Chapitre I : MATRICES ET OPERATIONS

Chapitre I : MATRICES ET OPERATIONS

I- Notion de matrice

Définition 1 : ݊ et ݌ désignent deux entiers naturels non nuls.

On appelle matrice de format (݊, ݌) tout tableau de nombres réels à ݊ lignes et ݌ colonnes.

Les nombres réels du tableau sont appelés coefficients de la matrice et sont notés ܽ_௜௝ où ݅ désigne le numéro de la ligne et ݆ celui de la colonne.

Notation générale : ܯ = ൮

ܽ_ଵଵ ܽ_ଵଶ

ܽ_ଶଵ ܽ_ଶଶ … ܽ_ଵ௣

… ܽ_ଶ௣

⋮ ⋮

ܽ_௡ଵ ܽ_௡ଶ ⋱ ⋮

… ܽ_௡௣

൲ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௣ ୡ୭୪୭୬୬ୣୱ ۙۖۘ

ۖۗ

݊ lignes

Cas particuliers :

• Lorsque ݌ = 1, on dit que ܯ est une matrice colonne.

• Lorsque ݊ = 1, on dit que ܯ est une matrice ligne.

• Lorsque ݊ = ݌, on dit que ܯ est une matrice carrée d’ordre ݊. Dans ce cas, les coefficients ܽ_௜௜

s’appellent les coefficients de la diagonale ou coefficients diagonaux.

Exemples :

1) ܣ = ቀ−2 35 1ቁ : on a donc ܽ_ଵଵ = −2 ; ܽ_ଵଶ = 3 ; ܽ_ଶଵ= 5 et ܽ_ଶଶ= 1.

2) La matrice identité d’ordre ݊ est la matrice carrée d’ordre ݊ dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1. On la note ܫ_௡.

Par exemple, ܫ_ଷ = ൭1 0 0 0 1 0 0 0 1൱.

Définition 2 : Dire que deux matrices sont égales signifie qu’elles ont le même format et que les nombres qui occupent la même position sont égaux.

Définition 3 : On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les coefficients non diagonaux sont tous nuls.

Remarque : pour toute la suite du chapitre, on ne manipulera quasiment que des matrices carrées et des matrices colonnes.

II- Opérations sur les matrices

1) Addition et soustraction de deux matrices

Définition 4 : Soient ܣ et ܤ deux matrices carrées de même taille (ou deux matrices colonne de même taille). La somme (respectivement la différence) des matrices ܣ et ܤ, notée ܣ + ܤ (respectivement ܣ − ܤ) est la matrice obtenue en additionnant (soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.

Exemple : Soit ܣ = ൭ 1 2 −1 2 0 4

−2 1 −3൱ et ܤ = ൭5 1 1 0 1 3 0 −1 1൱.

Alors ܣ + ܤ = ൭ 6 3 0 2 1 7

−2 0 −2൱ et ܣ − ܤ = ൭−4 1 −2 2 −1 1

−2 2 −4൱

2) Multiplication d’une matrice par un nombre réel

Définition 5 : Soient ܣ une matrice carrée (ou colonne) et ݇ un nombre réel. Le produit de la matrice ܣ par le nombre réel ݇ est la matrice notée ݇ܣ obtenue en multipliant chaque coefficient de ܣ par ݇.

Exemple : Soit ܣ = ൭ 1 2 −1 2 0 4

−2 1 −3൱ et ܤ = ൭2 4 6 0 8 −2 0 −4 10൱.

Alors 2ܣ = ൭ 2 4 −2 4 0 8

−4 2 −6൱ et −^ଵ_ଶܤ = ൭−1 −2 −3 0 −4 1 0 2 −5൱

3) Multiplication d’une matrice par une matrice colonne

Définition 6 : Soient ܣ une matrice carrée de taille ݊ et ܤ une matrice colonne à ݊ lignes.

ܣ = ൮

ܽ_ଵଵ ܽ_ଵଶ

ܽ_ଶଵ ܽ_ଶଶ … ܽ_ଵ௡

… ܽ_ଶ௡

⋮ ⋮

ܽ_௡ଵ ܽ_௡ଶ ⋱ ⋮

… ܽ_௡௡

൲ et ܤ = ൮

ܾ_ଵ

ܾ_ଶ

ܾ⋮_௡

൲

Le produit de la matrice ܣ par la matrice ܤ est la matrice colonne à ࢔ lignes notée ܣܤ dont le coefficient de la i^ème ligne est donné par : ܽ_௜ଵ× ܾ_ଵ+ ܽ_௜ଶ× ܾ_ଶ+ ⋯ + ܽ_௜௡× ܾ_௡.

Exemple : Soit ܣ = ൭ 1 2 −1 2 0 4

−2 1 −3൱ et ܤ = ൭ 2

−13 ൱ alors ܣܤ = ቌ 1 (−2)2

××

× 22 2

++ + 20 1

××

× 33 3

++ +

(−1)4 (−3)

××

× (−1)(−1)

(−1)ቍ = ൭9 02൱

4) Multiplication de deux matrices carrées

Définition 7 : Soit ݊ un entier naturel non nul et soient ܣ et ܤ deux matrices carrées de taille ݊. Le produit de la matrice ܣ par la matrice ܤ, noté ܣܤ, est la matrice carrée de taille ࢔ dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par les colonnes de la matrice B.

Exemple : Soit ܣ = ൭ 1 2 −1 2 0 4

−2 1 −3൱ et ܤ = ൭5 1 1 0 1 3 0 −1 1൱.

൭5 1 1 0 1 3 0 −1 1൱

൭ 1 2 −1 2 0 4

−2 1 −3൱ ൭ 5 4 6 10 −2 6

−10 2 −2൱

Alors ܣܤ = ൭ 5 4 6 10 −2 6

−10 2 −2൱

5) Propriétés du calcul matriciel

Soient A, B et C trois matrices carrées de même taille.

Soient ݇ et ݇’ deux réels.

a) Addition de matrices Propriété 1 :

Commutativité : ܣ + ܤ = ܤ + ܣ

Associativité : (ܣ + ܤ) + ܥ = ܣ + (ܤ + ܥ) = ܣ + ܤ + ܥ b) Multiplication d’une matrice par un nombre réel Propriété 2 :

(݇ + ݇′)ܣ = ݇ܣ + ݇′ܣ

݇(ܣ + ܤ) = ݇ܣ + ݇ܤ ൫݇݇^′൯ܣ = ݇(݇^′ܣ)

(݇ܣ)ܤ = ݇(ܣܤ) = ܣ(݇ܤ)

c) Multiplication de matrices Propriété 3 :

Associativité : (ܣ × ܤ) × ܥ = ܣ × (ܤ × ܥ) = ܣ × ܤ × ܥ = ܣܤܥ

Distributivité : ܣ × (ܤ + ܥ) = ܣ × ܤ + ܣ × ܥ et (ܣ + ܤ) × ܥ = ܣ × ܥ + ܤ × ܥ

ܣ × ܤ = ቀ0 00 0ቁ et ܤ × ܣ = ቀ0 00 0ቁ

Remarque : Dans le cas où ܣ × ܤ = ܤ × ܣ on dit que les matrices ܣ et ܤ commutent.

d) Propriétés de la matrice identité Propriété 4 :

Pour toute matrice carrée A d’ordre ݊, on a : ܣ × ܫ_௡ = ܫ_௡× ܣ = ܣ 6) Puissances des matrices carrées

Définition 8 : Soit ܣ une matrice carrée d’ordre n et p un entier naturel non nul.

On note : ܣ²= ܣ × ܣ ܣ^ଷ = ܣ × ܣ × ܣ

et plus généralement ܣ^௣ = ܣ × ܣ × … × ܣᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

௣ ୤୭୧ୱ

Par convention : Pour toute matrice carrée de taille ݊, on a ܣ^଴ = ܫ_௡. III- Matrice inverse d’une matrice carrée

Définition-propriété 1 : Soit ܣ une matrice carrée de taille ݊.

On dit que ܣ est inversible si et seulement s’il existe une matrice carrée ܤ de taille ݊ telle que : ܣ × ܤ = ܤ × ܣ = ܫ_௡.

La matrice ܤ ainsi définie est unique.

On dit alors que la matrice ܤ est la matrice inverse de ܣ et on note : ܤ = ܣ^ିଵ.

Remarques :

1) Il suffit en fait de montrer que ܣ × ܤ = ܫ_௡ ou ܤ × ܣ = ܫ_௡ pour prouver que ܣ est inversible de matrice inverse ܤ (résultat admis).

2) Si l’une des conditions précédentes est vérifiée, on dit que ܣ et ܤ sont inversibles et inverses l’une de l’autre.

3) Tout nombre ܽ non nul admet un inverse noté ܽ^ିଵ mais toute matrice non nulle n’admet pas forcément une matrice inverse…

Exemples :

1) ܫ_௡× ܫ_௡ = ܫ_௡ : donc ܫ_௡ est inversible et égale à son inverse.

2) Pour ܣ = ቀ1 11 2ቁ et ܤ = ቀ 2 −1−1 1 ቁ : ܣ × ܤ = ቀ1 11 2ቁ ቀ 2 −1

−1 1 ቁ = ቀ2 − 1 −1 + 1

2 − 2 −1 + 2ቁ = ቀ1 0

0 1ቁ = ܫ^ଶdonc ܣ est inversible et ܤ = ܣ^ିଵ.

De même ܤ est inversible et ܣ = ܤ^ିଵ. IV- Application aux systèmes linéaires Exemple :

On considère le système (S) suivant : ൜2ݔ − 3ݕ = 15ݔ − 7ݕ = 3 On pose ܣ = ቀ2 −35 −7ቁ, ܷ = ቀݔ

ݕቁ et ܸ = ቀ13ቁ La matrice colonne ܣܷ est égale à : ൬2ݔ − 3ݕ5ݔ − 7ݕ൰

Le système (S) est donc équivalent à l’égalité matricielle : ܣܷ = ܸ Théorème 3 : Soit ܣܷ = ܸ l’écriture matricielle d’un système linéaire.

Si la matrice carrée ܣ est inversible, alors le système admet une unique solution égale à la matrice colonne ܣ^ିଵ× ܸ.

Propriété 2 (admise) : Soit ܣܷ = ܸ l’écriture matricielle d’un système linéaire.

Si la matrice carrée ܣ n’est pas inversible, alors le système admet une infinité de solutions ou aucune solution.

Exercice : Résoudre les systèmes suivants à l’aide d’un calcul matriciel : (ܵ_ଵ) ൜ ݔ − 2ݕ = 34ݔ + 3ݕ = 1 (ܵ_ଶ) ൝ ݔ − ݕ + 3ݖ = 6

−2ݔ + ݕ + ݖ = −4 3ݔ + ݕ + 2ݖ = 7

Le système (ܵ_ଵ) est équivalent à l’égalité matricielle : ܣܷ = ܸ où ܣ = ቀ1 −24 3 ቁ, ܷ = ቀݔ

ݕቁ et ܸ = ቀ31ቁ ܣܷ = ܸ équivaut à ܷ = ܣ^ିଵ× ܸ = ቌ

ଷ ଵଵ

ଶ ଵଵ

−_ଵଵ^ସ _ଵଵ^ଵቍ ቀ31ቁ = ቀ 1

−1ቁ On en déduit que ݔ = 1 et ݕ = −1.

Le système (ܵଶ) est équivalent à l’égalité matricielle : ܣܷ = ܸ où ܣ = ൭ 1 −1 3

−2 1 1

3 1 2൱, ܷ = ቆݔ

ݕݖቇ et ܸ = ൭ 6

−47 ൱

ܣܷ = ܸ équivaut à ܷ = ܣ^ିଵ× ܸ = ۉ

ۈۇ−_ଶଵ^ଵ −_ଶଵ^ହ _ଶଵ^ସ

−^ଵ_ଷ ^ଵ_ଷ ^ଵ_ଷ

ହ ଶଵ

ସ ଶଵ

ଵ ଶଵی

ۋۊ൭ 6

−47 ൱ = ൭ 2

−11 ൱

On en déduit que ݔ = 2, ݕ = −1 et ݖ = 1.