3. Th´eorie de l’int´egrale de Lebesgue (1875-1941)

3. Th´ eorie de l’int´ egrale de Lebesgue (1875-1941)

1 Ensembles n´egligeables, propri´et´e vraie[pp]

2 Fonctions mesurables

3 Int´egrale des fonctions simples

4 Int´egrale des fonctions positives

5 Th´eor`eme de convergence monotone (TCM) (Beppo Levi, 1875-1961)

6 Cons´equences du TCM

7 D´efinition de l’int´egrale de Lebesgue etL¹((Ω,A, µ);C)

8 Propri´et´es de l’int´egrale de Lebesgue

1. Ensembles n´ egligeables, propri´ et´ e vraie [pp]

(Ω,A, µ) d´esigne un espace mesur´e.

D´efinitions

• E ⊂Ωest n´egligeable s’il existe A∈ Atel que E⊂A et µ(A) = 0

• On dit qu’une propri´et´e P est vraie (µ-)presque partoutsi l’ensemble des x∈Ωpour lesquels elle est fausse est n´egligeable :

P [pp]⇐⇒ {x^d´ef ∈X : non P(x)} est n´egligeable.

Exemple : si µest une mesure compl`ete (voir TD),f =g [pp]signifie µ({x∈X : f(x)6=g(x)}) = 0.

2. Fonctions mesurables

D´efinition (fonction mesurable)

Soient(Ω,A) et(Ω⁰,A⁰) deux espaces mesurables.f : Ω→Ω⁰ est mesurable si f⁻¹(A⁰)⊂ A,i.e.

(∀A⁰ ∈ A⁰) f⁻¹(A⁰)∈ A

analogie avec fonction continue

Exercice : Si A⁰ =σ(C), tribu engendr´ee par F ⊂ P(Ω⁰), alorsf : Ω→Ω⁰ est mesurable si et seulement si

(∀A⁰∈ F) f⁻¹(A⁰)∈ A.

Exemple : f :X →[−∞,+∞]est mesurable si et seulement si (∀a∈R) f⁻¹(]a,+∞])∈ A.

maniement de la mesurabilit´ e

Toute compos´ee d’applications mesurables est mesurable.

1A mesurable⇐⇒A∈ A

Pour f, g: Ω→[−∞,+∞]mesurables, f+g etf·g sont mesurables ; Pour toute suite de fonctions fn: Ω→[−∞,+∞]mesurables,

sup

n∈Nf_n, inf

n∈Nf_n, lim sup

n→∞

f_n, lim inf

n→∞ f_n sont mesurables. En particulier si, de plus, la limite simple lim

n→∞f_n existe, alors elle mesurable.

(voir TD)

3. Int´ egrale des fonctions simples

(Ω,A, µ) d´esigne un espace mesur´e.

D´efinition (fonction simple)

s: Ω→[0,+∞[est une fonction simple si elle estmesurable et ne prend qu’un nombre fini de valeurs distinctes.

Ecriture non unique :

s=

n

X

k=1

ck1Ak

mais on peut imposer A_k∩A_k⁰ =∅ pour k6=k⁰, auquel cas : (∀x∈Ak) s(x) =ck

Exemple (pour (Ω,A, µ) = (R,B, dx))

s= 21]−π,2]+ 51[0,π]= 21]−π,0[+ 71[0,2]+ 51]2,π]

D´ efinition de l’int´ egrale des fonctions simples

D´efinition (int´egrale d’une fonction simple)

Z

Ω

sdµ^d´=^ef

n

X

k=1

c_kµ(A_k) ∈[0,+∞]

Pour E ∈ A, la fonction1E·sest simple et on pose : Z

E

sdµ^d´=^ef Z

Ω

1E ·sdµ.

Exemple (pour (X,A, µ) = (R,B, dx), suite) V´erifier que les deux formules s= 21]−π,2]+ 51[0,π]et s= 21]−π,0[+ 71[0,2]+ 51]2,π] conduisent au mˆeme r´esultat :

Z

Rsdx= 7π+ 4

Propri´ et´ es de l’int´ egrale des fonctions simples

Soient s, s1, s2 : Ω→[0,+∞[des fonctions simples.

Propri´et´es (int´egrale des fonctions simples) additivit´e :

Z

Ω

(s₁+s₂)dµ= Z

Ω

s₁dµ+ Z

Ω

s₂dµ mesure associ´ee : l’application

A −→ [0,+∞]

A 7−→

Z

Ω

1A·sdµ est une mesure.

D´emonstration.

exercice.

4. Int´ egrale des fonctions positives

D´efinition (int´egrale d’une fonction positive) Soit f : Ω→[0,+∞]mesurable.

Z

Ω

f dµ^d´= sup^ef Z

Ω

sdµ : ssimple et s≤f

∈[0,+∞]

Pour E ∈ A, on a encore 1E ·f : Ω→[0,+∞]mesurableet on pose Z

E

f dµ^d´=^ef Z

Ω

1E ·f dµ.

Premi` eres propri´ et´ es de l’int´ egrale des fonctions positives

Soient f, g: Ω→[0,+∞]mesurables.

(monotonie)

0≤f ≤g=⇒0≤ Z

Ω

f dµ≤ Z

Ω

gdµ.

(∀E ∈ A) µ(E) = 0 =⇒ Z

E

f dµ= 0.

Z

Ω

f dµ <∞=⇒f <∞ [pp].

f = 0 [pp]⇐⇒

Z

Ω

f dµ= 0.

(Chasles g´en´eralis´e) Pour tout A∈ A,

Z

Ω

f dµ= Z

A

f dµ+ Z

Ω\A

f dµ.

5. Th´ eor` eme de convergence monotone (Beppo Levi, 1875-1961)

Th´eor`eme (convergence monotone)

Soit une suite (f_n)de fonctions f_n: Ω→[0,+∞]mesurables, croissante: (∀n∈N) fn(x)≤fn+1(x) [pp]

Alors :

n→+∞lim Z

Ω

f_n= Z

Ω

n→+∞lim f_n

D´emonstration.

`

a r´ediger.

6. Cons´ equences du TCM (1)

Th´eor`eme

Soit (Ω,A, µ)un espace mesur´e et soitf : Ω→[0,+∞]une fonction mesurable. Alors les fonctions simples

fn=

n2ⁿ−1

X

k=0

k2⁻ⁿ1f⁻¹([k2⁻ⁿ,(k+1)2⁻ⁿ[) + n1f⁻¹([n,+∞])

forment une suite croissante telle que (∀x∈Ω) lim

n→+∞fn(x) =f(x).

Et donc (Beppo Levi) : Z

Ω

f dµ= lim

n→+∞

Z

Ω

fndµ

Cons´ equences du TCM (2)

Th´eor`eme (R⁺-lin´earit´e de l’int´egrale des fonctions positives) Pour tous f, g : Ω→[0,+∞]mesurables, α, β≥0,

Z

Ω

(αf+βg)dµ=α Z

Ω

f dµ+β Z

Ω

gdµ.

Cons´ equences du TCM (3)

Th´eor`eme (int´egration des s´eries de fonctions positives mesurables) Soient des fonctions f_n: Ω→[0,+∞]mesurables. Alors :

Z

Ω

∞

X

n=0

fn

! dµ=

∞

X

n=0

Z

Ω

fndµ.

Cons´ equences du TCM (4)

Th´eor`eme (mesure associ´ee `a une fonction positive mesurable) Soit f : Ω→[0,+∞]une fonction mesurable. Alors l’application

A −→ [0,+∞]

A 7−→

Z

Ω

1A·f dµ est une mesure.

7. D´ efinition de l’int´ egrale de Lebesgue et L

((Ω, A, µ); C )

On se ram`ene aux fonctions positives !

Pour f : Ω→[−∞,+∞](mesurable), on pose : f⁺(x) = max(f(x),0) f⁻(x) = max(−f(x),0)

de sorte que :

(i) f⁺, f⁻: Ω→[0,+∞] mesurables (ii) f =f⁺−f⁻

(iii) |f|=f⁺+f⁻ (iv) 0≤f⁺, f⁻≤ |f|

D´ efinition de l’int´ egrale de Lebesgue (1)

Soit (Ω,A, µ)un espace mesur´e.

D´efinitions (int´egrale de Lebesgue, cas f ∈R)

• On dit que f : Ω→[−∞,+∞]est Lebesgue-int´egrable si Z

Ω

|f|dµ <+∞.

(En particulier : |f|<∞ [pp].) Dans ce cas, on a

Z

Ω

f⁺dµ <+∞ et Z

Ω

f⁻dµ <+∞; ce qui permet de d´efinir :

Z

Ω

f dµ^d´=^ef Z

Ω

f⁺dµ− Z

Ω

f⁻dµ ∈R

• Soit E∈ A. On dit quef : Ω→[−∞,+∞]est Lebesgue-int´egrable sur E si 1E·f est Lebesgue-int´egrable et on pose

Z

E

f dµ^d´=^ef Z

Ω

1E ·f dµ ∈R

espaces de Lebesgue L

, L

• L¹ d´esigne l’ensemble des fonctions Lebesgue-int´egrable : L¹ =

f : Ω→R : Z

Ω

|f|<∞

• L¹ d´esigne l’ensemble des classes d’´equivalence des fonctions Lebesgue-int´egrable pour l’´egalit´e presque partout :

L¹ =L¹/=_[pp]

• S’il faut lever des ambigu¨ıt´es, on pr´ecisera : L¹((Ω,A, µ);R)

Cons´ equence fondamentale

f ∈L¹ ⇐⇒ |f| ∈L¹ Montrer f ∈L¹, revient `a majorer |f|

(∃g∈L¹) |f| ≤g

=⇒ f ∈L¹

D´ efinition de l’int´ egrale de Lebesgue (2)

D´efinitions (int´egrale de Lebesgue, cas f ∈C)

• On dit quef ∈L¹(Ω;C) si Z

Ω

|f|dµ <+∞.

Dans ce cas, on a Z

Ω

|Re(f)|dµ <+∞ et Z

Ω

|Im(f)|dµ <+∞; ce qui permet de d´efinir :

Z

Ω

f dµ^d´=^ef Z

Ω

Re(f)dµ+i Z

Ω

Im(f)dµ ∈C

• Soit E∈ A. On dit quef ∈L¹(E;C) si 1E ·f ∈L¹(Ω;C) et on pose Z

E

f dµ^d´=^ef Z

Ω

1E·f dµ ∈C

D´ efinition de l’int´ egrale de Lebesgue (3)

f : Ω −→ Rⁿ x 7−→ f(x) =





 f1(x)

... f_n(x)







D´efinition (int´egrale de Lebesgue, cas f ∈Rⁿ) On dit que f ∈L¹(Ω;Rⁿ) si

Z

Ω

|f|dµ <+∞.

Dans ce cas, on a ∀k∈[[1, n]], fk ∈L¹(Ω;R); ce qui permet de d´efinir :

Z

Ω

f dµ^d´=^ef











 Z

Ω

f1dµ ... Z

Ω

f_ndµ













∈Rⁿ

8. Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Lebesgue (1)

Propri´et´e (R-lin´earit´e)

(i) Pour tous f, g∈L¹(Ω;R), on a f+g∈L¹(Ω;R) et Z

Ω

(f +g)dµ= Z

Ω

f dµ+ Z

Ω

gdµ

(ii) Pour tous f ∈L¹(Ω;R) et λ∈R, on aλf ∈L¹(Ω;R) et Z

Ω

λf dµ=λ Z

Ω

f dµ

En particulier, L¹(Ω;R) est unR-espace vectoriel.

D´emonstration.

exercice.

Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Lebesgue (2)

Propri´et´e (monotonie) Pour tous f, g∈L¹(Ω;R),

f ≤g [pp] =⇒ Z

Ω

f dµ≤ Z

Ω

gdµ

D´emonstration.

exercice.

Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Lebesgue (3)

Propri´et´e (C-lin´earit´e)

(i) Pour tous f, g∈L¹(Ω;C), on a f+g∈L¹(Ω;C) et Z

Ω

(f +g)dµ= Z

Ω

f dµ+ Z

Ω

gdµ

(ii) Pour tous f ∈L¹(Ω;C) etλ∈C, on aλf ∈L¹(Ω;C) et Z

Ω

λf dµ=λ Z

Ω

f dµ

En particulier, L¹(Ω;C) est unC-espace vectoriel.

D´emonstration.

exercice.

Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Lebesgue (4)

Propri´et´e (majoration) Pour tous f ∈L¹,

Z

Ω

f dµ

≤ Z

Ω

|f|dµ

valable pour f ∈R, C, Rⁿ, en adaptant| · | au contexte . . . D´emonstration.

exercice.