatribu

σ( O )

^engendrée^par

lesouvertsde

E

^('est^la^plus^petite^tribu^ontenant^la^topologie

O

^,^ou^enore,^'estl'intersetiondetoutesles tribus quiontiennentlatopologie

O

^).

Lesélémentsdelatribu borélienne sontappeléslesboréliens.

Exemple 1.11 Caspartiulierdulangage: latribuborélienne de

R

^est ^la^tribu^engendrée ^par^lesintervalles ouverts.Dondans

R

^,^l'usage^du^mot^tribu^borélienne^indique^que

R

^a^étépréalablementmunidesatopologie usuelle, elleengendréeparlesintervalles ouverts.

Onvérieimmédiatementquelesintervallesouverts,fermés,semi-fermés,bornésounon,sontdanslatribu

borélienne(enpartiulier,lesensembles

A

^réduit^à^un^point,

A = { x } = [x, x]

^,^sont^dans^la^tribuborélienne).On notera

A ^R

^la^tribuborélienne.Etonvoitque'estégalement,parexemple,latribuengendréeparlesintervalles

] − ∞ , b[

^pour

b ∈ R

^.

(Latribuborélienne eststritementinluse dans

P (E)

^,^voir^remarque^1.39.)

Proposition1.12 (Tribu par restrition.) Soit

(E, A ^E )

^un ^ensemble ^mesurable, ^soit

F ⊂ E

^, ^et ^soit

A ^F = { A ∩ F : A ∈ A ^E }

^.^Alors

A ^F

^est ^une^tribu^sur

F

^,^et

(F, A ^F )

êstûnênsemble^mesurable.

Preuve. 1- On a

A = ∅ ∈ A ^E

^, ^don

∅ ∩ F = ∅ ∈ A ^F

^. ^2- ^Soit

B ∈ A ^F

^, ^don

B = A ∩ F

^ave

A ∈ A ^E

^.

On a

A ^C ∈ A ^E

^(tribu), ^don

F − B = F − (A ∩ F) = F ∩ A ^C ∈ A ^F

^: ^le omplémentaire de

B

^dans

F

appartient à

A ^F

^. ^3- ^Soit

(B i ) N ^∗

^une ^famille ^dans

A ^F

^. ^Don

B i = A i ∩ F

^pour ^tout

i

^où

A i ∈ A ^E

^, ^don

S n

i=1 B i = S n

i=1 (A i ∩ F ) = ( S n

i=1 A i ) ∩ F ∈ A ^F

(distributivité).

Remarque 1.13 Laonstrutiond'une tribuengendrée

σ(Z )

^par^une ^famille

Z = (A i ) _i∈I

^desous-ensembles de

E

^n'est ^pas âussi ^simple ^que êlle ^de ^la ônstrution ^d'une ^topologie êngendrée ^par êtte ^même ^famille,

f. exerie 0.16. Cette onstrution peut être faite par réurrene transnie (ou indution transnie ou

onstrutiontransnie).

Exemplepourlatribuboréliennede

R

^on^a

Z = O

^l'ensemble^des^ouverts.^Les^étapes^sont^:

0-si

Z

^est ^une ^famille d'ensembles, onnote

Z σ

^l'ensemble ^des ^unions dénombrableset

Z δ

^l'ensemble ^des

intersetionsdénombrables.

1-Soit

Z 0 = { A ⊂ R : A ∈ O

^ou

A ^C ∈ O}

^l'ensemble^des^ouverts^et^des^fermés⁽

= O S ( O ) ^C

^).

2-Soit

Z 1 = (Z 0 ) σ S

(Z 0 ) δ

^et ^par^réurrene

Z n+1 = (Z n ) σ S (Z n ) δ

^.

3-Onmontreque

σ(Z) = S _∞

n=1 Z n

^,î.e.^que ^tout^élément^de^la^tribu âppartient^àûn

Z n

^(quitte ^à^prendre

n

^susamment ^grand) ^: ^le ^sens

⊃

^est ^immédiat. ^Le ^sens

⊂

êst ^moins îmmédiat ^: îl ^s'agit ^de ^montrer ^que

(7)

Z _∞ = S _∞

n=1 Z n

êst^bien ûne^tribu ^:îlêst îmmédiat^que ^touteâutre^tribuôntenant

O

^doit^ontenir

Z _∞

^.^Tout

d'abordilestnonvidearontient

Z 0 ⊃ O

^.

Lastabilitéparpassageauomplémentaire:si

A ∈ Z _∞

âlorsîl êxiste

n ∈ N

^tel^que

A ∈ Z n

^.^Montrons^que

A ^C ∈ Z n

^(don

∈ Z _∞

⁾^:^'est^vrai^pour

n = 0

^par^onstrution^de

Z 0

^.^Supposons^que^e^soit^vrai^pour

n − 1

^(i.e.

si

B ∈ Z _n− 1

^alors

B ^C ∈ Z _n− 1

^).^Si

A ∈ Z n

^alors

A

^est^de^la^forme

A = ( S

N B i ) S ( T

N C j )

^où^les

B i , C j ∈ Z _n− 1

^,

don

A ^C = ( S

N B i ) ^C T ( T

N C j ) ^C = ( T

N B _i ^C ) T ( S

N C _j ^C ) ⊂ ( T

N B _i ^C ) S ( S

N C _j ^C ) ∈ (Z _n− 1 ) δ S

(Z _n− 1 ) σ = Z n

^:

onabien

A ^C ∈ Z n

^.

Lastabilité paruniondénombrable:soit

(A i ) _i∈ N

^une^familledénombrabledans

Z _∞

^.^Notons

α i ∈ N

^tel^que

A i ∈ Z α i

^.Ônââlors

S _∞

i=0 A i ∈ S _∞

i=0 Z α i ⊂ Z _∞

^.

1.2 Mesure, espae mesuré

Soit

(E, A )

^un^ensemble^mesurable.

Dénition 1.14 Une mesure positive (ou plus simplement une mesure) sur la tribu

A

êst ûne âppliation

positive

µ :

( A → R + = [0, ∞ ],

A → µ(A),

^(1.1)

nonnulle telleque:

1.

µ( ∅ ) = 0

^,

2.

µ

^est

σ

^-additive ^(propriété d'additivité dénombrable), i.e., pour toute famille dénombrable

(A i ) i ∈ N ^∗

d'ensemblesmesurables2à2disjointsona

µ( S

i ∈ N ^∗ A i ) = P _∞

i=1 µ(A i )

^:

si

(A i ) i ∈ N ^∗ ∈ A ^N ^∗

^et^si,

∀ i, j ∈ N ^∗ , A i

\ A j = ∅ ,

^alors

µ( [

i ∈ N ^∗

A i ) = X ∞ i=1

µ(A i ).

^(1.2)

3.

E

^est ^réunion dénombrabled'éléments de

A

^de ^mesure^nie, ^i.e.,

E = S _∞

i=1 A i

^ave

µ(A i ) < ∞

^pour

tout

i ∈ N ^∗

^.

Et

µ(A)

^est^appelée^la^mesure^de^l'ensemble^mesurable

A ∈ A

^.

Dénition 1.15 Un espae mesurable

(E, A )

^muni ^d'une ^mesure

µ

^est ^noté

(E, A , µ)

^, êt êst âppelé êspae

mesuré.

Cas partiulier : si

µ(E) = 1

^, ^alors

µ

^est ^appelée ^mesure ^de probabilité, et

(E, A , µ)

êst âppelé êspae

probabilisé.

A 1 , A 2 ∈ A

^sont^disjoints^alors

µ(A 1 ∪ A 2 ) = µ(A 1 ) + µ(A 2 )

^.^En^déduire^que^2.

implique1.(don1.estredondantdansladénition1.14).

Réponse.Onprend

A 3 = A 4 = ... = ∅

^dans^2.

Puissoit

A 1 ∈ A

^t.q.

µ(A 1 ) < ∞

^.^Un^tel

A 1

êxisteârûne^mesure^vérie^3..Êt

A 2 = ∅ ∈ A

^.^Et

A 1

^et

∅

^sont^disjoints

(

A 1 ∩ ∅ = ∅

^).^D'où

µ(A 1 ) = µ(A 1 ∪ ∅ ) = µ(A 1 ) + µ( ∅ )

^,^d'où

µ( ∅ ) = 0

^.

A, B ∈ A

^et

A ⊂ B

^,^alors

µ(A) ≤ µ(B)

^.

Réponse.

B = A S (B − A)

^ave

A T (B − A) = ∅

^.

Exemple 1.18 Pour

E = R

^muni^de ^sa^tribu borélienne, lamesureusuelle

µ ℓ

^, ^dite^mesure ^de ^Lebesgue, ^est

dénie par,pourtout

a, b ∈ R

^t.q.

a ≤ b

^:

µ ℓ ([a, b]) = b − a (

^la^longueur^de

[a, b]).

^(1.3)

En partiulier

µ ℓ ([a, a]) = 0 = µ ℓ ( { a } )

^pour^tout

a

^:^on^dit^que

µ ℓ

êstûne^mesure^diuse ^(ou^sansâtome).

µ ℓ

dénie àl'aidede(1.3)est-elleune mesuresur

T ^R

^?

Lepoint3.deladénition1.14estimmédiat :

R = S

n∈ Z [n − 1, n]

^.

Pourlepoint1.,néessairement

µ ℓ ( ∅ ) = 0

^(ompatible ^ave

∅ ⊂ { a }

^).^On ^doit^avoir

µ ℓ ([a, b]) = µ ℓ ( { a } ) + µ ℓ (]a, b])

^pour^tout

a < b

^,^don

µ ℓ (]a, b]) = b − a

^.^Idem

µ ℓ (]a, b[) = b − a

^pour^tout

a < b

^.^Don

µ ℓ

^est^déni^sur

latopologieusuellede

R

^(dénie^sur^tous^les^ouverts).

Onadmetque

µ ℓ (A)

êstâlors^bien^déni^sur^toutênsemble^mesurable

A ∈ A ^R

^.^Le^point^2.^de^la^dénition^1.14

est égalemntadmis. VoirparexempleMuthukumar[10℄,Rudin[17℄,Villani[18℄...(Le8.6donneuneidéede

ladémonstrationàl'aidedelamesureextérieure).

Ainsil'espae

(R, A , µ ℓ )

êstûnêspae^mesuré.

(8)

Exemple 1.19 Surlatribu

A = {∅ , E }

^,^la^fontion

µ

^dénie ^par

µ( ∅ ) = 0

^et

µ(E) = 1

^est ^une^mesure.

En revanhe, toujourssur

A = {∅ , E }

^,^la^fontion^dénie ^par

µ( ∅ ) = 0

^et

µ(E) = ∞

^n'est ^pas^une^mesure

(lepoint3.n'estpassatisfait).

Exemple 1.20 (MesuredeDira

µ = δ x

⁾^Soit

E

^un^ensemble^muni^de^sa^tribu^disrète

A = P (E)

^, ^et^soit ^un

point

x ∈ E

^.^Pour

A ∈ A

^on^pose^:

δ x (A)

( = 1

^si

x ∈ A,

= 0

^si

x 6∈ A,

^i.e.

δ x (A) = 1 A (x),

^(1.4)

où

1 A

^est^la^fontion^indiatrie^de

A

^,^f.^(0.1).^On^vérie^que

µ = δ x

êst^bienûne^mesure^:^le^point^3.êst^donné

par

δ x (E) = δ x ( { x } ) = 1

^.^Le ^point ^2.^est ^donné^par ^: ^si

(A i ) N ^∗

^est ^une ^familled'ensembles mesurables2à 2 disjoints,alorsunauplusdes

A i

^ontient

x

^.

Comme

δ x ( { x } ) = 1

^,^la^mesure

δ x

^n'est^pas^une ^mesure^diuse ^(la^mesure^d'un^singleton^n'est^pas^nées-

sairementnulle),ontrairementàlamesuredeLebesgue.

Exemple 1.21 (Mesuredeomptage) Onprend

E = (x i ) i ∈ N ^∗

^un^ensembledénombrableet

A = P (E)

^(tribu

disrète).Onpose:

µ = X ∞ i=1

δ x i ,

^i.e.

∀ A ∈ A , µ(A) = X ∞ i=1

1 A (x i ).

^(1.5)

µ(A)

^ompte ^le^nombre^de^points

x i

^dans

A

^.^On^vérie^que^'est^une ^mesure.

Exemple 1.22 (Mesureatomique)Onprend

E

ûnênsemble^quelonqueêt

A = P (E)

^.^On^se^donne^une^suite

(x i ) i ∈ N ^∗

^de^points^de

E

^,^et ^une^suite

(λ i ) i ∈ N ^∗

^de^réels,^et^on^pose

µ = X ∞ i=1

λ i δ x i ,

^i.e.

∀ A ∈ A , µ(A) = X ∞ i=1

λ i 1 A (x i ).

^(1.6)

Onvérieque'estunemesure.En partiulier

δ x

êst ûne^mesureâtomique.

Exemple 1.23 (MesuredeStieljes)On prend

E = R

^,

A

^la^tribu ^borélienne ^et

F : R → R

^une^fontion^réelle

roissante.Onpose,pourtout

a, b ∈ R

^si

a < b

^:

µ F ([a, b])

^déf

= F (b+) − F(a − ),

^(1.7)

F (b+) = lim h>0,h → 0 F (b + h)

^et

F(a − ) = lim h>0,h → 0 F (a − h)

^. ^Faire ^un^dessin. ^Et

F

^étant^roissante,^on ^a

F (b+) = inf x>b F(x)

^et

F(a − ) = sup _x<a F(x)

^qui^existent^toujours.

F

^est^appelée^primitive^de

µ F

^(dénie^à^une^onstante^près).

Caspartiulier

F

^est^ontinue^:

µ F ([a, b]) =

^déf

F (b) − F (a)

^.

Etenpartiulierlorsque

F (x) = x

^, ^alors

µ F

^est ^la^mesure^de^Lebesgue.

Exerie 1.24 VériezquepourunemesuredeStieljesdonnéeet

b > a

^on^a^:

 

 

 

 



µ F ([a, b[) = F (b − ) − F (a − ), µ F (]a, b]) = F (b+) − F (a+), µ F (]a, b[) = F (b − ) − F (a+),

µ F ( { a } ) = F (a+) − F (a − )

^noté

= [F ](a)

^(saut^de

F

^en

a

⁾

.

(1.8)

Réponse.Pardénition

µ F ( { a } ) = µ F ([a, a]) = F (a+) − F(a − )

^,^i.e.^{(1.8 )}

4

^.

Et

[a, b] = { a } S ]a, b]

^, ^union ^disjointe, ^donne

µ F ([a, b]) = µ F ( { a } ) + µ F (]a, b])

^, ^soit

F (b+) − F (a − ) = F (a+) − F (a − ) + µ F (]a, b])

^.^D'où^{(1.8 )}

2

^.Îdem^pour^lesâutresâs.

Autredémonstration.Pourtout

h > 0

^tel^que

b − h > a

^:

µ F ([a, b − h]) = F ((b − h)+) − F (a − ) _h −→

→0 F(b − ) − F (a − ),

ar

F((b − h)+) ≤ F (b − )

^pour^tout

h>0

^,^et

F((b − h)+) ≥ F (b − ε)

^pour^tout

ε

^dès^que

h < ε

^.^De^même^pour^les^autres

as.

Exemple 1.25 Mesure de probabilité: 'est le as de lamesure de Stieljes où

F

(roissante) est ontinue à droite etesttelle que

F ( −∞ ) = 0

^et

F ( ∞ ) = 1

^.Ên^partiulierônâ^:

µ F (] − ∞ , t]) = F (t).

^(1.9)

Et

F

^est^appelée^fontion^derépartitiondelaprobabilité

µ

^.

Exemple:

F = 1 [c, ∞ [

^est^la^fontion^derépartitiondelaprobabilité

δ c

^sur

R

^, ^et

F

^est ^une^primitive^de

δ c

^,

voiroursdedistributions.

(9)

1.3 Propriété essentielle : une mesure est monotone

Dénition 1.26 Soit

(A n ) 1 ≤n≤∞ ∈ P (E) ^N ^∗

^une^suite^desous-ensemblesde

E

^.

Lasuite

(A n ) 1 ≤n≤∞

^est^roissante^ssi

A n+1 ⊃ A n

^pour^tout

n

^.

Lasuite

(A n ) 1 ≤ n ≤∞

^estdéroissantessi

A n+1 ⊂ A n

^pour^tout

n

^.

(A n ) N ^∗

^est ^monotone^ssi

(A n ) N ^∗

^est^roissante^oudéroissante.

Si

(A n ) N ^∗

^est^roissante,^on^note

[

n ∈ N ^∗

A n

noté

= lim

n →∞ A n

^.

Si

(A n ) N ^∗

^estdéroissante,onnote

\

n ∈ N ^∗

A n

noté

= lim

n→∞ A n

^.

Proposition1.27 Si

(E, A , µ)

êst ûnêspae^mesuré, ^si

(A n ) _n∈ N ^∗

^est ^une ^suite^roissanted'ensembles mesu- rablesalors

µ(lim n →∞ A n ) = lim n →∞ µ(A n )

^:

(A n ) n ∈ N ^∗

^roissante

⇒ µ( lim

n →∞ A n ) = lim

n →∞ µ(A n ).

^(1.10)

Ondit que

µ

^est ^roissante.

Mêmerésultatsilasuite

(A n )

^estdéroissanteàonditiondesupposerdeplusque

µ(A 1 ) < ∞

^:^on^dit^que

µ

^est déroissante.

Preuve. Notons

A = S

n∈ N ^∗ A n =

^noté

lim n →∞ A n

^.^On^a

A ∈ A

^par^dénition^d'une^tribu.^On^pose

B 1 = A 1

et

B n+1 = A n+1 − A n

^pour^tout

n ≥ 1

^(les

B n

^sont^les^ouhes^suessives^de^l'oignon

A

^).

A m = S

1 ≤ n ≤ m B n

^(trivial),^et^les

B n

^sont²^à²^disjoints^(trivial),^d'où

µ(A m ) = P m

n=1 µ(B n )

^ar

µ

^est^une

mesure. Et, par dénition de

P _∞

n=1

^, ^on^a

P _∞

n=1 µ(B n ) = lim m →∞ ( P m

n=1 µ(B n )) = lim n →∞ µ(A n )

^, ^la ^limite

existantdans

R

^ar

(µ(A n ))

êst ûne^suite^roissante,^f. êxerie^1.17.

Etona

A = S

n ∈ N ^∗ A n = S

n ∈ N ^∗ B n

(immédiat). D'où,les

B n

^étant²^à²^disjoints^et

µ

^étant^une^mesure,

µ(A) = P _∞

n=1 µ(B n )

^,^d'où

µ(A) = lim n →∞ µ(A n )

^omme^annoné.

Dans le as

(A n ) N ^∗

déroissante, démonstration similaire. N.B. : l'hypothèse

µ(A 1 ) < ∞

^est ^néessaire ^:

prendre

A n = { n, n+1, .... } = N ^∗ − [1, n − 1] N

^, ^on ^a ^bien

(A n ) N ^∗

déroissante, mais

A n −→ n→∞ ∅

^, ^don

µ(lim _n→∞ A n ) = 0

^,^alors^que

µ(A n ) = ∞

^pour^tout

n

^.

Remarque 1.28 Ononsidère

(R, A ^R )

^l'espae^borélien^réel ^usuel, ^et

µ ℓ

^la^mesure^de ^Lebesgue ^sur

R

^. ^Alors

si

A ∈ A ^R

^(estmesurable),ona

µ ℓ (A) = inf { µ ℓ (U ) : U ∈ O , U ⊃ A }

^.

Pourlevoir,ondénit

µ : A ^R → R +

^par

µ(A) = inf { µ ℓ (U) : U ∈ O , U ⊃ A }

^. ^On^montre ^que

µ

^est ^bien

une mesure,etqu'elleestégaleà

µ ℓ

^sur^lesintervallesouverts.

1.4 Ensembles

µ

-négligeables, ensemble de Cantor

1.4.1 Ensembles

µ

-négligeables Soit

(E, A , µ)

^un^ensemble^mesuré.

Dénition 1.29 Si

A ∈ A

^est ^tel^que

µ(A) = 0

^,^on^dit^que

A

^est

µ

-négligeable.

Exemple 1.30 PourlamesuredeDira

δ x

^,^si

x 6∈ A

^,^alors

δ x (A) = 0

^et

A

^est

δ x

-négligeable.Etsi

x ∈ A

^,^alors

δ x (A) = 1

^et

A

^n'est^pasnégligeable.

Exemple 1.31 PourlamesuredeLebesgue

µ ℓ

^,^tout ^ensemble dénombrableestnégligeable.Etunouvertnon viden'estjamaisnégligeable(il ontientunintervalleouvertnonvide).

1.4.2 Ensemblede Cantor

PourlamesuredeLebesgue

µ ℓ

^,îlêxiste^desênsemblesnégligeablesquisontnondénombrables.

Exemple 1.32 Ensemble de Cantor : il est onstruit omme limite de la suite de fermés emboités dont les

Intégrale de Lebesgue : introduction.

∼

µ

µ

A µ

µ

µ

µ

µ

µ

A

A

|| . || ∞

L 1

L 1

µ

µ

L 1 (E, A , µ)

L 1 (E, A , µ)

L 1 (E, A , µ)

L 1 (R)

C 0 (R) T L 1 (R)

L 1 loc (R)

lim inf

µ

µ

L 1

L 2

L 2

L p (I)

L p (I)

L 1 (R)

R n

f − 1

ℵ 0

ℵ 1

E

P (E)

E

A ∈ P (E)

A ⊂ E

A ⊂ E

A

A

1 A : E → R

1 A (x)

( = 1

x ∈ A,

= 0

x 6∈ A.

A

χ A

χ A (x) = 0

x ∈ A

χ A (x) = ∞

x 6∈ A

f : E → R

f

∃ n ∈ N ∗ , ∃ (c i ) i=1,...,n ∈ R n , ∃ (A i ) i=1,...,n ∈ P (E) n , f = X n i=1

c i 1 A i .

A i

1 Q : R → R

n = 1

c 1 = 1

A 1 = Q

f : E → R

Imf

n ∈ N ∗

(c i ) i=1,...,n ∈ R n

Imf = { c 1 , ..., c n }

A i = f − 1 (c i ) = { x ∈ E : f (x) = c i }

f

f = X n i=1

c i 1 A i (=

X n i=1

c i 1 f −1 (c i ) ).

R

f

∃ n ∈ N ∗ , ∃ (a i , b i , c i ) i=1,...,n ∈ R 3n

∀ i ∈ [1, n] N , a i < b i , f = X n i=1

A ^µ

L ¹

L ¹

L ¹ (E, A , µ)

L ¹ (E, A , µ)

L ¹ (E, A , µ)

L ¹ (R)

C ⁰ (R) T L ¹ (R)

L ¹ loc (R)

L ¹

L ²

L ²

L ^p (I)

L ^p (I)

L ¹ (R)

R ⁿ

f ⁻ ¹

ℵ ⁰

ℵ ¹

∃ n ∈ N ^∗ , ∃ (c i ) i=1,...,n ∈ R ⁿ , ∃ (A i ) i=1,...,n ∈ P (E) ⁿ , f = X n i=1

n ∈ N ^∗

(c i ) i=1,...,n ∈ R ⁿ

A i = f ⁻ ¹ (c i ) = { x ∈ E : f (x) = c i }

c i 1 f ⁻¹ (c i ) ).

∃ n ∈ N ^∗ , ∃ (a i , b i , c i ) i=1,...,n ∈ R ³ⁿ

f ⁻ ¹ (J)

1 ⁻ _A ¹ (J )

(f n ) n ∈ N ^∗

|| f − f n || ∞ _n −→

n ∈ N ^∗

i = 1, ..., n2 ⁿ

B n,i = f ⁻ ¹ ([ i − 1

2 ⁿ , i

2 ⁿ [) = { x : i − 1

2 ⁿ ≤ f (x) < i

2 ⁿ } , F n = f ⁻ ¹ ([n, ∞ [) = { x : f (x) ≥ n } ,

n2 [ ⁿ

n2 ⁿ

2 ⁿ 1 B n,i + n1 F n (=

n2 ⁿ

2 ⁿ 1 B n,i + n1 F n ).

2 ⁿ ≤ j − 1

2 ⁿ⁺¹ , B n+1,j ⊂ B n,i ,

i ∈ [1, n2 ⁿ ] N

2 ⁿ ≤ f (x) < ₂ ⁱ n