1. Soit une fonctionφ : [a, b]→Rde classeC1(c’est-`a-dire d´erivable et dont la d´eriv´ee premi`ere est continue) telle queφ(a) =−1 et φ(b) = 1.
a) Calculez l’int´egrale :
Z b a
φ0(t) 1 +φ2(t)dt.
b) En utilisant un raisonnement similaire, calculer l’int´egrale :
Z π/2 0
cos(t) 4 + sin2(t)dt.
2. Calculez la limite suivante
x→0lim
(sin(sin(2x)))2 x2 .
3. D´emontrez que la fonction f : R→R d´efinie parf(x) =x3+x est bijective. On noteg sa fonction r´eciproque. Exprimezg0 et g00 en fonction de g.
Question 2
On consid`ere la fonction f : R\ {0} →Rd´efinie par
f(x) = x 1 +e1/x. a) D´emontrez quef est prolongeable par continuit´e `a l’origine.
b) D´emontrez que le graphe de f admet `a l’origine des demi-tangentes `a gauche et `a droite dis- tinctes.
c) ´Etudiez les variations de f et tracez sa courbe repr´esentative. On pr´ecisera le domaine de d´efinition, les ´eventuelles asymptotes, les domaines de croissance et de d´ecroissance et les extr´emas ´eventuels. On n’´etudiera ni la concavit´e ni les points d’inflexion.
On d´esire concevoir une rampe qui permet `a un chariot de descendre “en douceur” une marche de hauteur H sur une distance L (voir Figure). Pour cela, on veut que la rampe ait une pente horizontale aux points A et B.
1. Dans l’hypoth`ese o`u
f(x) =
p
X
n=0
anxn
est un polynˆome, quel est le degr´e minimal p de ce polynˆome pour qu’il satisfasse aux diff´erentes contraintes, i.e. qu’il passe par les points AetB et qu’il ait une pente horizontale en A et en B?
2. Calculez les coefficients an de ce polynˆome de degr´e minimal en fonction deH et de L.
A
B y =f(x)
L H
y
x
Question 1
1. ´Etudiez la d´erivabilit´e `a l’origine de la fonctionf d´efinie par f(x) = cos√
x.
2. Calculez les int´egrales suivantes
a) � 1
−1
(x2−�
|x|)√3 x2dx.
b) � 2
−2
(x3−√3
x)x2dx.
3. Le th´eor`eme de Rolle s’´enonce ainsi : sif : [a, b]→Rest continue sur l’intervalle ferm´e [a, b], d´erivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[ et telle que f(a) =f(b), alors il existe c∈]a, b[ tel que f�(c) = 0. Utilisez ce r´esultat pour prouver que l’´equation
x3−3x+ 2012 = 0
ne poss`ede pas deux solutions distinctes dans l’intervalle [−1,1].
On consid`ere la fonctionf d´efinie par
f(x) = 1
x(lnx−x2−1).
a) Donnez le domaine de d´efinition def.
b) D´emontrez que la d´eriv´ee def s’annule pour une seule valeurα et que cette valeur est comprise entre 1 et 2.
c) ´Etudiez les variations defet tracez sa courbe repr´esentative. On pr´ecisera les ´eventuelles asymp- totes, les domaines de croissance et de d´ecroissance et les extr´emas ´eventuels. On n’´etudiera ni la concavit´e ni les points d’inflexion.
Question 3 – Ellipse
On consid`ere une ellipse E dont la longueur du demi-grand axe vaut a et celle du demi-petit axe vautb. On consid`ere un rectangleR inscrit dans E dont les cˆot´es sont de longueursr ets,r≥s.
1. Trouvezr ets, fonctions deaetb, qui maximisent l’aire de R.
2. Trouvezr ets, fonctions deaetb, qui maximisent le p´erim`etre de R.
3. Trouvezr ets, fonctions deaetb, qui minimisent le p´erim`etre de R.
a) On noteRl’ensemble des nombres r´eels et on consid`ere la fonction f d´efinie sur Rd´efinie par : f(x) =xex−1+ 1.
On note C sa courbe repr´esentative. Soit a un nombre r´eel positif. D´emontrez qu’il existe une seule valeur deapour laquelle la courbeC admet une tangente au point d’abscisseapassant par l’origine.
b) Pour tout nombre r´eelx, la partie enti`ere dexnot´eeE(x) est le plus grand entier relatif inf´erieur ou ´egal `a x, c’est-`a-dire
∀x∈R ; E(x)≤x < E(x) + 1.
On note ´egalementE(x) la fonction de
R→Z : x�→E(x).
D´emontrez que
x→0limxE(1/x) = 1.
On utilisera la relation : x−1< E(x)≤x.
c) On fait tourner autour de l’axe desx la r´egion born´ee par les courbes d’´equationx2=y−2 et 2y−x−2 = 0 et par les droites verticalesx= 0 etx= 1. Calculez le volume de r´evolution ainsi g´en´er´e.
d) Calculez l’int´egrale d´efinie suivante :
� 2 1
xln
� x x+ 1
� dx.
Question 2
On consid`ere la fonctionf d´efinie par
f(x) =x+ ln(x2−1).
a) Donnez le domaine de d´efinition def.
b) ´Etudiez les variations de f et tracez sa courbe repr´esentative. On pr´ecisera les ´eventuelles asymptotes, les domaines de croissance et de d´ecroissance et les extr´emas ´eventuels. On ´etudiera aussi la concavit´e de la fonction et ses points d’inflexion.
On d´esire concevoir une cuve cylindrique dont le volume est V. Sachant que le revˆetement de la paroi lat´erale de la cuve est quatre fois plus cher par m`etre carr´e que le revˆetement de sa base, calculez, en fonction deV, la hauteurh de la cuve qui minimise son coˆut.
