5. Exemples importants de la th´ eorie de l’int´ egration de Lebesgue

5. Exemples importants de la th´ eorie de l’int´ egration de Lebesgue

1 L’int´egrale de Riemann

2 Th´eorie des probabilit´es

3 Mesure de comptage. S´eries

4 Mesure de Dirac

mesure

A⊂Ω ←−−−−passage−−−−→ int´egration f : Ω→R

(Ω,A, µ) ^Th´eorie de Lebesgue

−−−−−−−−−−−−−−−→ I(f) = Z

Ω

f dµ µ(A) =I(1A) ←−−−−−−−−−−−−−−−−

1. L’int´ egrale de Riemann

Quelle mesure lui correspond ? On doit avoir : µ(]a, b[) =

Z b a

dx= (b−a)

C’est la mesure de Lebesgue.

Th´eor`eme (Lebesgue g´en´eralise Riemann)

f ∈ R(a, b) =⇒ f ∈L¹(a, b) et Z

[a,b]

f dµ= Z b

a

f(x)dx

D´emonstration.

{f : fonction en escalier} ⊂ {f : f⁺ et f⁻ fonctions simples} . . .

Lebesgue ´ etend Riemann aux fonctions non born´ ees

Z 1 0

ln(x)dx=−1

Z 1 0

ln(x)

| {z }

∈[−∞,0]

dx = − Z 1

0

(−ln(x))

| {z }

∈[0,+∞]

dx (d´ef. int´egrale de Lebesgue)

= − lim

n→+∞

Z 1 0

1_[¹

n,1](x) (−ln(x))dx

| {z }

= [−xln(x) +x]¹1

n (TFA)

(Beppo Levi)

= − lim

n→+∞

1 +1

nln 1

n

− 1 n

=−1

Lebesgue ´ etend Riemann aux intervalles non born´ es

Z ∞

0

1

1 +x²dx= π 2

Z ∞

0

1 1 +x²

| {z }

∈[0,+∞]

dx = lim

n→+∞

Z ∞

0

1[0,n](x) 1

1 +x²dx (Beppo Levi)

= lim

n→+∞

Z _n

0

1 1 +x²dx

| {z }

= [Arctan (x)]ⁿ₀ (TFA)

(d´ef. int´eg. Lebesgue)

= lim

n→+∞Arctan (n) = π 2

des fonctions de r´ ef´ erence . . .

En utilisant les techniques pr´ec´edentes, Exercices :

x^α∈L¹(0,1) ⇐⇒ α >−1 x^α∈L¹(1,+∞) ⇐⇒ α <−1

e^−αx ∈L¹(0,+∞) ⇐⇒ α >0 e^−αx2 ∈L¹(−∞,+∞) ⇐⇒ α >0

Lebesgue caract´ erise Riemann

Th´eor`eme (Lebesgue ?)

Pour toute f born´eesur (a, b) et mesurable on a l’´equivalence f ∈ R(a, b)⇐⇒f est continue presque partout sur]a, b[

D´emonstration.

utilise l’oscillation def au pointx∈]a, b[:

osc(f, x)^d´= lim^ef

δ→0 sup

t∈B(x,δ)

f(t)− inf

t∈B(x,δ)f(t)

!

{x∈]a, b[ : f pas continue en x}=

∞

[

n=1

x∈]a, b[ : osc(f, x)≥ 1 n

2. Th´ eorie des probabilit´ es

Probabilit´es ←−−−−dictionnaire−−−−→ Lebesgue

Ω espace fondamental ←→ un ensemble A ensemble des ´ev`enements ←→ une tribu sur Ω

P probabilit´e ←→ P:A →[0,1] une mesure (Ω,A,P) espace de probabilit´e ←→ espace mesur´e P(Ω) = 1

X variable al´eatoire r´eelle ←→ X: Ω→R mesurable E[X] esp´erance de X ←→ E[X] =

Z

Ω

XdPint´egrale E[h(X)] esp´erance de h(X) ←→ E[h(X)] =Z

Ω

h◦XdP

Th´ eor` eme fondamental des probabilit´ es

Th´eor`eme (TFP)

(Ω,A,P)−−−−→^X (E,E)−−−−→^h (R,B) o`uX eth sont des applications mesurables. Alors

(i) on d´efinit une probabilit´e sur (E,E)par

P_X :E −→ [0,1]

B 7−→ PX(B)^d´=^efP(X⁻¹(B)) (ii) h◦X∈L¹(Ω,A,P) ⇐⇒ h∈L¹(E,E, P_X)

(iii)

E[h(X)] = Z

E

h(x)dP_X(x)

3. Mesure de comptage. S´ eries

(N,P(N), ν) espace mesur´e tel que (∀n∈N) ν({n}) = 1.

Toutes les applications f :N→Csont mesurables.

f ∈l¹(N)^d´=^efL¹(N,P(N), ν) ⇐⇒

+∞

X

n=0

|f(n)|<+∞

(∀f ∈l¹(N)) Z

Nf dν =

+∞

X

n=0

f(n) ∈C Exercice :

expliciter le TCD

4. Mesure de Dirac

(R,B, δ) espace mesur´e tel que δ :B −→ [0,1]

B 7−→ δ(B) =

1 si 0∈B 0 si 06∈B Pour tout f mesurable,

f ∈L¹(R,B, δ) ⇐⇒ |f(0)|<+∞

(∀f ∈L¹(R,B, δ)) Z

Rf dδ=f(0) ∈C