Th´eorie de l’int´egration

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Th´eorie de l’int´egration

Table des mati` eres

1 Int´egration des applications en escalier 2

1.1 Les applications en escalier . . . 2 1.2 Int´egrale d’une application en escalier . . . 4

2 Les applications r´egl´ees 6

2.1 Définition . . . 6 2.2 Les applications continues par morceaux . . . 7 2.3 Caractérisation des applications réglées (hors programme) . . . 8 3 Intégration des applications réglées 10 3.1 Construction . . . 10 3.2 Propriétés . . . 11

4 Sommes de Riemann 15

5 Primitives 18

(2)

Théorie de l’intégration 1 Intégration des applications en escalier Dans tout ce chapitre,

— Kd´esigne R ouC;

— a etb sont deux r´eels fix´es avec a < b;

— E est un K-espace vectoriel norm´e complet, c’est-`a-dire un espace de Banach.

En pratique,E sera un K-espace vectoriel de dimension finie et le plus souvent, on sera dans le cas o`u E =K;

— f est une application de [a, b] dans E.

Nous présentons ici la théorie de l’intégration de Riemann, qui consiste à définir l’objet

Z b

a

f(t)dt lorsque f est une application en escalier (c’est-à-dire une application constante par morceaux) puis à prolonger cette définition à toute fonction qui est limite uniforme d’applications en escalier, donc en particulier aux applications continues par morceaux.

C’est historiquement la première construction complètement formalisée de la notion d’intégrale, due à Bernhard Riemann en 1854. Elle se construit rapidement, mais elle se prolonge plus ou moins difficilement à des intégrales plus générales :

— l’objet R

If(t)dt où I est un intervalle quelconque (a priori ni fermé, ni borné) et où f est une application continue par morceaux de I dans E, sera étudié en seconde année. Il s’agit d’une intégrale “impropre” ou “généralisée” ;

— l’intégrale de Riemann se généralise très mal aux intégrales multiples de la forme R

Kf(x)dx, o`uK est une partie d’un R-espace vectoriel de dimension finie et o`u f est une application continue de K dans E;

— de plus, parce que sa construction repose sur la convergence uniforme, l’intégrale de Riemann ne présente pas un comportement optimal pour certains théorèmes d’interversion.

La théorie de l’intégration de Lebesgue (1902) n’a pas ces défauts, mais sa construction est nettement plus longue, elle correspond à la théorie de la mesure que nous effleurerons au début du cours de probabilités.

1 Int´ egration des applications en escalier

1.1 Les applications en escalier

D´efinition. On appelle subdivision de [a, b] toute famille finie (a_i)0≤i≤n de r´eels telle que a=a₀ < a₁ <· · ·< a_n =b.

Notation. On notera S l’ensemble des subdivisions de [a, b].

Exemple.

a+ib−a n

0≤i≤n

∈ S. On dit que c’est une subdivision uniforme.

D´efinition. Siσ = (a_i)0≤i≤n∈ S, on appelle pas de la subdivision σ le r´eel δ(σ) = max

1≤i≤n(a_i−ai−1).

(3)

Théorie de l’intégration 1 Intégration des applications en escalier Remarque. Informellement, une subdivision (a_i)0≤i≤ncorrespond à un découpage de l’intervalle [a, b] en les sous-intervalles [ai−1, a_i]. Le pas de cette subdivision représente la longueur du plus grand de ces sous-intervalles.

Notation. Soit σ= (a_i)0≤i≤n ∈ S. On appelle support de la subdivisionσ l’ensemble A(σ)=^∆ {ai /0≤i≤n}.

Propri´et´e. Notons P_f([a, b]) l’ensemble des parties finies de [a, b] contenant a et b.

L’application A: S −→ P_f([a, b])

σ 7−→ A(σ) est bijective.

D´emonstration.

Si B ∈ P_f([a, b]), il existe une unique fa¸con d’ordonner les éléments de B selon une suite (a_i)0≤i≤n strictement croissante. Alors a = a₀ < a₁ < · · · < a_n = b, donc B possède un unique antécédent pour A.

D´efinition. Soit (σ, σ⁰)∈ S². On dit que σ est plus fine que σ⁰ si et seulement si A(σ)⊇A(σ⁰). Dans ce cas, on note σ⁰ σ.

Propri´et´e. est une relation d’ordre partiel.

D´emonstration.

Si σ σ⁰ et σ⁰ σ, alors A(σ) = A(σ⁰), or A est bijective, donc σ = σ⁰. Ainsi est antisymétrique. On établit facilement qu’elle est également réflexive et transitive.

D´efinition. Siσ, σ⁰ ∈ S, on poseσ∪σ⁰ =^∆ A⁻¹(A(σ)∪A(σ⁰)). Ainsi,σ∪σ⁰ est l’unique subdivision de [a, b] dont le support est la r´eunion des supports de σ et de σ⁰.

Remarque. Pour la relation d’ordre , σ∪σ⁰ = sup{σ, σ⁰}.

D´efinition.

f est une application en escalier sur [a, b] si et seulement s’il existe une subdivision (a_i)0≤i≤n de [a, b] telle que, pour tout i∈Nn, f est constante sur l’intervalle ]a_i−1, a_i[.

Remarque. Aucune condition ne porte sur les valeurs de f en les points a_i de la subdivision.

Exemple. Les fonctions constantes sont des applications en escalier.

L’application partie enti`ere restreinte `a un segment est une application en escalier.

D´efinition. Supposons que f est une application en escalier et soitσ = (a_i)0≤i≤n∈ S.

On dit que σ est une subdivision adapt´ee `a f si et seulement si, pour tout i ∈ Nⁿ, f est constante sur l’intervalle ]ai−1, a_i[.

Remarque. Si f est une application en escalier, elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs (ce nombre étant inférieur à 2n+1, si (a_i)0≤i≤nest une subdivision adaptée àf).

Cependant la r´eciproque est fausse. En effet, l’application caract´eristique de [a, b]∩Q

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Théorie de l’intégration 1 Intégration des applications en escalier (qui renvoie 1 pour un rationnel et 0 pour un irrationnel) ne prend qu’un nombre fini de valeurs, mais elle n’est pas en escalier.

Propriété. Les applications en escalier de [a, b] sont bornées.

D´emonstration.

Une telle application ne prend qu’un nombre fini de valeurs.

Propriété. Soit f une application en escalier etσ une subdivision de [a, b] adaptée à f. Alors toute subdivision plus fine queσ est aussi adaptée àf.

D´emonstration.

Soit σ = (ai)0≤i≤n et σ⁰ = (bi)0≤i≤p deux subdivisions de [a, b]. On suppose que σ est adapt´ee `a f et que σ⁰ est plus fine que σ.

Alors chaque sous-intervalle ]bi−1, b_i[, oùi∈Np, est inclus dans l’un des sous-intervalles ]aj−1, aj[, doncf est constante sur ]bi−1, bi[, ce qui prouve que σ⁰ est adapté àf.

1.2 Int´ egrale d’une application en escalier

D´efinition. Soitfune application en escalier etσ = (a_i)0≤i≤nune subdivision adapt´ee

`

a f. Pour tout i∈Nⁿ, notonsλ_i la valeur constante def sur ]a_i−1, a_i[. On pose Z b

a

f(t)dt=

n

X

i=1

(ai−ai−1)λi.

Cette quantité est indépendante du choix deσ parmi les subdivisions adaptées à f.

D´emonstration.

Notons I(σ) =

n

X

i=1

(a_i −ai−1)λ_i et montrons que si σ⁰ est une seconde subdivision adapt´ee `a f, alorsI(σ⁰) = I(σ).

Supposons d’abord que σ⁰ est plus fine que σ et que |A(σ⁰)|=|A(σ)|+ 1.

Il existec tel que A(σ⁰) =A(σ)t {c}. Il existe p∈Nn tel que ap−1 < c < a_p. Alors I(σ⁰) =

p−1

X

i=1

(a_i − ai−1)λ_i + (c− ap−1)λ_p + (a_p − c)λ_p +

n

X

i=p+1

(a_i − ai−1)λ_i, or (c−ap−1)λ_p+ (a_p−c)λ_p = (a_p−ap−1)λ_p, donc I(σ⁰) =I(σ).

Par r´ecurrence sur |A(σ⁰)| − |A(σ)|, on montre ensuite que si σ⁰ est plus fine que σ, alors I(σ⁰) =I(σ).

σ⁰∪σ est plus fine que σ, donc I(σ) = I(σ∪σ⁰), puis en échangeant les rôles joués par σ etσ⁰, I(σ⁰) =I(σ∪σ⁰), donc I(σ) = I(σ⁰).

Remarque. Pour tout i ∈ Nn, λ_i ∈ E, donc Z b

a

f est un vecteur de E, en tant que combinaison lin´eaire de vecteurs de E.

(5)

Théorie de l’intégration 1 Intégration des applications en escalier Remarque. Lorsque E = R,

Z b

a

f représente une somme d’aires de rectangles, af- fectées d’un signe négatif lorsque λ_i <0, donc

Z b

a

f est l’aire alg´ebrique de la surface situ´ee entre le graphe de f et l’axe des abscisses.

Propriété. Supposons que f est une application en escalier et soitg une application de [a, b] dans E qui ne diffère def qu’en un nombre fini de points de [a, b].

Alorsg est une application en escalier et Rb

ag =Rb a f. D´emonstration.

Notons σ une subdivision adaptée àf et P ={x ∈[a, b] / f(x)6=g(x)}. P étant fini, on peut poser σ⁰ = A⁻¹(A(σ)∪P). σ⁰ est plus fine que σ, donc elle est adaptée à f.

Posonsσ⁰ = (ai)0≤i≤n et notons λi la valeur constante de f sur ]ai−1, ai[.

P ⊂ {a_i / 0≤i ≤n}, donc pour tout i∈Nn, f et g sont ´egales sur ]ai−1, a_i[. Ainsi, g est une application en escalier et Rb

a g =Rb a f.

Th´eor`eme. Notons E([a, b], E) l’ensemble des applications en escalier de [a, b] dans E. C’est un K-espace vectoriel et l’application E([a, b], E) −→ E

f 7−→ Rb

a f est lin´eaire.

D´emonstration.

Soit f, g ∈ E([a, b], E). Notons σ_f et σ_g des subdivisions de [a, b] adaptées à f et à g respectivement. Posonsσ =σf∪σg = (ai)0≤i≤n.σ est adaptée à la fois àf et àg. Pour tout i∈Nn, notons λ_f,i la valeur constante de f sur ]ai−1, a_i[ et λ_g,i celle deg.

Soit α ∈ K. Alors, pour tout i ∈ Nn, sur l’intervalle ]ai−1, a_i[, αf +g est constante,

´

egale à αλf,i+λg,i. Ceci prouve queαf+g est un élément deE([a, b], E), or ce dernier est clairement non vide, doncE([a, b], E) est unK-espace vectoriel. De plus, ceci prouve que

Z b

a

(αf(t) +g(t)) dt=

n

X

i=1

(ai−ai−1)(αλf,i+λg,i), donc Z b

a

(αf(t)+g(t))dt =α

n

X

i=1

(a_i−ai−1)λ_f,i+

n

X

i=1

(a_i−ai−1)λ_g,i =α Z b

a

f(t)dt+

Z b

a

g(t)dt.

Propri´et´e. SoientF un secondK-espace vectoriel de dimension finie etu∈L(E, F).

Sif est une application en escalier, u◦f est une application en escalier et Z b

a

u◦f =u Z b

a

f

.

D´emonstration.

Soit σ = (a_i)0≤i≤n une subdivision adapt´ee `a f.

Pour tout i∈Nn, notonsλ_i la valeur constante def sur l’intervalle ]ai−1, a_i[.

Pour tout i∈Nⁿ, u◦f est constamment ´egale `a u(λ_i) sur l’intervalle ]a_i−1, a_i[, ce qui prouve que u◦f est une application en escalier. De plus,

(6)

Théorie de l’intégration 2 Les applications réglées Z b

a

u◦f =

n

X

i=1

(a_i−ai−1)u(λ_i) =u

n

X

i=1

(a_i−ai−1)λ_i

!

=u Z b

a

f

, caru est lin´eaire.

Propriété. Sif est une application en escalier à valeurs dans R⁺, Rb

a f ≥0.

Corollaire. Si f, g ∈ E([a, b], E), alors [∀t ∈ [a, b], f(t) ≤ g(t)] =⇒ Rb

af ≤ Rb a g : l’int´egrale est croissante.

D´emonstration.

g−f ≥0, donc Rb

a(g−f) = Rb

a g−Rb

a f ≥0.

In´egalit´e triangulaire : Pour tout f ∈ E([a, b], E),

Z b

a

f(t)dt

≤ Z b

a

kf(t)kdt.

D´emonstration.

Soit σ = (ai)0≤i≤n une subdivision adapt´ee `a f.

Pour tout i∈Nn, notonsλ_i la valeur constante def sur l’intervalle ]ai−1, a_i[.

Z b

a

f(t)dt

=

n

X

i=1

(a_i−ai−1)λ_i

≤

n

X

i=1

(a_i−ai−1)kλ_ik= Z b

a

kf(t)kdt.

Relation de Chasles : Soit f ∈ E([a, b], E) et c∈]a, b[.

Alorsf_/[a,c] etf_/[c,b] sont des applications en escalier et Z b

a

f = Z c

a

f+ Z b

c

f. D´emonstration.

Ajouterc à une subdivisionσ adaptée à f.

2 Les applications r´ egl´ ees

2.1 D´ efinition

Définition. On dit que f : [a, b] −→ E est réglée si et seulement si c’est la limite uniforme d’une suite d’applications en escalier, c’est-à-dire si et seulement si il existe une suite (f_n)∈ E([a, b], E)^N telle que sup

x∈[a,b]

kf_n(t)−f(t)k −→

n→+∞0.

Notation. On note R([a, b], E) l’ensemble des applications r´egl´ees de [a, b] dansE.

On rappelle que B([a, b], E) est l’ensemble des applications born´ees de [a, b] dans E et que c’est un K-espace vectoriel si on le munit de la norme de la convergence uniforme d´efinie par : kfk∞= sup

x∈[a,b]

kf(x)k.

Remarque. Sif est réglée, la définition précédente sous-entend qu’il existe une suite (f_n) ∈ E([a, b], E)^N et N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N, f_n − f est bornée. En particulier, f_N −f est bornée, or f_N est bornée en tant qu’application en escalier.

Ainsi, toute application réglée est bornée. Ceci justifie la propriété suivante.

Propriété. R([a, b], E) est l’adhérence de E([a, b], E) dans (B([a, b], E),k.k∞).

(7)

Théorie de l’intégration 2 Les applications réglées Remarque. Nous verrons ci-dessous que la notion d’intégrale se prolonge naturel- lement des applications en escalier aux applications réglées par passage à la limite uniforme. Il est donc important de préciser quelles sont les applications réglées.

2.2 Les applications continues par morceaux

Propriété. C([a, b], E)⊂ R([a, b], E) : toute application continue est réglée.

D´emonstration.

Soit n ∈N^∗. Notons (ai,n)0≤i≤n la subdivision uniforme de [a, b] : pour tout i ∈ {0, . . . , n}, a_i,n =a+ib−a

n . Notons f_n l’application en escalier d´efinie par : ∀i∈Nn, ∀x∈[ai−1,n, a_i,n[, f_n(x) = f(ai−1,n), et f_n(b) = f(b).

Montrons que la suite (fn) converge uniform´ement versf.

Soit ε >0. f est continue sur le compact [a, b], donc d’après le théorème de Heine, f est uniformément continue. Ainsi il existe α >0 tel que

∀(x, y)∈[a, b]² (|x−y| ≤α=⇒ kf(x)−f(y)k ≤ε).

PosonsN =

b−a α

+ 1 et soit n ≥N : b−a

n ≤ b−a

N ≤ b−a

b−a α

=α.

Soit x∈[a, b[. Il existe i∈ {0, . . . , n−1}tel que x∈[ai−1,n, a_i,n[. Alors kf(x)−f_n(x)k=kf(x)−f(ai−1,n)k ≤ε car |x−ai−1,n| ≤ b−a

n ≤α.

Ainsi, par passage au sup, kf−f_nk_∞ ≤ε, ce qui prouve que f_n −→^k.k^∞

n→+∞f.

D´efinition. Soit f : [a, b] −→ E. f est continue par morceaux si et seulement si il existe une subdivisionσ = (a_i)0≤i≤n de [a, b] telle que,

— pour tout i∈Nⁿ, f_/]a_i−1_,a_i_[ est prolongeable par continuité sur [a_i−1, a_i], ce qui est équivalent à

— f est continue sur [a, b]\{a₀, . . . , a_n}etf admet en chaquea_i une limite `a droite (sauf en b) et une limite `a gauche (sauf en a).

Dans ce cas, on dit que la subdivision σ est adaptée à f. Démonstration.

On sait que f_/]a_i−1_,a_i_[ est prolongeable par continuité en a_i si et seulement si f admet enai une limite à gauche : cf le chapitre “Limites et continuité”, page 22.

Exemples. Les fonctions continues sont continues par morceaux.

Les fonctions en escalier sont continues par morceaux.

Exemples graphiques.

D´efinition. SiI est un intervalle quelconque de R, une application f : I −→E est continue par morceaux si et seulement si toutes ses restrictions aux segments inclus dans I sont continues par morceaux.

Propriété. Les applications continues par morceaux de [a, b] dansE sont réglées.

(8)

Théorie de l’intégration 2 Les applications réglées Démonstration.

Supposons que f : [a, b] −→ E est continue par morceaux et notons (a_i)0≤i≤p une subdivision de [a, b] adaptée à f. Pour tout i ∈ N^p, notons fi le prolongement par continuité sur [ai−1, a_i] de f_/]a_i−1_,a_i_[.

Pour tout i ∈Np, d’après la propriété précédente, il existe une suite (f_i,n)n∈N d’applications en escalier sur [ai−1, ai] qui converge uniformément versfi sur [ai−1, ai].

Soit n ∈ N. On d´efinit f_n sur [a, b] en convenant que, pour tout i ∈ Np, pour tout x∈]ai−1, a_i[, f_n(x) =f_i,n(x), et que pour tout i∈ {0, . . . , p}, f_n(a_i) = f(a_i).

Ainsi, pour tout n∈N, fn est bien une application en escalier sur [a, b].

Soit n ∈N. Pour tout x∈[a, b], kf(x)−f_n(x)k ≤

p

X

i=1

sup

y∈]ai−1,ai[

kf(y)−f_i,n(y)k+

p

X

i=0

kf(a_i)−f_n(a_i)k, donc sup

x∈[a,b]

kf(x)−f_n(x)k ≤

p

X

i=1

sup

y∈[ai−1,ai]

kf_i(y)−f_i,n(y)k −→

n→+∞0. Ainsi f_n −→^k.k^∞

n→+∞f.

Remarque. Nous construisons ci-dessous l’intégrale sur [a, b] de toute application réglée. En particulier, nous définirons ainsi la notion d’intégrale de toute application continue par morceaux de [a, b] dans E, qui seule est prévue par le programme officiel.

Cependant le chapitre suivant donne une caractérisation simple des applications réglées.

2.3 Caract´ erisation des applications r´ egl´ ees (hors programme)

Critère de Cauchy pour les applications : Soient R unK-espace vectoriel normé, A⊂R,a∈R∪ {+∞,−∞,∞}tel que Arencontre tout voisinage dea etf :A−→E une application. On rappelle que E est supposé complet.

Alorsf(x) admet une limite lorsque xtend vers a en appartenant `aA si et seulement si :∀ε ∈R^∗+, ∃V ∈ V(a), ∀x, y ∈V ∩A, d(f(x), f(y))< ε.

D´emonstration.

• Supposons qu’il existel ∈E tel que f(x)−→_x→a

x∈A

l.

Soit ε >0. Il existe V ∈ V(a) tel que f(V ∩A)⊂B_o(l,^ε₂).

Soit (x, y)∈(V ∩A)².d(f(x), f(y))≤d(f(x), l) +d(l, f(y))< ε.

• Réciproquement, supposons que le critère de Cauchy est vérifié.

Soit (x_n)∈A^N telle que x_n −→

n→+∞a.

Soit ε >0. Il existe V ∈ V(a) tel que ∀(x, y)∈(V ∩A)² d(f(x), f(y))< ε.

Il existeα >0 tel que B_o(a, α)⊂V, puis il existe N ∈N tel que, pour tout n≥N, d(x_n, a)< α.

Soientp≥N etq≥N. (x_p, x_q)∈(V ∩A)², doncd(f(x_p), f(x_q))< ε. Ainsi (f(x_n)) est une suite de Cauchy deE, lequel est suppos´e complet, donc la suite (f(x_n)) converge.

Il reste à montrer que la limite de la suite (f(x_n)) ne dépend pas du choix de la suite (x_n) ; soit (y_n) une seconde suite d’éléments de A telle que y_n −→

n→+∞a. Il existe (l, l⁰)∈E² tel que f(x_n) −→

n→+∞l et f(y_n) −→

n→+∞l⁰.

(9)

Théorie de l’intégration 2 Les applications réglées Pour tout n ∈ N, posons x_n = z_2n et y_n = z_2n+1. On définit ainsi une nouvelle suite (z_n) d’éléments de A telle que z_n −→

n→+∞a. Il existe l”∈E tel que f(z_n) −→

n→+∞l”.

Mais les suites (f(x_n)) et (f(y_n)) sont des suites extraites de la suite (f(z_n)), donc l =l” =l⁰.

Théorème. Une application de [a, b] dans E est réglée si et seulement si elle admet en tout point de [a, b] une limite à droite (sauf enb) et une limite à gauche (sauf ena).

D´emonstration.

Supposons que f : [a, b]−→E est une application r´egl´ee.

Soit x₀ ∈[a, b[. Montrons que f possède enx₀ une limite à droite en vérifiant le critère de Cauchy, avec R =R, A =]x₀, b] et a=x₀. Il s’agit donc de montrer que pour tout ε >0, il existeα >0 tel que, pour tout x, y ∈]x₀, x₀+α[, kf(x)−f(y)k ≤ε.

Soit ε >0. f est dans l’adh´erence de E([a, b], E), donc il existe une application en escalier ϕ : [a, b]−→E telle quekf −ϕk∞ ≤ ₂^ε.

Notons (a_i)_0≤i≤n une subdivision de [a, b] adapt´ee `aϕ.

Il existei∈Nn tel quex₀ ∈[ai−1, a_i[, puis il existe α >0 tel que ]x₀, x₀+α[⊂]ai−1, a_i[.

Soit x, y ∈]x₀, x₀+α[.

kf(x)−f(y)k ≤ kf(x)−ϕ(x)k+kϕ(x)−ϕ(y)k+kϕ(y)−f(y)k ≤ ₂^ε+kϕ(x)−ϕ(yk+^ε₂, mais x, y ∈]ai−1, a_i[, doncϕ(x) = ϕ(y). Ainsi, kf(x)−f(y)k ≤ε.

De même, on montre que f possède une limite à gauche en tout réel de ]a, b].

Réciproquement, supposons quef admet en tout point de [a, b] une limite à droite (sauf en b) et une limite à gauche (sauf en a).

Soit ε > 0. Soit x∈ [a, b[. f(t) admet une limite lorsque t tend versx en appartenant

`

a ]x, b], donc d’apr`es le crit`ere de Cauchy, il existe αx >0 tel que, pour tout t, t⁰ ∈]x, x+α_x[∩[a, b], kf(t)−f(t⁰)k ≤ε.

C’est encore vrai lorsque x=b en prenant α_b = 1, car ]b, b+ 1[∩[a, b] =∅.

De mˆeme, pour toutx∈[a, b], il existeβx >0 tel que pour toutt, t⁰ ∈]x−βx, x[∩[a, b], kf(t)−f(t⁰)k ≤ε.

[a, b]⊂ [

x∈[a,b]

]x−β_x, x+α_x[, or [a, b] est compact, donc d’après la caractérisation de la compacité selon Borel-Lebesgue (cf chapitre “Limites et continuité” page 13), il existe p∈N^∗ etx₁, . . . , x_p ∈[a, b] tels que (1) : [a, b]⊂ [

1≤i≤p

]x_i−β_x_i, x_i+α_x_i[.

PosonsP ={a, b} ∪

[a, b]∩ [

1≤i≤p

{x_i−β_x_i, x_i, x_i+α_x_i} : P est une partie finie de [a, b] contenanta etb.

Il existe alors une unique subdivision (a_i)0≤i≤n de [a, b] dont le support est P.

Soit i ∈ Nn. D’apr`es (1), il existe k ∈ Np tel que ai−1 ∈]x_k − β_x_k, x_k + α_x_k[, or ]ai−1, a_i[∩P =∅, donc ]ai−1, a_i[⊂]x_k−β_x_k, x_k[ ou bien ]ai−1, a_i[⊂]x_k, x_k+α_x_k[.

Ainsi, pour tout i∈Nn et pour tout t, t⁰ ∈]ai−1, a_i[, kf(t)−f(t⁰)k ≤ε.

Notons maintenant ϕ l’unique application en escalier de [a, b] dans E telle que, pour tout i∈ {0, . . . , n}, ϕ(a_i) =f(a_i) et pour tout i∈Nn, pour tout x∈]a_i−1, a_i[,

(10)

Théorie de l’intégration 3 Intégration des applications réglées ϕ(x) = fai−1+a_i

2

. Alors, pour toutt ∈[a, b], kf(t)−ϕ(t)k ≤ε.

Avec ε = 1, ceci montre que f ∈ B([a, b], E). Avec ε quelconque, ceci d´emontre que E([a, b], E) rencontre toute boule ouverte centr´ee en f,

donc que f ∈ E([a, b], E) = R([a, b], E).

Remarque.

On retrouve ainsi que les applications continues par morceaux sont r´egl´ees.

Corollaire. Les applications monotones de [a, b] dans R sont r´egl´ees.

Corollaire. Le produit de deux applications réglées est réglé.

3 Int´ egration des applications r´ egl´ ees

3.1 Construction

Définition. Soit f : [a, b]−→E une application réglée.

Il existe (f_n)n∈N ∈ E([a, b], E)^N telle que f_n ^k.k−→^∞

n→+∞f. On pose Z b

a

f(t)dt = lim

n→+∞

Z b

a

f_n(t) dt ,

ce qui est acceptable car cette limite existe et car elle ne d´epend pas du choix de la suite (f_n)n∈N∈ E([a, b], E)^N telle que f_n −→^k.k^∞

n→+∞f. D´emonstration.

• Soit ε >0.

Il existeN ∈N tel que pour tout n≥N etx∈[a, b],kf(x)−f_n(x)k ≤ ε 2(b−a). Soient p≥N etq ≥N. Pour tout x∈[a, b],

kf_p(x)−f_q(x)k ≤ kf_p(x)−f(x)k+kf(x)−f_q(x)k ≤ ε b−a.

Ainsi, d’après les propriétés des intégrales d’applications en escalier, k

Z b

a

fp− Z b

a

fqk=k Z b

a

(fp −fq)k ≤ Z b

a

kfp(x)−fq(x)kdx≤ Z b

a

ε

b−a dt=ε, ce qui prouve que la suite

Rb

af_n(t)dt

n∈N

est une suite de Cauchy de E. Or E est suppos´e complet, donc cette suite converge. Notons l sa limite.

• Soit (g_n) une seconde suite d’applications en escalier de [a, b] dans E telle que g_n ^k.k−→^∞

n→+∞f. Il existe l⁰ ∈E tel que Rb

ag_n(t)dt −→

n→+∞l⁰.

Soit ε > 0. Il existe (N⁰, N⁰⁰) ∈ N² tel que pour tout n ≥ max(N⁰, N⁰⁰) et x ∈ [a, b], kf(x)−f_n(x)k ≤ ε

2(b−a) et kf(x)−g_n(x)k ≤ ε 2(b−a). PosonsN = max(N⁰, N⁰⁰). Soit n≥N.

(11)

Théorie de l’intégration 3 Intégration des applications réglées Pour tout t∈[a, b], kf_n(t)−g_n(t)k ≤ kf_n(t)−f(t)k+kf(t)−g_n(t)k ≤ ε

b−a, donc, d’après les propriétés des intégrales d’applications en escalier,

k Z b

a

f_n− Z b

a

g_nk=k Z b

a

(f_n−g_n)k ≤ Z b

a

kf_n(t)−g_n(t)kdt ≤ Z b

a

ε

b−a dt =ε, ce qui prouve que Rb

afn−Rb

a gn −→

n→+∞0. D’apr`es l’unicit´e de la limite, l =l⁰.

Remarque. Supposons que f : [a, b]−→ E est continue. On a alors construit une suite d’applicationsf_n qui converge uniform´ement versf, en posant, pour tout n∈N^∗ et pour tout i∈ {0, . . . , n}, ai,n =a+ib−a

n et en convenant que

∀i∈Nn, ∀x∈[ai−1,n, a_i,n[, f_n(x) = f(ai−1,n), et f_n(b) = f(b).

Ainsi, lorsquef est continue, Z b

a

f(t) dt= lim

n→+∞

Z b

a

f_n(t) dt

, c’est-`a-dire Z b

a

f(t) dt = lim

n→+∞

n

X

i=1

b−a

n f(a+ (i−1)b−a

n ) : cette égalité est un cas particulier des sommes de Riemann que nous étudierons plus loin.

Ceci permet d’interpr´eter Z b

a

f(t) dt, lorsque f est à valeurs réelles, comme une aire algébrique.

Remarque. Lorsque f ∈ E([a, b], E), en posant pour tout n ∈ N, f_n = f, la suite d’applications en escalier (f_n) converge uniform´ement vers f, donc

Z b

a

f(t)dt, en tant qu’intégrale de l’application réglée f, co¨ıncide avec

Z b

a

f(t) dt, en tant qu’int´egrable de l’application en escalier f.

3.2 Propri´ et´ es

Th´eor`eme. R([a, b], E) est un K-espace vectoriel et l’application R([a, b], E) −→ E

f 7−→ Rb

af est lin´eaire.

D´emonstration.

Soit f, g ∈ R([a, b], E) et α∈K.

Il existe (f_n)n∈N,(g_n)n∈N ∈ E([a, b], E)^N telles quef_n ^k.k−→^∞

n→+∞f etg_n −→^k.k^∞

n→+∞g.

On sait alors que (αf_n+g_n) est une suite d’applications en escalier et que αf_n+g_n ^k.k−→^∞

n→+∞αf+g, doncαf+g est une application réglée. Or l’application identiquement nulle est réglée, donc R([a, b], E) est unK-espace vectoriel .

De plus, d’après la définition de l’intégrale d’une application réglée, Z b

a

(αf(t) +g(t))dt = lim

n→+∞

Z b

a

(αfn(t) +gn(t))dt

,

mais d’après la linéarité des intégrales d’applications en escalier,

(12)

Théorie de l’intégration 3 Intégration des applications réglées pour tout n∈N,

Z b

a

(αf_n(t) +g_n(t))dt =α Z b

a

f_n(t) dt+ Z b

a

g_n(t)dt, donc Z b

a

(αf(t) +g(t))dt =α lim

n→+∞

Z b

a

f_n(t) dt

+ lim

n→+∞

Z b

a

g_n(t) dt

=α Z b

a

f(t) dt+ Z b

a

g(t) dt.

Propriété. Soit F et G deuxK-espaces vectoriels normés. Soitu∈L(E, F).

Alorsu est continue si et seulement si elle est lipschitzienne.

D´emonstration.

La r´eciproque ´etant connue, supposons que u est continue.

Elle est en particulier continue en 0, donc avecε= 1, il existe α >0 tel que, pour tout x∈E, kxk ≤α =⇒ ku(x)k ≤ε= 1.

Soit x∈E\ {0}.kα x

kxkk=α, donc ku α x

kxk

k ≤1, puisku(x)k ≤ _α¹kxk.

C’est encore vrai pour x= 0.

On en d´eduit que, pour tout x, y ∈E, ku(x)−u(y)k=ku(x−y)k ≤ _α¹kx−yk.

Propri´et´e. Soit F un second K-espace vectoriel de Banach et u ∈ L(E, F) que l’on suppose continue. Sif ∈ R([a, b], E), alorsu◦f ∈ R([a, b], F) et

Z b

a

u◦f =u Z b

a

f

. D´emonstration.

D’après la propriété précédente, il existe k ∈R+ tel que ∀x∈E ku(x)k ≤kkxk.

Il existe une suite (f_n) dansE([a, b], E) telle que f_n ^k.k−→^∞

n→+∞f. Soit n ∈N. Pour toutx∈[a, b],ku◦f_n(x)−u◦f(x)k ≤kkf_n(x)−f(x)k ≤k sup

t∈[a,b]

kf_n(t)−f(t)k, donc sup

t∈[a,b]

ku◦f_n(t)−u◦f(t)k ≤k sup

t∈[a,b]

kf_n(t)−f(t)k −→

n→+∞0, ce qui prouve queu◦f_n ^k.k−→^∞

n→+∞u◦f.

Or on sait que, pour tout n∈N,u◦f_nest une application en escalier de [a, b] dansF, donc u◦f est une application r´egl´ee de [a, b] dans F.

Alors le fait que u◦f_n∈ E([a, b], F) et u◦f_n −→^k.k^∞

n→+∞u◦f implique que Z b

a

u◦f_n(t)dt −→

n→+∞

Z b

a

u◦f. D’autre part, les applications f_n ´etant en escaliers, Z b

a

u◦f_n(t)dt =u Z b

a

f_n(t)dt

n→+∞−→ u Z b

a

f(t)dt

car u est continue, donc

Z b

a

u◦f =u Z b

a

f(t)dt

.

Propriété. On suppose que E est de dimension finie et que e = (e₁, . . . , e_p) est une base de E. Soit f ∈ R([a, b], E). Notons f₁, . . . , f_p les applications coordonnées de f,

(13)

Théorie de l’intégration 3 Intégration des applications réglées de sorte que, pour tout t ∈ [a, b], f(t) =

n

X

j=1

f_j(t)e_j. Alors f₁, . . . , f_p sont r´egl´ees et Z b

a

f(t) dt=

n

X

j=1

Z b

a

f_j(t) dt

e_j. D´emonstration.

Notons e^∗ = (e^∗₁, . . . , e^∗_p) la base duale de e. Pour tout j ∈ Np, f_j = e^∗_j ◦f, or e^∗_j est linéaire continue (carE est de dimension finie) doncfj est réglée etRb

a fj =e^∗_j Rb

a f

. Ainsi

Z b

a

f = X

1≤j≤p

e^∗_j Z b

a

f

e_j =

n

X

j=1

Z b

a

f_j(t)dt

e_j.

Remarque. Réciproquement, si f₁, . . . , f_p sont réglées, alors f est aussi réglée : c’est

´

evident en utilisant la caractérisation des applications réglées par les limites.

Propri´et´e. Supposons que E =

p

Y

i=1

E_i, où pour tout i ∈ Np, E_i est un espace de Banach. Soit f ∈ R([a, b], E). Notons f₁, . . . , f_p les applications composantes de f, de sorte que, pour tout t ∈[a, b],f(t) = (f₁(t), . . . , f_p(t)). Alors f₁, . . . , f_p sont réglées et Z b

a

f = Z b

a

f_i

1≤i≤p

. D´emonstration.

E est bien un espace de Banach, car si (x_n) est une suite de Cauchy de E, on peut montrer en passant aux “ε” que les suites composantes sont des suites de Cauchy des E_i, donc elles sont convergentes, donc (x_n) est ´egalement convergente.

Soitj ∈Np. Notonsp_j : E −→E_jdéfinie parp_j(x₁, . . . , x_n) = x_j.p_j est lipschitzienne, donc c’est une application linéaire continue. Or fj = pj ◦ f, donc fj est réglée et Rb

a f_j =p_j Rb

af

. On en d´eduit que Z b

a

f =

p_j Z b

a

f

1≤j≤p

= Z b

a

f_j(t)dt

1≤j≤p

. Remarque. Réciproquement, si f1, . . . , fp sont réglées, alors f est aussi réglée : c’est

´

evident en utilisant la caractérisation des applications réglées par les limites.

Inégalité triangulaire : Pour tout f ∈ R([a, b], E), t7−→ kf(t)k est réglée et

Z b

a

f(t)dt

≤ Z b

a

kf(t)kdt.

D´emonstration.

Soit f ∈ R([a, b], E). Il existe (f_n)n∈N∈ E([a, b], E)^N telle que f_n −→^k.k^∞

n→+∞f.

Pour tout t ∈ [a, b], |kf_n(t)k − kf(t)k| ≤ kf_n(t)− f(t)k ≤ kf_n − fk∞, donc par passage au sup, sup

t∈[a,b]

|kf_n(t)k − kf(t)k| ≤ kf_n−fk_∞ −→

n→+∞0. On en déduit que la suite d’applications en escalier (t7−→ kfn(t)k)n∈N converge uniformément verst 7−→ kf(t)k, donc cette dernière application est réglée et

Z b

kf(t)k dt = lim

n→+∞

Z b

kfn(t)k dt

,

(14)

Théorie de l’intégration 3 Intégration des applications réglées mais d’après l’inégalité triangulaire pour les intégrales d’applications en escalier, pour tout n ∈N,

Z b

a

f_n(t)dt

≤ Z b

a

kf_n(t)kdt, et on conclut en faisant tendre n vers +∞

Propriété. Sif est une application réglée à valeurs dansR+, Z b

a

f ≥0.

D´emonstration.

Z b

a

f(t) dt= Z b

a

|f(t)| dt ≥

Z b

a

f(t) dt

≥0, d’après l’inégalité triangulaire.

Corollaire. Si f, g ∈ R([a, b], E), alors [∀t ∈ [a, b], f(t) ≤ g(t)] =⇒ Rb

a f ≤ Rb a g : l’int´egrale est croissante.

D´emonstration.

g−f ≥0, donc Rb

a(g−f) = Rb

a g−Rb

a f ≥0.

Exemple. Si f est r´egl´ee,

Z b

a

f(t)dt

≤(b−a) sup

t∈[a,b]

kf(t)k.

Propriété. Soitf une application réglée (resp : continue par morceaux) de [a, b] dans E. Si g est une application de [a, b] dansE qui ne diffère def qu’en un nombre fini de points de [a, b], alorsg est réglée (resp : continue par morceaux) etRb

af =Rb a g.

D´emonstration.

g−f est nulle sauf en un nombre fini de réels de [a, b], donc c’est une application en escalier sur [a, b] qui ne différe de l’application identiquement nulle qu’en un nombre fini de points, donc g = (g−f) +f est réglée et Rb

a g =Rb

a f+Rb

a(g−f) = Rb a f. Relation de Chasles : soit f ∈ R([a, b], E) et c∈]a, b[.

Alorsf|_[a,c] et f|_[c,b] sont r´egl´ees et Z b

a

f = Z c

a

f+ Z b

c

f. D´emonstration.

Soit f ∈ R([a, b], E). Il existe (f_n)n∈N∈ E([a, b], E)^N telle que f_n −→^k.k^∞

n→+∞f. Pour tout n∈N, f_n|_[a,c] et f_n|_[c,b] sont des applications en escalier.

De plus sup

t∈[a,c]

kf_n(t)−f(t)k ≤ sup

t∈[a,b]

kf_n(t)−f(t)k, doncf_n|_[a,c] ^k.k−→^∞

n→+∞f|_[a,c]et de mˆeme, f_n|_[c,b] −→^k.k^∞

n→+∞f|_[c,b], donc f|_[a,c] etf|_[c,b] sont r´egl´ees.

De plus, d’apr`es la relation de Chasles pour les applications en escalier, Z b

a

f_n = Z c

a

f_n|_[a,c]+ Z b

c

f_n|_[c,b] −→

n→+∞

Z c

a

f + Z b

c

f, or Z b

a

f_n −→

n→+∞

Z b

a

f, donc d’apr`es l’unicit´e de la limite

Z b

a

f = Z c

a

f + Z b

c

f.

Convention : Si f est une application d´efinie en α ∈R, on convient Z α

α

f = 0.

(15)

Théorie de l’intégration 4 Sommes de Riemann Convention : Si f : [a, b]−→E est réglée, on convient que

Z a

b

f =− Z b

a

f.

Propriété. La relation de Chasles se généralise au cas d’une application f réglée sur l’intervalle [min(a, b, c),max(a, b, c)], les réels (a, b, c) étant quelconques.

D´emonstration.

Soit f : [min(a, b, c),max(a, b, c)]−→E une application réglée. Avec les conventions précédentes, il s’agit de montrer que

Z b

a

f = Z c

a

f + Z b

c

f. C’est clair si a=c ou bienb =c ou encore a=b.

C’est connu lorsque a < c < b.

Supposons que c < a < b : on sait que Z b

c

f = Z a

c

f + Z b

a

f,

donc Z b

a

f =− Z a

c

f+ Z b

c

f = Z c

a

f + Z b

c

f.

Les autres cas se traitent de la mˆeme fa¸con.

Remarque. Avec ces conventions, les égalités établies dans ce paragraphe restent valables, mais ce n’est pas le cas des inégalités.

4 Sommes de Riemann

Notation. On fixe une application f de [a, b] dansE.

Définition. On appelle subdivision pointée de [a, b] tout couple (σ, ξ), oùσ = (ai)0≤i≤n

est une subdivision de [a, b] et o`u ξ= (ξ_i)1≤i≤n v´erifie ∀i∈Nn ξ_i ∈[ai−1, a_i].

Notation. On notera S⁰ l’ensemble des subdivisions point´ees de [a, b].

Si (σ, ξ) = ((ai)0≤i≤n,(ξi)1≤i≤n)∈ S⁰, on noterafσ,ξ l’application en escalier d´efinie par

∀i∈Nn ∀x∈]ai−1, a_i[ f_σ,ξ(x) =f(ξ_i),

les valeurs de fσ,ξ en les pointsa0, . . . , an ´etant arbitrairement choisies.

Définition. Soit (σ, ξ) = ((a_i)0≤i≤n,(ξ_i)1≤i≤n) ∈ S⁰. On appelle somme de Riemann associée à f et à (σ, ξ) la quantité

S(f, σ, ξ) = Z b

a

f_σ,ξ =

n

X

i=1

(a_i−ai−1)f(ξ_i).

Théorème. Si f est une application réglée de [a, b] dans E,

∀ε∈R^∗+ ∃α∈R^∗+ ∀(σ, ξ)∈ S⁰ (δ(σ)≤α=⇒ kS(f, σ, ξ)− Z b

a

fk ≤ε).

(16)

Théorie de l’intégration 4 Sommes de Riemann Démonstration.

La démonstration est à connaˆıtre dans le cas particulier où f est continue : alors f est uniformément continue. Soit ε >0. Il existe α > 0 tel que, pour tout x, y ∈ [a, b],

|x−y| ≤α=⇒ kf(x)−f(y)k ≤ ε b−a.

Soit (σ, ξ) = ((a_i)0≤i≤n,(ξ_i)1≤i≤n)∈ S⁰ tel queδ(σ)≤α. D’apr`es la relation de Chasles, S(f, σ, ξ)−

Z b

a

f =

n

X

i=1

(a_i−ai−1)f(ξ_i)− Z ai

ai−1

f(t) dt

=

n

X

i=1

Z ai

ai−1

(f(ξ_i)−f(t)) dt, or pour tout i∈ Nⁿ et t ∈[ai−1, ai], |ξi−t| ≤δ(σ) ≤α, donc kf(ξi)−f(t)k ≤ ε

b−a. Ainsi, kS(f, σ, ξ)−

Z b

a

fk =k

n

X

i=1

Z ai

ai−1

(f(ξ_i)−f(t)) dtk ≤

n

X

i=1

Z ai

ai−1

kf(ξ_i)−f(t)k dt, puis kS(f, σ, ξ)−

Z b

a

fk ≤

n

X

i=1

Z ai

ai−1

ε

b−a dt=ε.

Supposons maintenant que f est une application en escalier. Notons s = (b_j)0≤j≤p

une subdivision de [a, b] qui est adapt´ee `a f.

Soit `a nouveau (σ, ξ) = ((ai)0≤i≤n,(ξi)1≤i≤n) une subdivision point´ee de [a, b].

Soit i∈Nn. Lorsque [ai−1, a_i]∩A(s) =∅, f est constante sur [ai−1, a_i], donc

Z ai

ai−1

(f(ξ_i)−f(t))dt = 0. Sinon, en posant M =kfk∞, k

Z ai

ai−1

(f(ξi)−f(t))dtk ≤ Z ai

ai−1

(kf(ξi)k+kf(t)k)dt ≤2M δ(σ), donc kS(f, σ, ξ)−

Z b

a

fk ≤2N M δ(σ),

o`uN est le cardinal de B ={i∈Nⁿ/[a_i−1, a_i]∩A(s)6=∅}.

Or pour tout j ∈ {0, . . . , p}, b_j appartient au plus `a deux intervalles de la forme [ai−1, a_i], doncN ≤2(p+ 1). En effet, plus formellement,

B = [

0≤j≤p

{i∈Nⁿ / [ai−1, ai]∩ {bj} 6=∅}, donc

|B| ≤

p

X

j=0

{i∈Nn / b_j ∈[ai−1, a_i]} ≤

p

X

j=0

2 = 2(p+ 1).

On a ainsi montr´e que, pour tout (σ, ξ)∈ S⁰, kS(f, σ, ξ)−

Z b

a

fk ≤4(p+ 1)M δ(σ). On en d´eduit que, pour tout ε >0, en choisissant α = ε

4(p+ 1)(M + 1), pour tout (σ, ξ) ∈ S⁰, lorsque δ(σ) ≤ α, on a kS(f, σ, ξ)−

Z b

a

fk ≤ε.

Pla¸cons-nous maintenant dans le cas général, où f est seulement supposée réglée.

Soit ε >0. Il existe g ∈ E([a, b], E) telle quekf −gk∞≤ ε 3(b−a).

D’après le point précédent appliqué à g, il existe α > 0 tel que, pour tout (σ, ξ)∈ S⁰,

(17)

Th´eorie de l’int´egration 4 Sommes de Riemann lorsque δ(σ)≤α, on a kS(g, σ, ξ)−

Z b

a

gk ≤ ε 3.

Soit (σ, ξ) = ((a_i)_0≤i≤n,(ξ_i)_1≤i≤n)∈ S⁰ tel queδ(σ)≤α. D’après l’inégalité triangulaire, kS(f, σ, ξ)−

Z b

a

fk ≤ kS(f, σ, ξ)−S(g, σ, ξ)k+kS(g, σ, ξ)− Z b

a

gk+k Z b

a

g− Z b

a

fk.

OrkS(f, σ, ξ)−S(g, σ, ξ)k=k

n

X

i=1

(a_i−ai−1)(f(ξ_i)−g(ξ_i)k ≤

n

X

i=1

(a_i−ai−1)kf−gk∞ ≤ ε 3, donc kS(f, σ, ξ)−

Z b

a

fk ≤ ε 3 +ε

3 +ε 3 =ε.

Remarque. Dans cette démonstration, on montre la propriété pour les applications en escalier, puis on prolonge cette propriété aux applications réglées par limite uniforme.

Cette strat´egie se retrouve dans l’exercice qui suit.

Exercice. Lemme de Riemann-Lebesgue. Soient (a, b)∈ R² aveca < b et f : [a, b]−→C une application continue par morceaux.

Montrer que Z b

a

f(t)e^intdt −→

n→+∞0.

Solution :

• Premi`ere ´etape. On suppose que f est constante.

On suppose donc qu’il existe C∈C tel que ∀t ∈[a, b] f(t) = C.

Ainsi

Z b

a

f(t)e^intdt

=

C e^int

in b

a

≤ 2

n|C| −→

n→+∞0.

• Deuxi`eme ´etape. On suppose que f est une application en escalier.

On suppose donc qu’il existe une subdivision (a_k)0≤k≤p de [a, b] et une famille (C_k)1≤k≤p de complexes telles que

∀k ∈N^p ∀t ∈]a_k−1, a_k[ f(t) = C_k. Ainsi

Z b

a

f(t)e^intdt =

p

X

k=1

Z a_k

ak−1

f(t)e^intdt −→

n→+∞0 d’après la première étape.

• Troisième étape. Cas général.

Il existe une suite (ϕ_p)p∈N d’applications en escalier de [a, b] dansC qui converge uniform´ement sur [a, b] vers f.

Soient n∈N etp∈N.

Z b

a

f(t)e^intdt

=

Z b

a

(f(t)−ϕ_p(t))e^intdt+ Z b

a

ϕ_p(t)e^intdt

≤ Z b

a

|(f(t)−ϕp(t))|dt+

Z b

a

ϕp(t)e^intdt

≤(b−a) sup

t∈[a,b]

|f(t)−ϕ_p(t)|+

Z b

a

ϕ_p(t)e^intdt .

(18)

Th´eorie de l’int´egration 5 Primitives Soitε >0. Il existeP ∈Ntel que pour toutp≥P, sup

t∈[a,b]

|f(t)−ϕ_p(t)| ≤ ε 2(b−a). Ainsi, pour toutn ∈N,

Z b

a

f(t)e^intdt

≤ ε 2+

Z b

a

ϕ_P(t)eîntdt . D’après la deuxième étape

Z b

a

ϕ_P(t)e^intdt −→

n→+∞0, donc il existeN ∈N tel que pour tout n≥N

Z b

a

ϕ_P(t)e^intdt

≤ ε 2. Soit n≥N.

Z b

a

f(t)e^intdt

≤ ε 2 +ε

2 ≤ε. Ainsi Z b

a

f(t)e^intdt −→

n→+∞0.

Remarque. En adaptant l’exercice précédent, on peut également montrer que, lorsque f est réglée,

Z b

a

f(t)e^iλtdt −→

λ→+∞

λ∈R

0.

Corollaire. Soit (σ_n, ξ_n)n∈N∈ S⁰^Nune suite de subdivisions pointées dont le pas tend vers 0. Alors, sif est réglée, la suite des sommes de Riemann associée à f et à (σ_n, ξ_n) converge vers

Z b

a

f. Plus pr´ecis´ement, en notant, pour tout n∈N, σ_n= (a_i,n)0≤i≤ϕ(n)

etξ_n = (ξ_i,n)1≤i≤ϕ(n), sif est r´egl´ee et si max

1≤i≤ϕ(n)(a_i,n−ai−1,n) −→

n→+∞0, alors

ϕ(n)

X

i=1

(a_i,n−ai−1,n)f(ξ_i,n) −→

n→+∞

Z b

a

f. D´emonstration.

Soit ε >0. Il existeα >0 tel que ∀(σ, ξ)∈ S⁰ (δ(σ)≤α=⇒ kS(f, σ, ξ)− Z b

a

fk ≤ε).

δ(σ_n) −→

n→+∞0, donc il existe N ∈ N, tel que pour tout n ≥ N, δ(σ_n) ≤ α. Alors pour tout n ≥N, kS(f, σ_n, ξ_n)−

Z b

a

fk ≤ε).

Cas particulier : sif est continue par morceaux, b−a

n

X

i=1

f(a+ib−a n ) −→

n→+∞

Z b

a

f.

5 Primitives

Notation. Conform´ement au programme officiel, on se limite au cas o`uE est un K- espace vectoriel de dimension finie. On sait alors qu’il est complet, donc c’est bien un espace de Banach.

On fixe un intervalleI de R d’int´erieur non vide et une application f :I −→E.

Lemme : f est constante surI si et seulement si f est d´erivable sur I et si ∀x∈I, f⁰(x) = 0.