A368. Une histoire de facteurs
Problème proposé par Raymond Bloch
A tout entier n > 2, on associe la suite Sn strictement décroissante définie par u0 = n, u1 = f(u0), u2 = f(u1),....uk = f(uk-1) = 2 avec f(x) désignant le nombre de diviseurs de l'entier x, 1 et x compris.
Par exemple avec n = 9, on a k = 2 et la suite contient les trois termes : 9,3,2 tels que u0 = 9 = 32, u1 = f(32)
= 3, u2 = f(3) = 2
Déterminer le plus petit entier n > 2 tel que la suite Sn contient 8 termes.
60 est un plouton, 60 = 2².3.5, il admet 3*2*2 = 12 diviseurs et c'est le plus petit nombre qui admet 12 diviseurs, f(60) = 12. la suite commençant par 60 est : 60, 12, 6, 4, 3, 2 elle comprend 6 termes.
Cherchons x petit, avec f(x) = 60 = 4*3*5, on peut choisir x = a.b.c².d4, où a,b,c,d sont des
nombres premiers distincts, les plus petits d'entre eux étant affectés des plus grands exposants : x = 24.3².5.7 = 5040. Ce nombre 5040 est aussi un plouton.
Effectivement sur le site de VILLEMIN GERARD on trouve :
5040 = 24.32.5.7 = 7*5*4*4*3*3 = 7*5*3*3*2*2*2*2
Pour x tel que f(x) = 5040 on peut hésiter entre des nombres de la forme 26.34.a3.b3.c2.d2 , ou 26.34.a2.b2.c.d.e.f , ou 26.34.a3.b2.c2.d.e etc.
où a,b,c,d, e, f sont des nombres premiers distincts, les plus petits d'entre eux étant affectés des plus grands exposants :
53.73.112.132 = 876750875 52.72.11.13.17.19 = 56581525 53.7².11².13.17 = 163788625
Le choix définitif se porte sur x = 26.34.52.72.11.13.17.19 = 26.34.56 581 525 = 293 318 625 600 D'où la suite Sn :
293 318 625 600→5040→60→12→6→4→3→2 qui contient 8 termes.
