TS-Spé Matrices de LESLIE 2013-2014
Sir P.H. Leslie (1900-1972), statisticien anglais.
Matrice de Leslie :Modélisation de la dynamique d’une population structurée en classes d’âges.
I Matrice carrée d’ordre 2
I.1 Population étudiée
On s’intéresse à une population de souris femelles sachant que
• Chacune de ces souris donne naissance en moyenne à une femelle pendant sa première année de vie et à 8 femelles pendant sa deuxième année ;
• la probabilité pour qu’une souris survive une deuxième année est de 0,25 et il n’y a aucune chance pour qu’une souris survive au-delà de deux ans.
On distingue donc deux catégories de souris : les juvéniles âgées de moins d’un an et les adultes dont l’âge est compris entre un an et deux ans. On note, pour tout instantt (le temps est compté en années, de sorte que test un entier), jtle nombre de souris juvéniles,atcelui des adultes etnt=jt+atle nombre total de souris dans la population étudiée.
I.2 Modélisation mathématique
⊲ Vérifier que les hypothèses précédentes se traduisent par les équations suivantes (S)
jt+1=jt+ 8at
at+1= 0,25jt
⊲ ⊲ En connaissant le nombre de juvéniles et d’adultes au temps initial t = 0, on peut calculer de proche en proche, successivement pour t= 1,2,3, . . . ,les valeurs dejtetat, puis en déduirentainsi que les quotients jt
nt
, at
nt
et nt+1
nt
.
◮ Interpréter les quotients cités ci-dessus.
◮ ◮ En langage Python de préférence, écrire un algorithme qui permette, pour une valeur de t choisie par l’utilisateur, le calcul des six quantités citées ci-dessus jusqu’à l’année et émettre une conjecture quant aux quotients calculés pour des valeurs det « suffisamment grandes ». (on prendraj0= 20 eta0= 0)
⊲ ⊲,⊲ Démonstration des conjectures.
◮ On noteVt la matrice colonne jt
at
. Écrire le système (S) sous la forme matricielleVt+1=LVtoùLest une matrice carrée d’ordre 2 à déterminer. Prouver que pour toutt∈N,Vt=LtV0.
◮ ◮ On considère la matrice carrée d’ordre 2,P=
8 −4
1 1
. On admet quePest inversible, donner l’expression deP−1.
◮ ◮ ◮ Exprimer le produit matricielD=P−1LP; en déduire l’expression deLen fonction deP, D etP−1.
◮ ◮ ◮ ◮ Prouver que Lt = P DtP−1,∀t ∈ N. Expliciter la matrice Lt et en déduire la matrice colonne Vt. Conclure.
II Matrice carrée d’ordre 3
II.1 Population étudiée
On se propose d’étudier à long terme l’évolution d’une population de rates. A cet effet, on va utiliser, ici encore, un modèle discret qui repose sur les hypothèses suivantes :
• une femelle de moins d’un an n’est pas féconde ;
• chaque femelle donne, en moyenne, naissance à 6 femelles durant sa deuxième année et à 10 femelles pendant sa troisième année ;
• une rongeuse sur deux survit au-delà de sa première année ;
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• 40% des rates qui sont encore vivantes à la fin de la deuxième année vont survivre, mais pas au-delà d’une troisième année.
Ces hypothèses conduisent à distinguer trois classes en fonction de l’âge des rates : selon qu’elles ont moins d’un an, au moins un an mais moins de deux ans ou au moins deux ans, les femelles sont répertoriées comme étant respectivement des juvéniles, des préadultes ou des adultes. On note, pour tout instantt(le temps est compté en années, de sorte que test une entier), jtle nombre de souris juvéniles,ptle nombre de préadultes etatcelui des adultes.
II.2 Modélisation mathématique
⊲ Compte-tenu des hypothèses, écrire un système d’équations (S) permetant le lien entre l’annéetet t+ 1.
⊲ ⊲ Prendre comme population de « départ » ,j0= 30,p0= 40 eta0= 30.
En langage Python de préférence, écrire un algorithme qui permette, pour une valeur detchoisie par l’utilisateur, le calcul des quantités vues en partie I. jusqu’à l’annéetet émettre une conjecture quant aux quotients calculés pour des valeurs de t« suffisamment grandes ».
⊲ ⊲,⊲ Démonstration des conjectures.
◮ Vt=
jt
pt
at
. Écrire le système (S) sous la forme matricielleVt+1=LVtoùLest une matrice carrée d’ordre 3 à déterminer. On a comme précédemment pour toutt∈N,Vt=LtV0.
◮ ◮ On considère la matrice carrée d’ordre 3,P =
10 −10 20
−5 0 5
2 2 1
. On admet queP est inversible, donner l’expression deP−1.
◮ ◮ ◮ Exprimer le produit matricielJ=P−1LP; en déduire l’expression deLen fonction deP, J etP−1.
◮ ◮ ◮ ◮ On admet (déjà vu en partie I.) queLt=P JtP−1,∀t∈N. Il ne reste plus qu’à calculerJt.
≫ ÉcrireJ sous la forme ∆ +N où ∆ est une matrice diagonale. Vérifier queN2= 0.
≫ ≫ En utilisant la formule du binôme de Newton, prouver que, pour toutt,Jt= ∆t+t∆t−1N.
≫ ≫ ≫ Il est maintenant possible d’exprimer la matrice colonneVt. Cela peut se faire par le calcul avec de la patience et un minimum de concentration. Il est également possible d’utiliser un logiciel (Xcas par exemple ... ) mais des simplifications non effectuées rendent l’expression deVt peu lisible.
≫ ≫ ≫ ≫ Alternative Hors Programme: application du théorème de Perron-Frobenius Pour toutt∈N, on poseXt=
jt/nt
pt/nt
at/nt
. L’application du théorème assure l’existence d’un nombreλappelé valeur propre dominante deLtelle que LX∞=λX∞. Dans le cas présent,λ= 2 = lim
t→+∞
nt+1
nt
. On peut donc à partir de là, en résolvant le système
(S)
LX∞= 2X∞
x+y+z= 1 oùX∞=
x y z
et x= lim
t→+∞
jt
nt,y= lim
t→+∞
pt
nt etz= lim
t→+∞
at
nt.
1 1 1 1
−2 6 10 0 0.5 −2 0 0 0 0.4 −2 0
⇔
1 1 1 1
0 8 12 2
0 −5 −1 −1 0 0.4 −2 0
⇔
1 1 1 1
0 8 12 2 0 0 52 2
On obtient
z= 2 52 = 1
26, puis 8y+ 12z= 2 donney= 5
26 et enfinx= 5 13.
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