POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES

(1)

POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES

Dans tout le chapitre, K désigne soit l’ensemble R des réels, soit l’ensemble C des complexes.

1 Polynômes.

1.1 Généralités

On appelle monôme toute expression de la forme a X_k ^k , où a_k est un élément de K appelé coefficient du monôme, et X une variable indéterminée.

On appelle polynôme à une indéterminée X sur K l'expression définie par

1 2

1 2 1 0

n n

P( X )=a X +a ₋ X ⁻ +... a X+ +a X +a , n∈N

où a ,a ,...,a₀ ₁ _n sont des éléments de K appelés coefficients du polynôme ^{P X}

( )

^{, et}

X une variable indéterminée.

On utilise aussi la notation

0

n k

k k

P( X ) a X

=

∑

L’ensemble de tous les polynômes à coefficients dans K se note ^{K X}

[ ]

^.

Si P≠0, on appelle degré de P, et on note ^{deg P}

( )

ou encore d°P, le plus grand entier naturel n tel que a_n ≠0. Le coefficient a_n est le coefficient du terme de plus haut degré.

Une constante non nulle est un polynôme de degré 0.

Le polynôme nul n'a pas de degré.

Pour tout entier naturel n, l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n et à coefficients dans K se note Kn

[ ]

X .

On appelle fonction polynôme associée au polynôme P l’application

( )

K K

x P x

→

!

On peut se permettre d’assimiler un polynôme à sa fonction polynôme, et ainsi par exemple dériver un polynôme. Nous le ferons dans ce chapitre.

(2)

On appelle racine ou zéro d’un polynôme P toute valeur de x telle que ^{P x}

( )

⁼⁰^.

Le trinôme du second degré à coefficients dans R.

C’est un polynôme de la forme ^{T x}

( )

⁼^ax²⁺^{bx c}⁺ ^avec

(

^a,b,c

)

^∈^R^*^×^R²^{. Le}

coefficient a est donc non nul d’où « second degré » et en général il y a trois termes d’où « trinôme ».

Rappelons les résultats essentiels : on pose ∆ =b²−4ac :

• Si ∆ >0 alors il y a deux racines : ₁ 2 x b

a

− − ∆

= et ₂

2 x b

a

− + ∆

= : la somme

des racines vaut b

S = −a et le produit c P= a.

• Si ∆ =0 il y a une racine double ₀ 2 x b

= − a

• Si ∆ <0 alors on pose ∆ = −∆′ et on a deux racines complexes conjuguées :

1 2

z b i a

− − ∆′

= et ₂

2 z b i

a

− + ∆′

= .

1.2 Structure de l’ensemble des polynômes

La somme de deux polynômes, le produit de deux polynômes, et le produit d’un polynôme par un réel sont des polynômes.

Plus précisément :

Soit ^{K X}

[ ]

l’ensemble des polynômes à une indéterminée, et pour tout entier naturel n, Kn

[ ]

X l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

• Si P et Q appartiennent à ^{K X}

[ ]

^alors^{P Q}⁺ appartient à ^{K X}

[ ]

et pour tout

[ ]

R, P K X λ∈ λ ∈

• Si P et Q appartiennent à Kn

[ ]

X alors P Q+ appartient à Kn

[ ]

X et pour tout

[ ]

R, P Kn X λ∈ λ ∈ .

On dit alors que ^{K X}

[ ]

^etKn

[ ]

X sont des espaces vectoriels sur K.

Cette notion sera étudiée au chapitre suivant.

( )

⁼

( )

⁺

( )

^.

deg PQ deg P deg Q

( ) ( ( ) ( ) )

deg P Q+ ≤max deg P ,deg Q

Donc la deuxième propriété ne serait pas vraie si la définition de Kn

[ ]

X était

« ensemble des polynômes de degré égal à n ».

(3)

En effet : si ^{P x}

( )

⁼^x²^{+ +}^x ¹^et^{Q x}

( )

^{= − −}^x² ²^x⁺¹^alors

( ) ( )

²

P x +Q x = − +x et ^{P x Q x}

( ) ( )

^{= − −}^x⁴ ³^x³⁻²^x²^{− +}^x ¹, et on a bien

( )

¹

( ( ) ( ) ) ( )

^{2 2} ²

deg P Q+ = ≤Max deg P ,deg Q =Max , = ,

( )

⁼⁴⁼

( )

⁺

( )

^=2+2.

deg PQ deg P deg Q Donc :

Soit ^{K X}

[ ]

l’ensemble des polynômes à une indéterminée, et pour tout entier naturel n, Kn

[ ]

X l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

• Si P et Q appartiennent à ^{K X}

[ ]

alors PQ appartient à ^{K X}

[ ]

• Si P et Q appartiennent à Kn

[ ]

X alors PQ n’appartient pas nécessairement à

[ ]

Kn X

1.3 Division euclidienne ou division suivant les puissances décroissantes.

On dit que le polynôme B divise le polynôme A ( ou que A est divisible par B ) s’il existe un polynôme C tel que A=BC.

Le polynôme nul est divisible par tout polynôme, mais il ne divise aucun polynôme.

Le polynôme 1

( ) 2

P x = −x divise le polynôme

( )

² ² ² ³

Q x = x + x−2 car

( )

2 3 1

2 2 2 3

2 2

x + x− =⎛⎜⎝x− ⎞⎟⎠ x+ .

Etant donnés deux polynômes A et B avec B≠0, il existe un couple unique de polynômes

(

^Q,R

)

vérifiant :

A=BQ+R et

(

^{deg R}

( )

^<^{deg B}

( )

^ou^R⁼⁰

)

^.

Commençons par montrer l’existence.

• Si d A^" <d B^" alors Q=0,R=A conviennent.

• Si d A^" ≥d B^" on note a X_n ⁿ le monôme de plus haut degré de A et b X_m ^m celui

de B ; on pose ₁

n n

m m

Q a X b X

= et R = −A BQ₁. On a d R^" ₁<d A^" .

• Si d R^" ₁<d B^" alors Q=Q ,R₁ =R₁ conviennent.

• Si d R^" ₁≥d B^"

(4)

Alors on appelle Q₂ le quotient des monômes de plus haut degré de R₁ et de B.

On pose R₂ =R₁−BQ₂ et on a d R^" ₂<d R^" ₁.

• Si d R^" ₂ <d B^" alors Q=Q ,R₂ =R₂ conviennent

• Si d R^" ₂≥d B^" on recommence … on obtient une suite strictement

décroissante d R^" ₁>d R^" ₂>d R^" ₃>....>d R^" _n qui se termine forcément par R_n tel que d R^" _n <d B^" .

Montrons à présent l’unicité.

Supposons qu’il existe deux couples

(

^Q,R

)

^et

(

Q ,R1 1

)

tels que

1 1 1 1

A BQ R,d R d B A BQ R ,d R d B

= + <

" "

On a alors B Q Q

(

− 1

)

=R1− ⇒R d^"

(

R1−R

)

≥d B^" ; or d’autre part

(

¹

) (

¹

)

d^" R −R ≤max d R ,d R^" ^" <d B^" contradiction. Donc le couple

(

^Q,R

)

^est

unique.

A est le dividende, B est le diviseur.

Le polynôme Q est le quotient de la division euclidienne de A par B.

Le polynôme R est le reste de la division euclidienne de A par B.

Si R=0, alors A est divisible par B (ou encore B divise A).

Considérons la division euclidienne du polynôme ^{A x}

( )

⁼^x³^{+ +}^x ¹^par

( )

² ¹

B x =x + +x . Le quotient ^{Q x}

( )

est donné par ^{Q x}

( )

^{= −}^x ¹ et le reste ^{R x}

( )

^par

( )

²

R x = +x . On a donc

( ) (

³ ¹

) (

² ¹

) ⁽

¹

⁾

²

A x = x + + =x x + +x x− + +x

Disposition pratique de la division :

3 1

x + +x x² + +x 1

3 2

x x x

− − − x−1

2 1

− +x

2 1

x + +x 2 x+

(5)

Un polynôme est dit irréductible s’il est de degré au moins égal à 1 et s’il n’est divisible que par lui-même.

ALGE01E01A

Effectuer la division euclidienne de x³+x²− −x 3 par x−2.

1.4 Racine d’un polynôme. Ordre de multiplicité.

Soit a un élément de K et P un polynôme de ^{K X}

[ ]

^.

Alors a est une racine de P si et seulement si P est divisible par

(

^x⁻^a

)

^.

Soit k∈N et P un polynôme de ^{K X}

[ ]

^.

Un nombre a est racine d'ordre k de P si et seulement si ^{P x}

( )

est divisible par

(

^x⁻^a

)

^k, mais pas par

(

^x⁻^a

)

^k⁺¹^.

Le nombre entier k est l'ordre de multiplicité du zéro a de P.

Une racine simple est une racine d'ordre 1.

Une racine double est une racine d'ordre 2.

Le polynôme ^{P x}

( )

⁼^x²^{+ −}^x ⁶ admet 2 et –3 comme racines simples (d’ordre 1). Il peut s’écrire sous la forme ^{P x}

( )

⁼^x²^{+ − =}^x ⁶

(

^x⁻²

)(

^x⁺³

)

; il est donc divisible par

(

^x⁻²

)

^{et par}

(

^x⁺³

)

^.

( )

⁼^x⁴⁻¹⁰^x³⁺²¹^x²⁻¹⁶^x⁺⁴ admet 1 et 2 comme racines doubles (d’ordre 2). Il peut s’écrire sous la forme

( )

⁴ ¹⁰ ³ ²¹ ² ¹⁶ ⁴

(

¹

) (

² ²

)

²

P x =x − x + x − x+ = x− x− ; il est donc divisible par

(

^x⁻¹

)

²^{et par}

(

^x⁻²

)

²^.

Soit a∈K et ^P^∈^{K X}

[ ]

^{. Soit}^k^∈^N^*^.

Le nombre a est une racine d’ordre k de P si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :

1) ∀ ∈h N ,0≤ <h k ,P^{( )}^ha=0 2) ^P^{( )}^k

( )

^a ^≠⁰^.

(6)

1) Si a est racine d’ordre k alors ^P⁼

(

^x⁻^a

)

^k^Q^avec^{Q a}

( )

^≠⁰. On en déduit

( )

^k ¹

( )

^k

P′=k x−a ⁻ Q+ x−a Q′ qui est bien nul si x=a. Comme ^{Q a}

( )

^≠⁰^et

(

^x⁻^a

)

^h⁼⁰^lorsque^h^>⁰, la dérivée d’ordre h s’annulera en a jusqu’à ce que

1

h= −k . Ensuite on aura ^P^{( )}^k

( )

^a ^≠⁰^.

2) Réciproquement, supposons le polynôme de degré n. La formule de Taylor

permet d’écrire

( ) ( )

^{( )}

( ) ( )

⁽ ⁾

( )

(

¹

) ( )

^{( )}

( )

1

k k n

k P a k P a n P a

P x x a x a ... x a

k ! k ! n!

+ +

= − + − + + −

+ et on peut

mettre

(

^x⁻^a

)

^k en facteur d’un polynôme

( )

( ) ( )

⁽ ⁾

( )

(

¹

) ( )

^{( )}

( )

1

k k k

P a P a n k P a

Q x a ... x a

k ! k ! k !

+ −

= + − + + −

+ qui ne s’annule pas en

a puisque

( )

0 P k a

k ! ≠ . Donc a est une racine d’ordre k de P.

( ) ( )

( )

3 2

3 3

6

P x x x

P x x

P x x

= − +

′ = −

′′ =

On a ^P

( )

¹ ⁼^P′

( )

¹ ⁼⁰^mais^P′′

( )

¹ ^≠⁰ donc 1 est un zéro d’ordre 2 de P.

Un polynôme P est divisible par un polynôme Q si toutes les racines de Q sont aussi racines de P avec au moins le même ordre de multiplicité.

Le polynôme ^{Q x}

( ) (

⁼ ^x⁺¹

) (

² ^x⁺²

)

divise le polynôme P x1

( ) (

= x+1

) (

² x+2

)

²

mais pas le polynôme P x2

( ) (

= x+1

)(

x+2

)

³.

ALGE01E02A

Soit le polynôme ^{P x}

( )

⁼^x⁴⁻⁵^x³⁺¹³^x²⁻¹⁹^x⁺¹⁰^.

Calculer ^P

( )

¹ ^puis^P

( )

² ^.

En déduire la factorisation du polynôme dans ^{R X}

[ ]

^puis^{C X}

[ ]

^.

(7)

1.5 Factorisation des polynômes à coefficients réels.

1.5.1 Théorème de D’Alembert.

Tout polynôme de ^{C X}

[ ]

^{de degré}ⁿ^≥¹ admet au moins une racine complexe.

On en déduit :

Tout polynôme ^{P x}

( )

à coefficients complexes, de degré n>0, admet exactement n racines complexes, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité et s'écrit

( )

_n

(

1

) (

¹ 2

)

²

(

_p

)

^p avec 1 2 _p

P x =a x−x ^α x−x ^α .... x−x ^α α α+ +....+α =n. Les valeurs x , x ,....x₁ ₂ _p sont des nombres complexes tous distincts.

On a donc décomposé ^{P x}

( )

en produit de polynômes irréductibles.

( )

⁴ ¹

(

² ¹

)(

² ¹

) ⁽

¹

⁾⁽

¹

⁾⁽ ⁾⁽ ⁾

P x =x − = x − x + = x− x+ x i− x i+

Ces deux théorèmes sont admis.

1.5.2 Cas où les coefficients sont réels.

Si un polynôme ^{P x}

( )

à coefficients réels admet le nombre complexe z∈ −C R pour racine, alors le conjugué z de z est aussi racine, avec le même ordre de multiplicité.

Ecrivons P x

( )

=a x_n ⁿ+a_n₋1xⁿ⁻¹+ +... a x1 +a0 avec des coefficients a a₀, ,...,₁ a_n réels.

Comme z est racine de P :

1

1 ... 1 0 0

n n

a z +a₋ z ⁻ + +a z+a =

Prenons le conjugué de chacun des membres de l’égalité :

1

1 ... 1 0 0 0

n n

a z +a₋ z ⁻ + +a z+a = =

Utilisons les propriétés des conjugués : ^z^{+ = +}^z^′ ^z ^{z zz}^{′ ′}^, ⁼^{z z z}^′^, ⁿ ⁼

( )

^z ⁿ ainsi que a∈ ⇒ =R a a : il vient

(8)

( )

ⁿ ¹

( )

ⁿ ¹ ^... ¹ ⁰ ⁰

n n

a z +a ₋ z ⁻ + +a z+a =

ce qui prouve que z est également racine de P.

Ce résultat serait faux dans ^{C X}

[ ]

: par exemple le polynôme

( ) ( )( )

2 1 2 1 2

x + −i x i+ + = x i− x− + i a deux racines complexes absolument pas conjuguées.

( )

⁼^x²⁻²^x⁺⁵ à coefficients réels admet 1 2i+ et donc 1 2i− comme racines simples (d’ordre 1). Il peut s’écrire sous la forme

( )

² ² ⁵

(

^{1 2}

)(

^{1 2}

)

P x =x − x+ = x− − i x− + i .

On peut regrouper deux à deux les racines complexes non réelles de P.

Tout polynôme à coefficients réels se factorise sous la forme

( )

1 ¹ ^k 1

( )

¹ 2

( )

²

( )

^r

m m m

n n

k r

P x =( x a ) ...( x a ) T x− − T x ...T x où les T_i sont des trinômes du second degré à discriminant strictement négatif.

On en déduit aussi :

• Les polynômes irréductibles de ^{C X}

[ ]

sont de degré 1.

• Les polynômes irréductibles de ^{R X}

[ ]

sont de degré 1 ou des trinômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.

Tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine dans R. En effet, la fonction polynôme st continue, x²ⁿ⁺¹ tend vers +∞ si x→ +∞ et

2n 1

x ⁺ tend vers −∞ si x→ −∞ donc la fonction s’annule au moins une fois.

1.6 Division suivant les puissances croissantes.

Etant donné un entier naturel h et deux polynômes ^{A x}

( )

^et^{B x}

( )

^avec^B

( )

⁰ ^≠⁰^{, il}

existe un couple unique de polynômes

(

^{Q x ,R x}

( ) ( ) )

vérifiant :

( ) ( ) ( )

^h ¹

( )

A x =B x Q x +x ⁺ R x et

(

^{deg Q}

( )

^≤^h^ou^{R x}

( )

⁼⁰

)

^.

Le polynôme ^{Q x}

( )

est le quotient de la division de ^{A x}

( )

^par^{B x}

( )

suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre h et le polynôme ^{R x}

( )

le reste de la division de ^{A x}

( )

^par^{B x}

( )

suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre h.

(9)

Disposition pratique de l’opération.

Déterminons le quotient de la division du polynôme suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre 2 du polynôme ^{A x}

( )

⁼^x⁵⁺^x⁴⁺^x³⁺²^x²⁺⁴^par

( )

³ ²

B x =x + .

2 3 4 5

4 2x+ +x +x +x 2+x³ 4 2x3

− − 2+x²

2 3 4 5

2x −x +x +x

2 5

2x x

− −

3 4

x x

− +

Le quotient ^{Q x}

( )

est alors donné par ^{Q x}

( )

⁼^x²⁺² et le reste ^{R x}

( )

^par

( )

³

(

¹

)

R x =x x− . On a donc

( )

⁵ ⁴ ³ ² ² ⁴

(

³ ²

)(

² ²

)

³

⁽

¹

⁾

A x =x +x +x + x + = x + x + +x x− .

Cette division ne se termine jamais ! C’est pour cela qu’on indique « jusqu’à l’ordre n… » et on sait alors que le reste est constitué de monômes de degré au moins n+1.

ALGE01E03A

Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 3 de

( )

^{2 3} ² ²

A x = + x− x par ^{B x}

( )

^{= +}¹ ^x²⁻²^x³^.

(10)

2 Fractions rationnelles

2.1 Généralités

2.1.1 Définition

Considérons deux polynômes P et Q (Q≠0)

On appelle fraction rationnelle F le quotient de P par Q et on note P F=Q.

On appelle fonction rationnelle ^{F x}

( )

le quotient de la fonction polynôme ^{P x}

( )

^par

la fonction polynôme ^{Q x}

( )

et on note

( ) ( ) ( )

F x P x

=Q x . 2.1.2 Pôle d'une fraction rationnelle.

Soit a un nombre réel ou complexe.

On dit qu'un nombre a est un zéro d'ordre k de

( ) ( ) ( )

F x P x

=Q x si et seulement si a est un zéro d'ordre k de ^{P x}

( )

et a n'est pas un zéro de ^{Q x}

( )

^.

On dit qu'un nombre a est un pôle d'ordre k de

( ) ( ) ( )

F x P x

=Q x si et seulement si a est racine d'ordre k de ^{Q x}

( )

^.

1)

( ) ( )

²

2

1 1 F x x

x

= −

+ , 1 est zéro d’ordre 2 ; la fraction admet i et –i comme pôles dans C, mais n’a pas de pôles réels.

2)

( )

2 2

1 1 F x x

x

= +

− , i et –i sont des zéros dans C, mais la fraction n’a pas de zéros dans R ; 1 est pôle d’ordre 2.

3) La fraction rationnelle ^{F x}

( )

^x²₃³

x

= − admet 3 et − 3 comme zéros (simples) et 0 comme pôle d’ordre 3.

(11)

2.1.3 Partie entière d'une fraction rationnelle.

Soit P

F=Q. Effectuons la division euclidienne de P par Q : il existe un couple unique de polynômes

(

^{E ,R}

)

tel que :

( ) ( )

P QE R deg R deg Q

= +

⎧⎪⎨ <

⎪⎩

Donc

( ) ( ) ( ) ( )

F x E x R x

= +Q x

( )

E x est appelée la partie entière de ^{F x}

( )

^.

si ^{deg P}

( )

^<^{deg Q}

( )

^alors^{E x}

( )

⁼⁰^.

1) La fraction rationnelle ^{F x}

( )

^x⁵₃³

x

= − admet x² comme partie entière ; elle peut

s’écrire sous la forme ^{F x}

( )

^x⁵₃³ ^x² ³₃

x x

= − = − .

3)

( )

³ ²₂² ² ¹

1

x x x

F x

x

+ − +

= +

D’où

( )

³ ²

( ) (

²

)

2 2 2

2 1 3 2

2 2 1 3 2

2

1 1 1

x x x

x x x x

F x x

x x x

+ + − −

+ − + +

= = = + −

+ + +

Nous allons dans la suite du cours essayer de décomposer F en somme de fractions plus simples.

L’intérêt est de pouvoir

• Calculer plus facilement des valeurs

• Déterminer la dérivée, des primitives

• Trouver les éventuelles limites au voisinage de réels ou de +∞.

Or, une fois la partie entière déterminée, on a écrit F comme la somme d’un polynôme E et d’une fraction rationnelle R

Q avec ^{deg R}

( )

^<^{deg Q}

( )

^.

Donc il nous suffit de pratiquer cette décomposition sur des fractions dont le numérateur a un degré strictement inférieur au dénominateur.

C’est ce que nous supposons désormais.

(12)

2.2 Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples de première espèce.

On suppose que le dénominateur de la fraction rationnelle peut se factoriser sous la forme

(

1

) (

¹ 2

)

²

( )

kp

k k

x−a x−a .... x−ap

où a ,a ,...a₁ ₂ _p sont des nombres complexes distincts et k ,k ,...k₁ ₂ _p des entiers naturels non nuls.

On va s’occuper séparément de chacun des pôles a ,a ,...a₁ ₂ _p.

Considérons la fraction

( )

2 3

3 1 F x x

x

= +

− .

On souhaite écrire cette fraction comme une somme de fractions plus simples, de dénominateurs égaux à des puissances de

(

^x⁻¹

)

avec des exposants ≤3, et de numérateurs constants.

( ) (

¹

) (

³ ¹

)

² ¹

A B C

F x x x x

= + +

− − − .

Un théorème permet d’affirmer l’existence, et l’unicité, de cette décomposition.

Soit F une fraction rationnelle et a un pôle de F d’ordre k,k∈N^*.

On appelle partie principale de la fraction rationnelle F relative au pôle a d'ordre k, l'expression

1 1

1

k k

A A A

...

x a ( x a ) ( x a )

− −

+ + +

− − − où A , A ,..., A₁ ₂ _k sont des constantes de K.

Soit P

F =Q une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en

( ) (

¹

) (

^k¹ ²

)

^k²

(

^p

)

^k^p

Q x = x−a x−a .... x−a et telle que d P^° <d Q^° . Il existe une décomposition unique de F sous la forme

1 2 p

F =F +F + +... F

avec pour chaque F_i la formule

( )

^k ^k ¹ ₁ ¹

i k k

i i i

A A A

F x ...

x a ( x a ) ( x a )

− −

= + + +

− − −

On dit que l’on a décomposé F en éléments simples de première espèce.

Cette décomposition est toujours possible dans C d’après le théorème de d’Alembert.

Admise.

(13)

Comment déterminer pratiquement la partie principale relative à un pôle ?

Supposons que la fraction rationnelle

( ) ( ) ( )

F x P x

=Q x admette un pôle a d'ordre k.

( )

Q x est donc de la forme

( ) ( )

1

( )

Q x = x−a kQ x , Q a1

( )

≠0.

Pour obtenir la partie principale relative au pôle a, on pose h= − ⇔ = +x a x a h et on effectue la division suivant les puissances croissantes de ^{P x}

(

⁻^a

)

^parQ x1

(

−a

)

jusqu’à l’ordre k−1.

( ) ( )

2 3

3 1 F x x

x

= +

−

Il y a un seul pôle d’ordre 3 qui est a=1.

On pose h= − ⇔ = +x 1 x 1 h et on transforme la fraction :

( )

^{4 2h}₃ ^h²

F x

h + +

=

Ensuite on effectue la division de 4 2h+ +h² par h³ suivant les puissances croissantes.

On repasse ensuite à la variable x :

( ) ( ) ( )

2

3 3 2 3 2

4 2 4 2 1 4 2 1

1 1 1

h h

F x h h h h x x x

+ +

= = + + = + +

− − −

Il existe une autre méthode très sympathique : l’identification.

On sait que la décomposition sera de la forme

( ) (

¹

) (

³ ¹

)

² ¹

a b c

F x = x + x +x

− − −

4 2h+ +h2 h³ -4 4₃ 2₂ 1

h +h +h 2h+h2

−2h h2

(14)

On réduit la somme des fractions au même dénominateur et on identifie le nouveau numérateur avec x²+3 pour déterminer a, b et c.

Ici

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

3 3 3

1 1 2 3

1 1 1

a b x c x cx b c x a b c x

F x

x x x

+ − + − + − + − + +

= = =

− − −

On en déduit 1

2 0 3 c

b c a b c

⎧ =

⎪ − =

⎨⎪ − + =

⎩

et finalement a=4,b=2,c=1.

( ) ( ) ( ) ( )

2

3 3 2

3 4 2 1

1 1 1 1

F x x

x x x x

= + = + +

− − − −

2.3 Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples de seconde espèce.

Supposons maintenant que le polynôme soit à coefficients dans R, et que le dénominateur ne se factorise plus aussi simplement que

(

1

) (

¹ 2

)

²

( )

kp

k k

x−a x−a .... x−ap

Il peut en effet apparaître des facteurs irréductibles du second degré, c’est-à-dire des polynômes x²+ px+q avec ∆ = p²−4q<0.

On va d’abord envisager le cas où il n’y a que des facteurs du second degré au dénominateur.

Soit F une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en

( )

² 1 1 ¹ ² ^m

l l

m m

Q x =( x +p x+q ) ....( x + p x+q )

Il existe une décomposition unique de F sous la forme

1 2 m

F =G +G + +... G

avec pour chaque G_i la formule

( )

₂ ^k ^k ₂^k ¹ ^k ¹ ₁ ₂¹ ¹

i k k

A x B A x B A x B

G x ...

( x px q ) ( x px q ) x px q

− −

−

+ + +

= + + +

+ + + + + +

On dit que l’on a décomposé F en éléments simples de deuxième espèce.

Admise.

( ) ( )

4 3 2

2 3

2 2 4 3

1

x x x

F x

x

− + +

=

+

(15)

Ici la partie entière est nulle car le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur.

On sait d’après le théorème que la fraction va se décomposer en

( ) (

^{A x}³² ¹^B

) (

³³ ^{A x}²² ¹^B

) (

²² ^{A x}¹² ¹^B

)

¹

F x

x x x

+ + +

= + +

+ + +

Pour déterminer les coefficients A ,B_i _i on effectue les divisions euclidiennes successives de ^{F x}

( )

^par^x²⁺¹^.

4 3 2

2x −2x +4x +3 x²+1

4 2

2x 2x

− − 2x²−2x+2 x²+1 2x2 2

− − 2

3 2

2x 2x 3

− + +

2x2+2x −2x

2x2+2x+3 2x2 2

− − 2x+1

La première division euclidienne se traduit par

( )( ) ⁽ ⁾

4 3 2 2 2

2x −2x +4x + =3 x +1 2x −2x+ +2 2x+1

Et comme ensuite ²^x²⁻²^x^{+ =}² ²

(

^x²^{+ −}¹

)

²^x, en injectant cette égalité dans la précédente on obtient

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( )

²

( ) ⁽ ⁾

4 3 2 2 2 2 2

2x −2x +4x + =3 x +1 2⎡⎣ x + −1 2x⎤⎦+ 2x+ =1 2 x +1 −2x x + +1 2x+1 On divise à présent par

(

^x²⁺¹

)

³^:

( ) ( ) ( ) ( ) ⁽ ⁾

( ) ( ) ( )

2 2 2

4 3 2

3 3 2 2 3

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 2 4 3 2 2 2 1

1 1 1 1 1

x x x x

x x x x x

F x

x x x x x

+ − + + +

− + + +

= = = − +

+ + + + +

Autre méthode possible

On effectue la décomposition en éléments de première espèce sur C, puis on regroupe les termes conjugués pour revenir dans R.

( ) ( ) ⁽ ^{) (} ⁾

3 3

2 2 2

2

2 2

1

x x x x

F x

x i x i x

+ +

= =

− +

+

On peut écrire la décomposition dans C sous la forme

(16)

( ) (

^a

) (

² ^b

) (

^c

) (

² ^d

)

F x = x i + x i + x i + x i

− +

Pour obtenir la partie relative au pôle i on pose h= − ⇔ = +x i x i h et on effectue la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 2 de

(

ⁱ⁺^h

)

³⁺²

(

ⁱ⁺^h

)

^par

(

²ⁱ⁺^h

)

² : on obtient ....

4 2

i h

− + + donc 1

4, 2 a= −i b= .

Pour trouver c et d on peut recommencer une division ou remarquer que –i est le conjugué de i : donc

4

c= =a i et 1 d = =b 2. Finalement

( )

( ) (

²

) ( ) (

²

)

1 1

4 2 4 2

i i

F x x i x i x i x i

= − + + +

− +

On regroupe ensuite les fractions en

(

^{x i}⁻

)

²^et

(

^{x i}⁺

)

² ensemble, ainsi que les fractions en

(

^{x i}⁻

)

^et

(

^{x i}⁺

)

^:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2 2

1 1

4 4 2 2

i i

x i x i x i x i

F x x i x i x i x i

− + + − + + −

= +

− +

ce qui après simplification s’écrit

( ) (

²^x¹

)

² ²^x ¹

F x x x

= +

+ + .

Finalement, dans le cas général on admet que :

Soit F une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en

( )

1 ¹ ⁿ ² 1 1 ¹ ² ^m

k l

n m m

Q x =( x a ) ...( x a ) ( x− − +p x+q ) ....( x +p x+q ) Il existe une décomposition unique de F sous la forme

1 2 n 1 2 m

F =F +F + +... F +G +G + +... G avec pour chaque F_i la formule

( )

^k ^k ¹ ₁ ¹

i k k

i i i

A A A

F x ...

x a ( x a ) ( x a )

− −

= + + +

− − −

et pour chaque G_i la formule

( )

₂ ^k ^k ₂^k ¹ ^k ¹ ₁ ₂¹ ¹

i k k

A x B A x B A x B

G x ...

( x px q ) ( x px q ) x px q

− −

−

+ + +

= + + +

+ + + + + +

Cette décomposition est unique.

(17)

2.4 Méthodes pratiques de décomposition.

2.4.1 Cas général.

Si ^{deg P}

( )

^≥^{deg Q}

( )

, on cherche la partie entière de

( ) ( ) ( )

F x P x

=Q x ; celle-ci s'obtient en calculant le quotient de la division euclidienne de ^{P x}

( )

^par^{Q x}

( )

^{. Une}

fois que ^{E x}

( )

est calculée, ^{F x}

( )

⁻^{E x}

( )

est une nouvelle fraction rationnelle

( ) ( )

1

( )

1

F x P x

=Q x avec deg P

( )

1 <deg Q

( )

1 .

2.4.2 Décomposition en éléments simples de première espèce.

• Pôle simple.

Si a est un pôle simple de ^{F x}

( )

^alors^{Q x}

( )

se met sous la forme

1 avec 1 0

Q( x )=( x−a )Q ( x ) Q ( a )≠ et la partie principale relative à a se met sous la forme

1

avec P( a )

x a Q ( a )

λ λ=

− .

Ainsi, ^{F x}

( )

est de la forme

( ) ( )

1

F x B x

x a Q ( x )

= λ +

− .

De manière pratique, pour déterminer le coefficient λ, on multiplie les deux membres de

( ) ( )

( )

F x P x

=Q x par

(

^x⁻^a

)

, c’est-à-dire

( ) ( ) ( )

1

x a F x P x

Q ( x )

− =

et on fait x=a.

Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle

( )

² ¹

1 2 3

x x

F x ( x )( x )( x )

= + +

+ + + .

La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Il n'y a que des pôles réels et donc des éléments simples de première espèce.

La décomposition de ^{F x}

( )

en éléments simples est de la forme :

( ) ( ) ( ) ( )

2 1

1 2 3 1 2 3

x x A B C

F x ( x )( x )( x ) x x x

= + + = + +

+ + + + + +

où A, B et C sont des nombres réels à déterminer.

(18)

En considérant la fraction rationnelle associée et en remplaçant x par −1 dans

(

^x⁺¹

) ( )

^{F x} , on obtient 1

A=2.

En remplaçant x par −2 dans

(

^x⁺²

) ( )

^{F x} , on obtient B= −3. En remplaçant x par −3 dans

(

^x⁺³

) ( )

^{F x} , on obtient 7

C =2. La décomposition est donc :

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 3 7

1 2 3 2 1 2 2 3

x x

F x ( x )( x )( x ) x x x

= + + = − +

+ + + + + + .

Considérons la fraction rationnelle ^{F x}

( ) ( )( )

⁼ ^x⁺¹^x³^x⁺² ^.

La partie entière est non nulle, puisque le degré du numérateur 3 est supérieur au degré du dénominateur 2.

On la détermine par division euclidienne : on développe

(

^x⁺¹

)(

^x⁺²

)

⁼^x²⁺³^x⁺²

et ^x³ ⁼

(

^x⁻³

) (

^x²⁺³^x^{+ +}²

) ⁽

⁷^x⁺⁶

⁾

^.

Donc ^{F x}

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

⁼ ^x⁺¹^x³^x⁺² ⁼ ^x^{− +}³ ^x⁺⁷¹^x⁺^x⁶⁺² ⁼ ^x^{− +}³ ^x^A⁺¹⁺^x^B⁺²

Calculons la partie principale relative au pôle simple –1.

On multiplie par

(

^x⁺¹

)

et on fait x= −1 : alors

( )

1 3

1 2 1

A −

= = −

− + .

On multiplie par

(

^x⁺²

)

et on fait x= −2 : alors

( )

2 3

2 1 8

B −

= =

− + .

On a ainsi

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 1 8

1 2 3 1 2

F x x x

x x x x

= = − − +

+ + + + .

ALGE01E04A

Décomposer en éléments simples dans ^{R X}

[ ]

la fraction

( )

³ ₂² ² ³

3 2

x x x

F x

x x

− − −

= − +

• Pôle multiple

Si 0 est pôle multiple d'ordre n alors

( ) ( )

( )

¹

1

et 0 0

n

P x P x

F x Q ( )

Q x x Q x

= = ≠ . Les

coefficients de la décomposition relative au pôle 0 sont ceux de la division suivant

(19)

les puissances croissantes de ^{P x}

( )

^par Q x1

( )

à l'ordre n−1 (on obtient les coefficients à l'envers).

( )

₃ ¹

1 F x

x ( x )

= − . La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Le dénominateur de ^{F x}

( )

admet deux pôles réels : 0 est un pôle triple et 1 pôle simple

( )

₃ ¹ ¹₃ ₂² ³

1 1

A

A A B

F x = x ( x )= x + x + x + x

− −

où A , A , A et B₁ ₂ ₃ sont des nombres réels à déterminer.

En considérant la fraction rationnelle associée et en remplaçant x par 1 dans

(

^x⁻¹

) ( )

^{F x} , on obtient B=1.

Le pôle triple étant le réel 0, il n'y a pas lieu d'effectuer de changement de variable.

On forme la division suivant les puissances croissantes de 1 par − +1 x jusqu'à l'ordre 2 ;

2 3

1= − +( 1 x )(− − −1 x x )+x

d’où par division par x (³ 1−x ), on obtient

( )

₃ ¹ ¹₃ ¹₂ ¹ ¹

1 1

F x = x ( x )= −x −x − +x x

− −

et donc A₁= −1, A₂ = −1 et A₃= −1 (On retrouve la valeur B=1).

Si a≠0 est pôle multiple d'ordre n>1, on effectue d'abord le changement de variable (on dit parfois la « translation ») h= −x a et on se ramène au cas précédent en effectuant la division suivant les puissances croissantes de P( h )=P( x+a ) par

1 1

Q ( h )=Q ( x+a ) à l'ordre n−1.

Si l'ordre de multiplicité est 2 ou 3, on procède par identification en remplaçant x par une valeur particulière (en évitant les pôles) ou en multipliant par x et en faisant tendre x vers l'infini (ce n'est possible que si la partie entière est nulle).

( )

²₂ ¹ ₃

1 1

F x x

( x ) ( x )

= +

− + .

La partie entière est nulle. Le dénominateur de ^{F x}

( )

admet deux pôles réels : 1 est un pôle double et −1 pôle triple.

(20)

( )

²₂ ¹ ₃ ¹ ₂ ² ¹ ₃ ² ₂ ³

1 1

1 1 1 1 1

x A A B B B

F x ( x ) ( x ) ( x ) x ( x ) ( x ) x

= + = + + + +

− +

− + − + +

où A , A ,B ,B et B₁ ₂ ₁ ₂ ₃ sont des nombres réels à déterminer.

Pour le pôle réel double 1, on effectue la translation x= +1 h et on effectue la division suivant les puissances croissantes de

2 2 2

1 1 1 2 2

x + = +( h ) + = + h+h par ( x+1)³ =(2+h )³= +8 12h+6h²+h³ Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de

2 2 3 1

2 2 par 8 12 6 à l ordre 1 est

4 8

h h h h h ′ h

+ + + + + −

d’où par division par h (² 2+h )³,

2

2 3 2

2 2 1 1

2 4 8

h h

...

h ( h ) h h

+ + = − +

+

1 2

1 1

et donc et

4 8

A = A = −

Pour le pôle réel triple −1, on effectue la translation x= − +1 k et on effectue la division suivant les puissances croissantes de

2 1 1 2 1 2 2 2

x + = − +( k ) + = − k+k par ( x−1)²= − +( 2 k )² = −4 4k+k² Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de

2

2 2 1

2 2 par 4 4 à l ordre 2 est

2 8

k k k k ′ k

− + − + +

d’où par division par k (³ 2−k )²

2

3 2 3

2 2 1 1

2 2 8

k k

...

k ( k ) k k

− + = + +

−

1 2 3

1 1

et donc 0 et

2 8

B = , B = B = Par conséquent,

( )

²₂ ¹ ₃ ¹ ₂ ¹ ¹ ₃ ¹

8 1 8 1

1 1 4 1 2 1

F x x

( x ) ( x )

( x ) ( x ) ( x ) ( x )

= + = − + +

− +

− + − +

ALGE01E05A

Décomposer en éléments simples dans ^{R X}

[ ]

la fraction

( ) ( )( )

³

27

1 2

F x

x x

= + −

(21)

2.4.3 Décomposition en éléments simples de seconde espèce.

Pour déterminer les éléments simples de la forme

2 ^m ^m 1

m

M x N

, m ( x px q )

+ >

+ + , en

multipliant par ( x²+px+q )^m et en remplaçant x par la racine complexe, en identifiant partie réelle et partie imaginaire des deux membres, on obtient un système de deux équations à deux inconnues sur M_m et N_m qui permet de calculer ces deux coefficients.

On considère alors la fraction rationnelle ^{F x}

( )

^{M x}₂ ^m ^N^m_m

( x px q )

− +

+ + que l'on simplifie, puisqu'il y a unicité de la décomposition en éléments simples.

On calcule alors les coefficients du terme ¹ ¹

2 1

m m

m

M x N

( x px q )

− −

−

+

+ + en utilisant la méthode précédente, c'est la méthode de diminution du degré.

Cas particulier :

S'il n'y a que des pôles complexes, c'est-à-dire si la fraction rationnelle se présente

sous la forme

( ) ( )

2 m

F x P x

( x px q )

= + + , on effectue les divisions euclidiennes successives de ^{P x}

( )

(puis des différents quotients) par x²+ px+q

( )

⁶ ₂² ₂

1 1

F x x

( x )( x )

= +

− + .

1 est pôle simple et i et −i sont pôles doubles.

Comme le degré du numérateur est 6 et le degré du dénominateur 5, il existe une partie entière de degré 1 : on l’obtient par division euclidienne du numérateur par le dénominateur et vaut ^{E x}

( )

^{= +}^x ¹^.

La décomposition est de la forme

( )

⁶ ₂² ₂ ¹ ₂ ₂ ₂

1 1 1 1 1

x A ax b cx d

F x x

( x )( x ) x ( x ) x

+ + +

= = + + + +

− + − + +

Le coefficient A est obtenu en multipliant par x−1 et en faisant x=1 ; 3 A=4. La fraction

2 2 2

1 1

ax b cx d ( x ) x

+ + +

+ + peut être calculée par la différence

( ) ( )

6

2 2

2 3

1 4 1

1 1

x x

( x )( x ) x

+ − + −

− + − .

On trouve ainsi

( )

3 2

2 2 2 2

2

7 7 9 9

1 1 4 1

ax b cx d x x x

( x ) x x

+ + + =− − − −

+ + +