Chapitre II : MATRICES ET OPERATIONS I- Notion de matrice Définition 1 :

1

Chapitre II : MATRICES ET OPERATIONS

I- Notion de matrice

Définition 1 : ݊ et ݌ désignent deux entiers naturels non nuls.

On appelle matrice de format (݊, ݌) tout tableau de nombres réels à ݊ lignes et ݌ colonnes.

Les nombres réels du tableau sont appelés coefficients de la matrice et sont notés ܽ_௜௝ où ݅ désigne le numéro de la ligne et ݆ celui de la colonne.

Notation générale : ܯ = ൮

ܽ_ଵଵ ܽ_ଵଶ

ܽ_ଶଵ ܽ_ଶଶ … ܽ_ଵ௣

… ܽ_ଶ௣

⋮ ⋮

ܽ_௡ଵ ܽ_௡ଶ ⋱ ⋮

… ܽ_௡௣

൲ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௣ ୡ୭୪୭୬୬ୣୱ ۙۖۘ

ۖۗ

݊ lignes

Cas particuliers :

• Lorsque ݌ = 1, on dit que ܯ est une matrice colonne.

• Lorsque ݊ = 1, on dit que ܯ est une matrice ligne.

• Lorsque ݊ = ݌, on dit que ܯ est une matrice carrée d’ordre ݊. Dans ce cas, les coefficients ܽ_௜௜

s’appellent les coefficients de la diagonale ou coefficients diagonaux.

Exemples :

1) ܣ = ቀ−2 35 1ቁ : on a donc ܽ_ଵଵ = ; ܽ_ଵଶ= ; ܽ_ଶଵ = et ܽ_ଶଶ = .

2) La matrice identité d’ordre ݊ est la matrice carrée d’ordre ݊ dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1. On la note ܫ_௡.

Par exemple, ܫ_ଷ = ൭1 0 0 0 1 0 0 0 1൱.

Définition 2 : Dire que deux matrices sont égales signifie qu’elles ont le même format et que les nombres qui occupent la même position sont égaux.

Définition 3 : On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les coefficients non diagonaux sont tous nuls.

Remarque : pour toute la suite du chapitre, on ne manipulera que des matrices carrées et des matrices colonnes.

II- Opérations sur les matrices

1) Addition et soustraction de deux matrices

Définition 4 : Soient ܣ et ܤ deux matrices carrées de même taille (ou deux matrices colonne de même taille). La somme (respectivement la différence) des matrices ܣ et ܤ, notée ܣ + ܤ (respectivement ܣ − ܤ) est la matrice obtenue en additionnant (soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.

Exemple : Soit ܣ = ൭ 1 1 −1

−2 4 0

3 0 −1൱ et ܤ = ൭ 3 −1 1

−2 1 −3 1 −1 1 ൱.

Alors ܣ + ܤ = ൭ ൱ et ܣ − ܤ = ൭ ൱

2 2) Multiplication d’une matrice par un nombre réel

Définition 5 : Soient ܣ une matrice carrée (ou colonne) et ݇ un nombre réel. Le produit de la matrice ܣ par le nombre réel ݇ est la matrice notée ݇ܣ obtenue en multipliant chaque coefficient de ܣ par ݇. Exemple : Soit ܣ = ൭ 1 −1 −1

3 4 1

−1 2 −5൱ et ܤ = ൭ 4 −6 10

−2 2 −2 18 −6 12൱. Alors 2ܣ = ൭ ൱ et −^ଵ_ଶܤ = ൭ ൱

3) Multiplication d’une matrice par une matrice colonne

Définition 6 : Soient ܣ une matrice carrée de taille ݊ et ܤ une matrice colonne à ݊ lignes.

ܣ = ൮

ܽ_ଵଵ ܽ_ଵଶ

ܽ_ଶଵ ܽ_ଶଶ … ܽ_ଵ௡

… ܽ_ଶ௡

⋮ ⋮

ܽ_௡ଵ ܽ_௡ଶ ⋱ ⋮

… ܽ_௡௡

൲ et ܤ = ൮

ܾ_ଵ

ܾ_ଶ

ܾ⋮_௡

൲

Le produit de la matrice ܣ par la matrice ܤ est la matrice colonne à ࢔ lignes notée ܣܤ dont le coefficient de la i^ème ligne est donné par : ܽ_௜ଵ× ܾ_ଵ+ ܽ_௜ଶ× ܾ_ଶ+ ⋯ + ܽ_௜௡× ܾ_௡.

Exemple : Soit ܣ = ൭ 1 2 −2 2 3 1

−2 0 −2൱ et ܤ = ൭−2

−11 ൱ alors ܣܤ = ൭ ൱ = ൭ ൱

4) Multiplication de deux matrices carrées

Définition 7 : Soit ݊ un entier naturel non nul et soient ܣ et ܤ deux matrices carrées de taille ݊. Le produit de la matrice ܣ par la matrice ܤ, noté ܣܤ, est la matrice carrée de taille ࢔ dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par les colonnes de la matrice B.

Exemple : Soit ܣ = ൭ 1 1 −1

−1 0 2

−2 −1 0 ൱ et ܤ = ൭5 0 1 6 1 −3 0 0 1 ൱.

Alors ܣܤ = ൭ ൱

3 5) Propriétés du calcul matriciel

Soient A, B et C trois matrices carrées de même taille.

Soient ݇ et ݇’ deux réels.

a) Addition de matrices Propriété 1 :

Commutativité : ܣ + ܤ = ܤ + ܣ

Associativité : (ܣ + ܤ) + ܥ = ܣ + (ܤ + ܥ) = ܣ + ܤ + ܥ

b) Multiplication d’une matrice par un nombre réel Propriété 2 :

(݇ + ݇′)ܣ = ݇ܣ + ݇′ܣ

݇(ܣ + ܤ) = ݇ܣ + ݇ܤ ൫݇݇^′൯ܣ = ݇(݇^′ܣ)

(݇ܣ)ܤ = ݇(ܣܤ) = ܣ(݇ܤ)

c) Multiplication de matrices Propriété 3 :

Associativité : (ܣ × ܤ) × ܥ = ܣ × (ܤ × ܥ) = ܣ × ܤ × ܥ = ܣܤܥ

Distributivité : ܣ × (ܤ + ܥ) = ܣ × ܤ + ܣ × ܥ et (ܣ + ܤ) × ܥ = ܣ × ܥ + ܤ × ܥ

ܣ × ܤ = et ܤ × ܣ =

Remarque : Dans le cas particulier où ܣ × ܤ = ܤ × ܣ on dit que les matrices ܣ et ܤ commutent.

d) Propriétés de la matrice identité Propriété 4 :

Pour toute matrice carrée A d’ordre ݊, on a : ܣ × ܫ_௡ = ܫ_௡× ܣ = ܣ

6) Puissances des matrices carrées

Définition 8 : Soit ܣ une matrice carrée d’ordre n et p un entier naturel non nul.

On note : ܣ²= ܣ × ܣ ܣ^ଷ = ܣ × ܣ × ܣ

et plus généralement ܣ^௣ = ܣ × ܣ × … × ܣᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

௣ ୤୭୧ୱ

Par convention : Pour toute matrice carrée de taille ݊, on a ܣ^଴ = ܫ_௡.

4 III- Marches aléatoires – Première approche On considère un graphe constitué de deux sommets.

(On reconnaît le graphe de l’activité 2 page 86)

On se déplace d’un sommet à l’autre en suivant les arêtes orientées.

On parle de déplacement ou de pas.

Les valeurs de la figure correspondent aux probabilités de se trouver sur le sommet extrémité sachant que l’on est parti du sommet origine de la flèche : on les appelle les probabilités de transition d’un sommet vers un autre.

Définition 9 : La matrice de transition d’une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j est la probabilité d’arriver en i sachant qu’on est parti de j.

La matrice de transition du graphe ci-dessus est : ܣ = ൭ ൱

Remarque importante : la somme des coefficients d’une même colonne est toujours égale à 1 ! Définition 10 : La matrice colonne « état de la marche aléatoire après ݊ pas » est la matrice colonne donnant les probabilités d’arrivée en chaque sommet après ݊ pas.

Propriété 4 : Soit une marche aléatoire associée à un déplacement sur un graphe dont la matrice de transition est notée ܣ et la matrice colonne de l’état après ݊ pas est notée ܺ_௡.

On a alors, pour tout ݊ ∈ ℕ, ܺ_௡ାଵ= ܣ × ܺ_௡ et ܺ_௡ = ܣ^௡× ܺ_଴

Exemple : On reprend le graphe de départ et on considère l’état initial ܺ_଴ = ቀ10ቁ (C’est-à-dire que la marche aléatoire a pour départ le sommet n°1 du graphe) Calculer ܺ_ଵ, ܺ_ଶ et ܺ_ଷ.

1 2

1/5

3/10

4/5 7/10