Cours sur les Fractions rationnelles
Le cours se r´esume `a une d´efinition et `a un th´eor`eme !
D´efinition.
– Une fraction rationnellesur Kest d´etermin´ee par la donn´ee d’un couple (P, Q)de deux polynˆomes de K[X], o`u Q6= 0.
– On ´ecrit les couples sous forme de fraction : PQ. Deux couples PQ et PQ00 sont dits´egaux lorsque P Q0−P0Q= 0.
– Une fraction rationnelle PQ est dite irr´eductiblelorsque lorsque P et Q n’ont pas de diviseur commmun autre que 1. Toute fraction rationnelle est ´egale `a une fraction irr´eductible (et une seule `a un scalaire multiplicatif pr`es).
Les fractions rationnelles peuvent ˆetre ajout´ees multipli´ees et divis´ees, suivant les r`egles de calcul habituelles : associativit´e, distributivit´e, commutativit´e, interdiction de la division par 0, etc.
Th´eor`eme.
Soit PQ une fraction irr´eductible. SoitE le quotient deP par Qdans la division euclidienne.
Soit
Q=Aα11 × · · · ×Aαkk
la d´ecomposition de Q en facteurs irr´eductibles. Alors il existe une famille et une seule de polynˆomes (Aij)i=1,...,k
j=1,...,αi
telle que :
1. on ait l’´egalit´e de fractions rationnelles suivante : P
Q =E+ X
i=1,...,k j=1,...,αi
Aij
Aji , (1)
2. le degr´e de Aij est strictement inf´erieur au degr´e de Ai.
La d´ecomposition (1) s’appelle la d´ecomposition en ´el´ements simples de PQ. Exemple.
D´ecomposons en ´el´ements simples XX2+2−1. On trouve : X+ 2
X2−1 = a
X−1+ b X+ 1.
On r´eduit au mˆeme d´enominateur et on obtient par identifiction a et b : X+ 2
X2−1 =
3 2
X−1+
−1 2
X+ 1.
Universit´e de Lorraine UFR MIM
Calculs et math´ematiques - L1 2013/2014
Feuille d’exercices n
o3 Fractions rationnelles
Exercice 1 D´ecomposer en ´el´ements simples dans C[X] les fractions rationnelles sui- vantes :
A= X4+ 2X2−1
X2(X2+ 1)2 , B = 1 X2 +X+ 1
Exercice 2 D´ecomposer en ´el´ements simples dans R[X] les fractions rationnelles sui- vantes :
A= 2X3−X2+ 5
(X2−1)(X2+X+ 1) B = 2X3+X2−8X−16 (X2−3X+ 2)(X2+ 2X+ 4) C = X5+ 4X4−6X2−14X−19
(X2 +X−6)(X2+ 1) D= X+ 3 X2(X+ 1)2
